最新高考数学一轮复习-第一周-每日一练【含答案】

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1．(2023·保山模拟)如果复数eq \f(2－bi,1＋2i)(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么1＋bi的模等于( )
A.eq \r(2) B．2 C．1 D.eq \r(3)
答案 A
解析 由复数的运算法则得
eq \f(2－bi,1＋2i)＝eq \f(2－bi1－2i,1＋2i1－2i)
＝eq \f(2－2b＋－b－4i,5)＝eq \f(2－2b,5)＋eq \f(－b－4,5)i，
因为复数eq \f(2－bi,1＋2i)为纯虚数，
所以eq \f(2－2b,5)＝0且eq \f(－b－4,5)≠0，解得b＝1，
所以1＋bi＝1＋i，所以|1＋i|＝eq \r(2).
2．(2023·锦州模拟)已知实数x，y，z满足eyln x＝yex且ezln eq \f(1,x)＝zex，若y>1，则( )
A．x>y>z B．x>z>y
C．y>z>x D．y>x>z
答案 D
解析 由eyln x＝yex得eq \f(ey,y)＝eq \f(ex,ln x)，①
由ezln eq \f(1,x)＝zex得eq \f(ez,z)＝eq \f(ex,ln \f(1,x))，②
由①②相加得eq \f(ey,y)＋eq \f(ez,z)＝0，
因为y>1，ey>0，所以eq \f(ez,z)0，所以z1，
所以eq \f(ex,ln x)>0，即ln x>0，所以x>1；
令f(x)＝x－ln x(x>1)，
则f′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)＝x－ln x在(1，＋∞)上单调递增，
即x>ln x，所以eq \f(ey,y)＝eq \f(ex,ln x)>eq \f(ex,x)，即eq \f(ey,y)>eq \f(ex,x)，
令g(x)＝eq \f(ex,x)(x>1)，
则g′(x)＝eq \f(xex－ex,x2)＝eq \f(x－1ex,x2)(x>1)，
当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)＝eq \f(ex,x)在(1，＋∞)上单调递增，所以由eq \f(ey,y)>eq \f(ex,x)，得到y>x.
所以y>x>z.
3．(多选)(2023·马鞍山模拟)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))，g(1＋x)均为奇函数，则( )
A．f(0)＝0 B．g(0)＝0
C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(4)
答案 BD
解析 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))是定义域为R的奇函数，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋x))，
即f(－x)＝－f(x＋1)，
所以[－f(－x)]′＝f′(x＋1)，
即f′(－x)＝f′(x＋1)，
所以g(－x)＝g(x＋1)，
又g(1＋x)为奇函数，
所以g(1＋x)＝－g(1－x)，
当x＝0时，g(1)＝－g(1)＝g(0)，
即g(1)＝0，g(0)＝0，故B正确；
又g(－x)＝－g(1－x)，
所以g(x)＝－g(1＋x)，
故g(x＋2)＝－g(1＋x)＝g(x)，
即函数g(x)的周期为2，
所以g(－1)＝g(1)＝0，g(4)＝g(0)＝0，
即g(－1)＝g(4)，故D正确；
由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))为奇函数可知
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－x))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋x))，
即f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))成中心对称，
不妨取f(x)＝eq \f(1,π)cs π(x－1)，
则g(x)＝－sin π(x－1)满足周期为2，关于点(1,0)中心对称的条件，
因为f(0)＝－eq \f(1,π)，f(－1)＝eq \f(1,π)，f(4)＝－eq \f(1,π)，可知A，C错误．
4．(2023·福州模拟)利率变化是影响某金融产品价格的重要因素．经分析师分析，最近利率下调的概率为0.6，利率不变的概率为0.4.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为0.8，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为0.4.则该金融产品价格上涨的概率为________．
答案 0.64
解析 由题意可知该金融产品价格上涨的概率为0.6×0.8＋0.4×0.4＝0.64.
5．(2023·沈阳模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acs C＝c(3－2cs A)．
(1)求eq \f(b,c)的值；
(2)若A＝eq \f(π,3)，求sin C.
解 (1)∵2acs C＝c(3－2cs A)，
∴由正弦定理得
2sin Acs C＝sin C(3－2cs A)，
∴2sin Acs C＋2cs Asin C＝2sin(A＋C)＝2sin B＝3sin C，
再由正弦定理得2b＝3c，∴eq \f(b,c)＝eq \f(3,2).
(2)由(1)得2sin B＝3sin C，
∴2sin(A＋C)＝3sin C，
即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋C))＝3sin C，
∴sin C＋eq \r(3)cs C＝3sin C，
∴eq \r(3)cs C＝2sin C，
又sin2C＋cs2C＝1，sin C>0，∴sin C＝eq \f(\r(21),7).
[周二]
1．(2023·湖北八市联考)已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且a⊥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2b))，则eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2a＋b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2a－b)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(7),7) C.eq \f(\r(21),3) D．3
答案 C
解析 因为非零向量a，b的夹角为60°，
且a⊥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2b))，
所以a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2b))＝0，
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))cs 60°＝0，
化简得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，
eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2a＋b)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2a－b)))＝eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋b))2),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－b))2))
＝eq \f(\r(4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2＋2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))),\r(4\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))2＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2－2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))))＝eq \r(\f(7,3))＝eq \f(\r(21),3).
