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最新高考数学二轮复习-思想方法-第2讲-数形结合思想-学案讲义
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这是一份最新高考数学二轮复习-思想方法-第2讲-数形结合思想-学案讲义，共4页。
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．
例1 (1)(多选)(2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg2x))，0A．0B．x1x2＝1
C．x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(21,2)))
D．2x1＋x2的取值范围是[2eq \r(2)，3)
思路分析 方程fx＝a的根→函数fx与y＝a图象交点的横坐标→作出函数fx的图象→结合图象可得x1，x2，x3，x4的关系.
答案 ABD
解析 函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a的根可以转化为函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标，由图可知0由题意可知－lg2x1＝lg2x2，即lg2x1x2＝0，解得x1x2＝1，故B正确；
函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4，所以x3＋x4＝8，又x1x2＝1，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝8＋eq \f(1,x2)＋x2，
由图知1函数g(x2)＝8＋eq \f(1,x2)＋x2在(1,2)上单调递增，g(1)＝10，g(2)＝eq \f(21,2)，所以x1＋x2＋x3＋x4∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(21,2)))，故C错误；
2x1＋x2＝eq \f(2,x2)＋x2，函数h(x2)＝eq \f(2,x2)＋x2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，2))上单调递增，heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)))＝2eq \r(2)，h(1)＝3，h(2)＝3，
所以2x1＋x2∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，3))，故D正确．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
思路分析 作出函数y＝|fx|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.
答案 D
解析 由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象，如图所示．
由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，直线l是f(x)在原点处的切线，
当直线y＝ax介于l与x轴之间时符合题意，
在原点且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，
求其导数可得y′＝2x－2，
当x＝0时，y′＝－2，
故直线l的斜率为－2，
故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0]．
规律方法 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．
例2 (2023·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是( )
A．[0,2eq \r(2)＋2]
B．[0,2]
C．[2eq \r(2)－2,2eq \r(2)＋2]
D．[2eq \r(2)－2,2]
思路分析 作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝eq \(OD,\s\up6(→))→求|eq \(CD,\s\up6(→))|的最值.
答案 D
解析 ∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，∴a，b，c的终点在圆上，且a⊥b，如图所示，令eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝a＋b，
∵(a－c)·(b－c)≤0，
∴点C在劣弧AB上运动，
∴|a＋b－c|表示C，D两点间的距离|eq \(CD,\s\up6(→))|.
|eq \(CD,\s\up6(→))|的最大值是|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2，
|eq \(CD,\s\up6(→))|的最小值为|eq \(OD,\s\up6(→))|－2＝2eq \r(2)－2.
∴|a＋b－c|的取值范围是[2eq \r(2)－2,2]．
规律方法 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．
例3 (2023·山东联考)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为__________．
思路分析 根据椭圆的定义将|MN|－|MF1|的最小值转化为|MN|＋|MF2|－4→利用三角形性质|MN|≥|ME|－1及|ME|＋|MF2|≥|EF2|求得|MN|－|MF1|的最小值.
答案 3eq \r(2)－5
解析 如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，
则|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E三点共线时，等号成立，
∴|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5，
当且仅当M，N，E，F2四点共线时，等号成立．
∵F2(1,0)，E(4,3)，
则|EF2|＝eq \r(4－12＋3－02)＝3eq \r(2)，
∴|MN|－|MF1|的最小值为3eq \r(2)－5.
规律方法 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．
例1 (1)(多选)(2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(lg2x))，0
C．x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(21,2)))
D．2x1＋x2的取值范围是[2eq \r(2)，3)
思路分析 方程fx＝a的根→函数fx与y＝a图象交点的横坐标→作出函数fx的图象→结合图象可得x1，x2，x3，x4的关系.
答案 ABD
解析 函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)＝a的根可以转化为函数f(x)与y＝a图象交点的横坐标，由图可知0
函数y＝x2－8x＋13图象的对称轴为直线x＝4，所以x3＋x4＝8，又x1x2＝1，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝8＋eq \f(1,x2)＋x2，
由图知1
2x1＋x2＝eq \f(2,x2)＋x2，函数h(x2)＝eq \f(2,x2)＋x2在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\r(2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，2))上单调递增，heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)))＝2eq \r(2)，h(1)＝3，h(2)＝3，
所以2x1＋x2∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，3))，故D正确．
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
思路分析 作出函数y＝|fx|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解.
答案 D
解析 由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象，如图所示．
由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，直线l是f(x)在原点处的切线，
当直线y＝ax介于l与x轴之间时符合题意，
在原点且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，
求其导数可得y′＝2x－2，
当x＝0时，y′＝－2，
故直线l的斜率为－2，
故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0]．
规律方法 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．
例2 (2023·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是( )
A．[0,2eq \r(2)＋2]
B．[0,2]
C．[2eq \r(2)－2,2eq \r(2)＋2]
D．[2eq \r(2)－2,2]
思路分析 作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝eq \(OD,\s\up6(→))→求|eq \(CD,\s\up6(→))|的最值.
答案 D
解析 ∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，∴a，b，c的终点在圆上，且a⊥b，如图所示，令eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，eq \(OD,\s\up6(→))＝a＋b，
∵(a－c)·(b－c)≤0，
∴点C在劣弧AB上运动，
∴|a＋b－c|表示C，D两点间的距离|eq \(CD,\s\up6(→))|.
|eq \(CD,\s\up6(→))|的最大值是|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2，
|eq \(CD,\s\up6(→))|的最小值为|eq \(OD,\s\up6(→))|－2＝2eq \r(2)－2.
∴|a＋b－c|的取值范围是[2eq \r(2)－2,2]．
规律方法 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．
例3 (2023·山东联考)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为__________．
思路分析 根据椭圆的定义将|MN|－|MF1|的最小值转化为|MN|＋|MF2|－4→利用三角形性质|MN|≥|ME|－1及|ME|＋|MF2|≥|EF2|求得|MN|－|MF1|的最小值.
答案 3eq \r(2)－5
解析 如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－4)2＋(y－3)2＝1上任意一点，
则|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E三点共线时，等号成立，
∴|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5，
当且仅当M，N，E，F2四点共线时，等号成立．
∵F2(1,0)，E(4,3)，
则|EF2|＝eq \r(4－12＋3－02)＝3eq \r(2)，
∴|MN|－|MF1|的最小值为3eq \r(2)－5.
规律方法 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．
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