安徽省2023-2024学年八年级上学期期末阶段诊断数学试题（原卷版+解析版）

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说明：共八大题，23小题，满分150分，答题时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列点，在第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据第三象限点的坐标特征直接判断即可得到答案；
【详解】解：∵第三象限点的坐标特征是，
∴在第三象限，
故选C；
【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握第三象限点的坐标特征．
2. 如图图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加．
【详解】解：∵，，
∴，
.，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意；
.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
.，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
4. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，其历史源远流长，具有趣味性强的特点，已成为流行极其广泛的棋艺活动．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“馬”位于点，“兵”位于点，则“帅”位于点（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标确定位置，掌握坐标系原点的位置是关键．根据“马”和“兵”的坐标建立出坐标系，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，根据题意可建立如图所示平面直角坐标系，

则“帅”位于点．
故选：C．
5. 如图，若这两个三角形全等，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，准确判定对应关系是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等，判断计算选择即可．
【详解】解：因为图中的两个三角形全等，且的对边为b，
所以．
故选：D．
6. 如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得．
【详解】解：∵等边的边长为，
∴，
∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，
∴，，
则阴影部分图形的周长为：，
故选：D．
7. 在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了坐标系中点的规律，由题意可得点的横坐标和纵坐标互为相反数，则，解方程即可得到答案.
【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上，
∴点的横坐标和纵坐标互为相反数，
∴
解得，
故选：A
8. 如图，在中，，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，则，进一步得到是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：连接，
根据图中尺规作图的痕迹，可知，
，
，
，
是等边三角形，
，
故选：C．
9. 如图，在中，，是边上一点，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用．先设，根据，，得出，由三角形外角的性质得到，得到，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：设，
∵，
，，
，
，
，
，即．
故选：B．
10. 如图，在中，和的平分线交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．在上取，连接，先求出，则，证明，则，根据，，得到，则，再由三角形外角的性质求得，再根据角平分线的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，在上取，连接，
∵
∴，
∵和的平分线交于点，
∴，是的角平分线，
∴
∴
∴ ，
∵是的角平分线，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. “如果，互为倒数，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【解析】
【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可.
【详解】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是
“如果，那么，互为倒数”，
逆命题是真命题；
故答案为：真
12. 在平面直角坐标系中，若点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后位于原点处，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加上1，得到原点坐标，则，求出,即可得到点A的坐标．
【详解】解：∵点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后位于原点处，，
∴．
∴
∴点的坐标为点
故答案为：．
13. 如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解．
【详解】解：此刻的实际时间应该是，
故答案为：
14. 如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，．

（1）点的坐标为______．
（2）若以线段为边，在第一象限内做等腰，使，则直线的函数表达式为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
（1）在中，当时，，解得，即可得到点A的坐标；
（2）求出点B的坐标是0,2，作轴于点D，证明，则，得到，则C的坐标是．利用待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】（1）在中，当时，，解得，
∴点A的坐标是，
故答案为：
（2）在中，当时，，
∴点B的坐标是0,2，
如图，作轴于点D，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在与中
，
∴，
∴，
∴，
则C的坐标是．
设直线的函数表达式为．把点A、C的坐标代入得，
解得
∴直线的函数表达式为
故答案为：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 在平面直角坐标系中，点，．若轴，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等得到，则，进一步得到，据此求出的长即可．
【详解】解：∵点，点，轴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
即的长为．
16. 在中，，，求各内角的度数．
【答案】，，．
【解析】
分析】此题考查了三角形内角和定理，根据题意得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，正方形网格中有一个．
（1）作出于直线的对称图形．
（2）在直线上找出一点，使的值最小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题：
（1）根据轴对称的性质即可画关于直线的对称图形；
（2）根据两点之间线段最短即可在直线上求作一点，使最小．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求．
18. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交（或的延长线）于点．
（1）如图1，若，则______．
（2）如图2，若，则______．
（3）若，其余条件不变，求的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了等边对等角、三角形内角和定理等知识．
（1），，，由垂直平分线得到，即可求出答案；
（2），，，由垂直平分线得到，即可求出答案；
（3），，，由垂直平分线得到，即可求出答案；
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵的垂直平分线交，
∴
∴
故答案为：
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵的垂直平分线交，
∴
∴
故答案为：
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∵的垂直平分线交，
∴
∴
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在中，，分别垂直平分，，并交于点，．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能熟练运用相关性质进行推理运算是解题的关键．
（1）根据垂平分线的性质定理得出，得到的周长等于即可；
（2）由等边对等角得到，由三角形外角性质得到，进一步得到，利用三角形内角和即可得到的度数．．
【小问1详解】
解：，分别垂直平分，，并交于点，．
，
∴的周长，
∵，
∴的周长．
【小问2详解】
解：∵，
，
，
∴，
，
∴，
∴
∴
20. 如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且．
（1）求证：．
（2）若，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键．
（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等；
（2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
∴
六、（本题满分12分）
21. 如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过点，直线与交于点．
（1）求直线，的表达式和的值．
（2）求的面积．
（3）观察图像，直接写出当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）； ；
（2）12 （3）
【解析】
【分析】本题考查了两直线相交的问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积等知识点．
（1）利用待定系数法即可求出，以及的值；
（2）利用直线解析式求得的坐标，进而求得，即可求出的面积；
（3）根据图形即可求出答案．
【小问1详解】
解：∵直线过点，将代入直线，，
解得直线的解析式为：，
又∵过，将代入中即可求出，
∴
∵过，将将代入中即可求出的解析式为：，，
∴：；： ；．
【小问2详解】
解：将分别代入解析式，中，可求出点，，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：由（1）可得，，
∴=，即为，
有图像可知当时，自变量的取值范围为：．
七、（本题满分12分）
22. 甲、乙两根蜡烛燃烧时，剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题．
（1）求甲蜡烛燃烧时，与之间函数表达式．
（2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样？
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？
【答案】（1）．
（2）
（3）当燃烧或或时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差．
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的应用，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据当时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长，列出方程并解方程即可；
（3）分三种情况分别列方程并解方程即可．
【小问1详解】
解：设甲蜡烛燃烧时，与之间的函数表达式为．把点和代入得，，
解得
∴与之间的函数表达式为．
【小问2详解】
当时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长，
∴，
解得．
∴燃烧时间为时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样．
【小问3详解】
当时，
解得，
当时，
解得，
当乙的高度是0，甲的高度是时，
则，
解得，
综上可知，当燃烧或或时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．

（1）如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）．
（2）如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长．
【答案】（1）
（2）当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析
（3）5
【解析】
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论；
（2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，

∵是等边三角形，点是的中点，
∴CE平分，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案：．
【小问2详解】
解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：

如图，过作交于，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，∘，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
【小问3详解】
解：过点作，交的延长线于点，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，，
∴，∘，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．