新高考数学二轮复习巩固练习04 数列的综合问题（2份打包，原卷版+解析版）

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1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.
2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
3、证明数列 SKIPIF 1 < 0 单调性的方法：根据 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系判断出数列的单调性（当 SKIPIF 1 < 0 恒为正或者负时，可以考虑利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系判断数列单调性）.
4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求 SKIPIF 1 < 0 ，可以令 SKIPIF 1 < 0 ，将选项中的所有数字用 SKIPIF 1 < 0 来表示，然后通过 SKIPIF 1 < 0 来验证哪个选项正确.如果题目问的是 SKIPIF 1 < 0 之类的偶数年份，最好是通过 SKIPIF 1 < 0 这样的偶数项来验证.
【典型例题】
例1．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数），且对任意的 SKIPIF 1 < 0 都存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 须满足（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例2．（2023•新蔡县月考）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前60项和等于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．1830B．1820C．1810D．1800
例3．（2023•江苏模拟）若单调递增数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
例4．（广东省实验中学2023届高三考前热身训练数学试题）已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ，平面内三个不共线的向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一直线上，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
例5．（江苏省苏州市吴中区木渎高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
例6．（江西省临川二中、临川二中实验学校2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对一切正整数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则满足条件的最小整数 SKIPIF 1 < 0 为______.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．180D．240
2．（2023·山东潍坊·高三统考期末）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2023·全国·高三专题练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .若对任意的正整数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则满足等式 SKIPIF 1 < 0 的所有正整数 SKIPIF 1 < 0 为（ ）
A．1或3B．2或3C．1或4D．2或4
4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 其中 SKIPIF 1 < 0 为不大于x的最大整数.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有且仅有4个不同的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则m一共有（ ）个不同的取值.
A．120B．126C．210D．252
5．（2023·北京朝阳·高三统考期末）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若存在常数c，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立，则正数k的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2023·湖南长沙·统考一模）裴波那契数列 SKIPIF 1 < 0 ，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．卢卡斯数列 SKIPIF 1 < 0 是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则下列结论正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2023·山西太原·高三统考期末）如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设 SKIPIF 1 < 0 表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
10．（2023·湖北·校联考模拟预测）数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，其前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，下列四个结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为等比数列B． SKIPIF 1 < 0 为递减数列
C． SKIPIF 1 < 0 中存在大于3的项D． SKIPIF 1 < 0 中存在小于 SKIPIF 1 < 0 的项
11．（2023·全国·高三专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为“差半递增”数列，则（ ）
A．正项递增数列均为“差半递增”数列
B．若数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 为“差半递增”数列
C．若数列 SKIPIF 1 < 0 为公差大于0的等差数列，则数列 SKIPIF 1 < 0 为“差半递增”数列
D．若数列 SKIPIF 1 < 0 为“差半递增”数列，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）以下为自然数从小到大依次排成的数阵：
第n行有 SKIPIF 1 < 0 个数，则（ ）A．该数阵第n行第一个数为 SKIPIF 1 < 0
B．该数阵第n行最后一个数为 SKIPIF 1 < 0
C．该数阵前n行共有 SKIPIF 1 < 0 个数
D．该数阵前n行所有数的和为 SKIPIF 1 < 0
13．（2023·山东德州·高三统考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列D． SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0
14．（2023·湖南株洲·高三校联考期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列叙述正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
16．（2023·山西太原·高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名的成果有110个.设 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示不超过 SKIPIF 1 < 0 的最大整数，则 SKIPIF 1 < 0 称为高斯函数，若用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的非负纯小数，如 SKIPIF 1 < 0 ，已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
17．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设 SKIPIF 1 < 0 是一个“0，1数列”，定义数列 SKIPIF 1 < 0 ：数列 SKIPIF 1 < 0 中每个0都变为“1，0，1”， SKIPIF 1 < 0 中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，0，则数列 SKIPIF 1 < 0 ：0，1，0，1，0，1.已知数列 SKIPIF 1 < 0 ：1，0，1，0，1，记数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2，3，…，则数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项之和为______.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其首项 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 是单调递增数列，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
19．（2023·全国·高三对口高考）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 SKIPIF 1 < 0 的长方形纸，对折1次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两种规格的图形，它们的面积之和 SKIPIF 1 < 0 ，对折2次共可以得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三种规格的图形，它们的面积之和 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推，对折 SKIPIF 1 < 0 次，那么 SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2023·上海·高三专题练习）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 SKIPIF 1 < 0 ，接下来的两项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再接下来的三项是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，依此类推．求满足如下条件的最小整数N： SKIPIF 1 < 0 且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围______________．
22．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）现取长度为2的线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作半圆，该半圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 （图1），再取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作半圆．所有半圆的面积之和为 SKIPIF 1 < 0 （图2），再取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作半圆，所有半圆的面积之和为 SKIPIF 1 < 0 ，以此类推，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
23．（2023·山东日照·高三校联考期末）设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，首项 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实根 SKIPIF 1 < 0 ，且存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ．则公比 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是递增数列， SKIPIF 1 < 0 是递减数列，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
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