最新高考数学一轮复习-第六周-每日一练【含答案】

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1．(2023·泉州模拟)已知复数eq \f(a＋i,1＋i)为纯虚数，则实数a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 A
解析 因为eq \f(a＋i,1＋i)＝eq \f(a＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(a＋1＋1－ai,2)为纯虚数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＝0，,1－a≠0，))解得a＝－1.
2．(2023·青岛模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝eq \r(3)x与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形AF1BF2为矩形，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3)＋1,2) B．3
C.eq \r(3)＋1 D.eq \r(5)＋1
答案 C
解析 显然直线y＝eq \r(3)x与F1F2交于原点O，
由双曲线对称性知，若四边形AF1BF2是矩形，则|AB|＝|F1F2|，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，而F1(－c,0)，F2(c,0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，))得(b2－3a2)x2＝a2b2，解得x1＝－eq \f(ab,\r(b2－3a2))，x2＝eq \f(ab,\r(b2－3a2))，
则|AB|＝eq \r(1＋\r(3)2)·|x1－x2|＝eq \f(4ab,\r(b2－3a2))，
则eq \f(4ab,\r(b2－3a2))＝2c，化简得b4－6a2b2－3a4＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))2－6·eq \f(b2,a2)－3＝0，eq \f(b2,a2)>0，
解得eq \f(b2,a2)＝3＋2eq \r(3)，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(4＋2\r(3))＝eq \r(3)＋1.
3．(多选)(2023·滨州模拟)函数y＝f(x)在区间(－∞，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线，且满足f(3＋x)－f(3－x)＋6x＝0，函数f(1－2x)的图象关于点(0,1)对称，则( )
A．f(x)的图象关于点(1,1)对称
B．8是f(x)的一个周期
C．f(x)一定存在零点
D．f(101)＝－299
答案 ACD
解析 对于A，由于f(1－2x)的图象关于点(0,1)对称，所以f(1－2x)＋f(1＋2x)＝2，故f(1－x)＋f(1＋x)＝2，所以f(x)的图象关于点(1,1)对称，故A正确；
由f(3＋x)－f(3－x)＋6x＝0得f(3＋x)＋3x＝f(3－x)－3x，令g(x)＝f(3＋x)＋3x，所以g(－x)＝f(3－x)－3x，所以g(x)＝g(－x)，故g(x)为偶函数，又f(x)的图象关于点(1,1)对称，所以f(x)＋f(－x＋2)＝2，又f(x)＝g(x－3)－3(x－3)，从而g(x－3)－3(x－3)＋g(－x＋2－3)－3(－x＋2－3)＝2⇒g(x－3)＋g(－x－1)＝－10，
所以g(x)的图象关于点(－2，－5)对称，
对于C，在f(1－x)＋f(1＋x)＝2中，令x＝0，f(1)＝1>0，所以g(－2)＝f(1)－6＝－5，所以g(2)＝－5＝f(5)＋6⇒f(5)＝－11b>a
答案 B
解析 令f(x)＝e2x－1－x，x∈(0,1)，
则f′(x)＝2e2x－1>0恒成立，即f(x)在(0,1)上单调递增，且f(0)＝0，
故f(x)>f(0)＝0，取x＝0.2，则f(0.2)>0，即e0.4－1－0.2>0，
可得e0.4－1>0.2，即a>c；
令g(x)＝x－2ln(1＋x)，x∈(0,1)，
则g′(x)＝1－eq \f(2,1＋x)＝eq \f(x－1,1＋x)eq \f(PN\x\t(M),P\x\t(M))＝eq \f(PN－PNM,1－PM)，
所以P(NM)>P(N)P(M)，
所以P(NM)－P(N)P(NM)>P(N)P(M)－P(N)P(NM)，
即P(NM)P(eq \x\t(N))>P(N)P(eq \x\t(N)M)，
所以eq \f(PNM,PN)>eq \f(P\x\t(N)M,P\x\t(N))，
即P(M|N)>P(M|eq \x\t(N))．
[周五]
1．(2023·东三省四市教研体模拟)等差数列{an}中，a2＋a4＋a10＋a12＝40.则前13项和S13等于( )
A．133 B．130
C．125 D．120
答案 B
解析 因为a2＋a4＋a10＋a12＝40，又a4＋a10＝a2＋a12＝a1＋a13，
所以a1＋a13＝20，所以S13＝eq \f(13a1＋a13,2)＝eq \f(13×20,2)＝130.
2．已知圆O的半径是1，直线PA与圆O相切于点A，过点P的直线PB与圆O交于B，C两点，且点A与点O在直线PB的两侧，点D为BC的中点，若|eq \(PA,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1＋2\r(2),2) B．1＋eq \r(2)
C．1＋eq \r(3) D.eq \f(3,2)＋eq \r(3)
答案 D
解析 依题意，在Rt△AOP中，AO＝1，AP＝eq \r(3)，
所以PO＝2，∠APO＝eq \f(π,6)，
设∠CPO＝α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，
在Rt△DOP中，PD＝POcs α＝2cs α，
eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝|eq \(PA,\s\up6(→))||eq \(PD,\s\up6(→))|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \r(3)×2cs αcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝2eq \r(3)cs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α＋\f(1,2)sin α))
＝eq \f(3,2)cs 2α＋eq \f(\r(3),2)sin 2α＋eq \f(3,2)
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＋eq \f(3,2).
由于α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，则2α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，
当2α＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝1，
此时eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取得最大值eq \f(3,2)＋eq \r(3).
3．(多选)(2023·聊城模拟)随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔．社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017－2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则( )
A．2018－2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多
B．2017－2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为14.9万亿元
C．2017－2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%
D．2022年我国的GDP超过了121万亿元
答案 ACD
解析 由图表可知，2018－2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，
且增长为16.7－14.9＝1.8(万亿元)，故A正确；
因为6×70%＝4.2，则70%分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元，故B错误；
由图表可知，2017－2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%－14.6%＝0.2%，故C正确；
由图表可知，2022年我国的GDP为17.8÷14.7%≈121.1(万亿元)，故D正确．
4．(2023·厦门质检)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs πx，0