2．(2023·丽水模拟)已知A(1,0)是圆O：x2＋y2＝r2上一点，BC是圆O的直径，弦AC的中点为D.若点B在第一象限，直线AB，BD的斜率之和为0，则直线AB的斜率是( )
A．－eq \f(\r(5),4) B．－eq \f(\r(5),2)
C．－eq \r(5) D．－2eq \r(5)
答案 C
解析 已知A(1,0)是圆O：x2＋y2＝r2上一点，
所以12＋02＝r2＝1.
设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为
y＝k(x－1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＋y2＝1，))
则(1＋k2)x2－2k2x＋k2－1＝0，Δ>0恒成立，
所以xA＋xB＝eq \f(2k2,1＋k2)，xAxB＝eq \f(k2－1,1＋k2)，
由于xA＝1，所以xB＝eq \f(k2－1,1＋k2)，
则yB＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xB－1))＝－eq \f(2k,1＋k2)，由于BC是圆O的直径，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(k2－1,1＋k2)，\f(2k,1＋k2)))，
则弦AC的中点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋k2)，\f(k,1＋k2))).
因为直线AB，BD的斜率之和为0，
所以kBD＝eq \f(－\f(2k,1＋k2)－\f(k,1＋k2),\f(k2－1,1＋k2)－\f(1,1＋k2))＝－k，
整理得k(k2－5)＝0，
解得k＝0或k＝±eq \r(5)，又点B在第一象限，所以k0，ω>0，－\f(π,2)0且q≠1)，若a6＋8a1＝a4＋8a3，
则a6－a4＝8a3－8a1，所以eq \f(a6－a4,a3－a1)＝eq \f(q3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a3－a1)),a3－a1)＝q3＝8，解得q＝2.
2．(2023·武汉调研)阅读下段文字：“已知eq \r(2)为无理数，若为有理数，则存在无理数a＝b＝eq \r(2)，使得ab为有理数；若为无理数，则取无理数a＝，b＝eq \r(2)，此时ab＝＝＝(eq \r(2))2＝2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是( )
A．是有理数
B．是无理数
C．存在无理数a，b，使得ab为有理数
D．对任意无理数a，b，都有ab为无理数
答案 C
解析 这段文字中，没有证明是有理数的条件，也没有证明是无理数的条件，A，B错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a，b，使得ab为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C正确；这段文字中只提及存在无理数a，b，不涉及对任意无理数a，b都成立的问题，D错误．
3．(多选)(2023·湖南四大名校联考)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝eq \r(2)，AB＝AP＝PD＝1，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PC上运动(不含端点)，则( )
A．存在点M使得BD⊥AM
B．四棱锥P－ABCD外接球的表面积为3π
C．直线PC与直线AD所成的角为eq \f(π,3)
D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥P－ADMN的体积是eq \f(1,8)
答案 BCD
解析 如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，GC∩BD＝H，则PG⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，
所以PG⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，则PG⊥BD.
又因为tan∠ADB·tan∠DGC＝eq \f(AB,AD)·eq \f(CD,GD)＝1，
所以GC⊥BD，
又PG∩GC＝G，PG，GC⊂平面PGC，所以BD⊥平面PGC.
因为M∈平面PGC，A∉平面PGC，所以BD⊥AM不成立，A错误；
因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥P－ABCD的外接球即为正方体的外接球，其半径R＝eq \f(\r(3),2)，即四棱锥P－ABCD外接球的表面积为3π，B正确；
如图2，直线PC与直线AD所成的角即为直线PC与直线BC所成的角，即为eq \f(π,3)，C正确；
如图1，连接PH(图略)，因为BD⊥平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时HM⊥PC，
由上推导知PG⊥GC，GC＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(6),2)，
cs∠DCG＝eq \f(DC,CG)＝eq \f(1,\f(\r(6),2))＝eq \f(\r(6),3)，
CH＝DCcs∠DCH＝eq \f(\r(6),3)，
GH＝GC－CH＝eq \f(\r(6),6)，
PH＝eq \r(PG2＋GH2)＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)))2)
＝eq \f(\r(6),3)，PH＝CH，
因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为QD的中点，平面ADM即平面ADQ与BP的交点也即为QA与BP的交点，可知N为QA的中点，故VP－ADMN＝eq \f(3,4)VP－AQD＝eq \f(3,4)VQ－APD＝eq \f(3,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,8)，D正确．
4．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川省成都市举行．有编号为1,2,3,4,5的五位裁判，分别就座于编号为1,2,3,4,5的五个座位上，每个座位恰好坐一位裁判，则恰有两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为________．
答案 20
解析 依题意，5人中选出2人，他们的编号与座位编号一致，有Ceq \\al(2,5)种方法，剩余3人都不坐与自己编号相同的座位有2种方法，由分步乘法计数原理得所求的坐法种数为2Ceq \\al(2,5)＝20.
5．已知函数f(x)＝ax2－bx＋ln x(a，b∈R)．
(1)若a＝1，b＝3，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若b＝0时，不等式f(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)由题意得x>0，a＝1，b＝3时，
f(x)＝x2－3x＋ln x，
f′(x)＝2x－3＋eq \f(1,x)＝eq \f(2x－1x－1,x)，
令f′(x)>0，解得00，解得x>eq \r(e)，此时g(x)单调递增，
令g′(x)