最新高考数学一轮复习-第七周-每日一练【含答案】

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1．(2023·淮北模拟)已知i为虚数单位，复数z＝eq \f(1－3i,2＋i)，则|z|等于( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \r(5)
答案 C
解析 z＝eq \f(1－3i,2＋i)＝eq \f(1－3i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(－1－7i,5)＝－eq \f(1,5)－eq \f(7,5)i，
则|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,5)))2)＝eq \r(\f(1,25)＋\f(49,25))＝eq \r(2).
2．(2023·海口模拟)琼中蜂蜜是海南省琼中黎族苗族自治县特产．人们赞美蜜蜂是自然界的建筑师，是因为蜜蜂建造的蜂房是以正六棱柱为单位的几何体.18世纪初，法国天文学家通过观测发现蜜蜂蜂房的每个单位并非六棱柱．如图1，正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为a，高为b.蜜蜂的蜂房实际形状是一个十面体，如图2，它的顶部是边长为a的正六边形，底部由三个全等的菱形AGCB′，CGED′和EGAF′构成，其余侧面由6个全等的直角梯形构成，AA1＝CC1＝EE1＝b，B1B′＝D1D′＝F1F′＝c，蜜蜂的高明之处在于图2的构造在容积上与图1相等，但所用的材料最省．则图2中，b－c等于( )
A.eq \f(\r(3)a,2) B.eq \f(\r(2)a,2) C.eq \f(a,3) D.eq \f(\r(2)a,4)
答案 D
解析 设b－c＝x，则由题意知蜂房的表面积为f(x)＝6ab－6×eq \f(1,2)ax＋3×eq \f(1,2)×eq \r(3)a×2eq \r(x2＋\f(a2,4))＝6ab－3ax＋eq \f(3\r(3)a,2)eq \r(4x2＋a2)，
求导得f′(x)＝－3a＋eq \f(3\r(3)a,2)·eq \f(8x,2\r(4x2＋a2))＝eq \f(6\r(3)ax,\r(4x2＋a2))－3a，
令f′(x)＝eq \f(6\r(3)ax,\r(4x2＋a2))－3a＝0，得x＝eq \f(\r(2)a,4)，
当00,2p＝eq \f(1,a)，eq \f(p,2)＝eq \f(1,4a)，
准线为y＝－eq \f(p,2)＝－eq \f(1,4a)＝－eq \f(1,2)，所以a＝eq \f(1,2)，故A正确；
又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，过F作直线l交抛物线于M，N两点，显然l的斜率存在，
设l的方程为y＝kx＋eq \f(1,2)，与y＝eq \f(1,2)x2联立消去y整理得x2－2kx－1＝0，Δ＝4k2＋4>0恒成立．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，|MN|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)eq \r(4＋4k2)＝2(1＋k2)．
直线l经过点(－1,0)，则k＝eq \f(1,2)，|MN|＝eq \f(5,2)，故B正确；
|OM|·|ON|＝eq \r(x\\al(2,1)＋\f(x\\al(4,1),4))·eq \r(x\\al(2,2)＋\f(x\\al(4,2),4))
＝eq \f(|x1x2|,4)eq \r(x\\al(2,1)＋4x\\al(2,2)＋4)
＝eq \f(|x1x2|,4)eq \r(16＋x\\al(2,1)x\\al(2,2)＋4x\\al(2,1)＋x\\al(2,2))
＝eq \f(|x1x2|,4)eq \r(17＋4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x1＋x22－2x1x2)))
＝eq \f(1,4)eq \r(17＋16k2＋8)＝eq \f(1,4)eq \r(25＋16k2)，
当k＝0时，|OM|·|ON|取得最小值，为eq \f(5,4)，故C错误；
由eq \(FN,\s\up6(→))＝3eq \(MF,\s\up6(→))得－3x1＝x2，又x1x2＝－1，x10，
解得x1＝－eq \f(\r(3),3)，x2＝eq \r(3)，所以由2k＝x1＋x2＝eq \f(2\r(3),3)，得k＝eq \f(\r(3),3)，故D正确．
4．(2023·运城模拟)2023年9月第19届亚运会于杭州举办，在杭州亚运会三馆(杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆)对外免费开放，预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：
(1)当场馆分组人数为1,1,3时，甲、乙必在3人组，则方法数有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝18(种)；
(2)当场馆分组人数为2,2,1时，其中甲、乙在一组，则方法数有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝18(种)，
即甲、乙分配到同一个场馆的方法数有n＝18＋18＝36(种)．
若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数有m＝Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝12(种)，
故所求的概率为P＝eq \f(m,n)＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3).
5．(2023·泰安模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cs B＝－eq \f(1,3).
(1)求sin C；
(2)若点D在△ABC的外接圆上，且∠ABD＝∠CBD，求AD的长．
解 (1)方法一 在△ABC中，由余弦定理得，
9＝4＋c2－4c×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))，即c2＋eq \f(4,3)c－5＝0，
解得c＝－3(舍)或c＝eq \f(5,3).
∵cs B＝－eq \f(1,3)，且B∈(0，π)，
∴sin B＝eq \f(2\r(2),3).
由正弦定理得，sin C＝eq \f(\f(5,3)×\f(2\r(2),3),3)＝eq \f(10\r(2),27).
方法二 在△ABC中，cs B＝－eq \f(1,3)0，g(t)在(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点；
②当a>0时，令g′(t)>0，得t>a，g(t)在(a，＋∞)上单调递增，
令g′(t)e2，
即证ln(x1)＋ln(x2)>2，
由(1)知t1＝x1，t2＝x2，
所以只需证ln t1＋ln t2>2，
因为aln t1＝t1，aln t2＝t2，
所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln t2－ln t1))＝t2－t1，
aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln t2＋ln t1))＝t2＋t1，
所以ln t2＋ln t1＝eq \f(t2＋t1,t2－t1)(ln t2－ln t1)
＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2,t1)＋1))ln \f(t2,t1),\f(t2,t1)－1)，
只需证eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2,t1)＋1))ln \f(t2,t1),\f(t2,t1)－1)>2，
设02eq \f(m－1,m＋1)，
即证ln m＋eq \f(4,m＋1)－2>0，
令φ(m)＝ln m＋eq \f(4,m＋1)－2，m>1，
则 φ′(m)＝eq \f(1,m)－eq \f(4,m＋12)＝eq \f(m－12,mm＋12)>0，
所以φ(m)在(1，＋∞)上单调递增，
φ(m)>φ(1)＝0，
即当m>1时，ln m＋eq \f(4,m＋1)－2>0 成立，
所以ln t1＋ln t2>2，
即x1·x2>e2，即x1x2>.X
7
11
15
P
eq \f(5,12)
eq \f(5,12)
eq \f(1,6)