新高考数学二轮复习课件 专题突破 专题3　微重点10　子数列问题

这是一份新高考数学二轮复习课件 专题突破 专题3　微重点10　子数列问题，共47页。PPT课件主要包含了偶数项，考点一，规律方法，当n为奇数时，两数列的公共项，考点二，n2－2n，分段数列，考点三，由1可知等内容，欢迎下载使用。

子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.
(1)证明：数列{bn＋2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
由题意可知b1＝a1＝1，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2a2n－1＋2＝2bn＋2，
故{bn＋2}是以b1＋2＝3为首项，以q＝2为公比的等比数列，所以bn＋2＝3×2n－1，n∈N*，故bn＝3×2n－1－2，n∈N*.
(2)求数列{an}的前2n项和.
由(1)知，bn＝3×2n－1－2，n∈N*，即a2n－1＝3×2n－1－2，n∈N*，
故a2n＝a2n－1＋1，n∈N*，故数列{an}的前2n项和 S2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n ＝2[3(20＋21＋22＋…＋2n－1)－2n]＋n
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的类型；③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；④已知条件明确的奇偶项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
(2022·山东学期联考)已知数列{an}满足an－1－an＝an－an＋1(n≥2)，且a1＝1，a7＝13；数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
由已知可得，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}为等差数列，设其公差为d，由a7＝a1＋6d＝13，解得d＝2，∴an＝2n－1，在数列{bn}中，当n＝1时，b1＝S1＝1，
当n＝1时，满足上式，∴bn＝3n－1.
则当n为偶数时，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1＋5＋…＋2n－3＋3＋…＋3n－1
当n＝1时，上式也成立.
(1)求{an}与{bn}的通项公式；
当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n－1，由Tn＝ 当n＝1时，b1＝T1＝2，
当n＝1时，上式也成立，所以bn＝2n.
(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.
数列{an}和{bn}的公共项依次为21，23，25，27，…，∴21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，∴cn＝2×4n－1，
两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
方法一　(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
方法二　(引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一.
已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；
由于数列{an}是公比大于1的等比数列，设首项为a1，公比为q，
所以an＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.
方法一　由题意知，2n≤m，即n≤lg2m，当m＝1时，b1＝0.当m∈[2k，2k＋1－1)时，bm＝k，k∈N*，则S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋…＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480.方法二　由题意知bm＝k，m∈[2k，2k＋1)，因此，当m＝1时，b1＝0；当m∈[2,4)时，bm＝1；
当m∈[4,8)时，bm＝2；当m∈[8,16)时，bm＝3；当m∈[16,32)时，bm＝4；当m∈[32,64)时，bm＝5；当m∈[64,128)时，bm＝6.所以S100＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b100＝0＋(1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(6＋6＋…＋6)＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480.所以数列{bn}的前100项和S100＝480.
解决此类问题的关键是通过阅读、理解题意求分段数列的通项，要弄清楚为什么要分段，从什么地方开始分段.常见的题型有取整问题、求绝对值数列的和、添加部分数列或删除部分数列等.
(1)求数列{an}的通项公式；
所以T100＝a1－a3＋a5－a7＋…＋a97－a99
1.(2022·青岛模拟)已知{an}为等比数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列，{bn}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
由题意知a1＝2，a2＝4，a3＝8，所以等比数列{an}的公比q＝2，an＝a1qn－1＝2n，设等差数列{bn}的公差为d，则2＝b3－2b1＝2d－b1，
所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n.
(2)若cn＝[lg bn]，其中[x]是高斯函数(表示不超过x的最大整数)，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求数列{cn}的前100项的和T100.
由(1)知cn＝[lg (2n)]，则T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg 2]＋[lg 4]＋[lg 6]＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg 100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.
2.(2022·济宁模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝9，S7＝49.(1)求数列{an}的通项公式；
设等差数列{an}的公差为d，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以数列{bn}的前100项和为(b1＋b2＋…＋b10)＋(b11＋b12＋…＋b20)＋(b21＋b22＋…＋b30)＋…＋(b91＋b92＋…＋b100)＝(a1＋a2＋…＋a10)＋2(a1＋a2＋…＋a10)＋22(a1＋a2＋…＋a10)＋…＋29(a1＋a2＋…＋a10)＝(1＋2＋22＋…＋29)(a1＋a2＋…＋a10)
3.已知等比数列{bn}和递增的等差数列{an}满足a1＝12，b1＝1，a2＝5b2，a3＝2b3.(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
设等比数列{bn}和递增的等差数列{an}的公比和公差分别为q，d(d>0)，故由a1＝12，b1＝1，a2＝5b2，a3＝2b3，
故an＝12＋3(n－1)＝3n＋9，bn＝3n－1.
(2)数列{an}和数列{bn}中的所有项分别构成集合A和B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前63项和S63.
b1＝1，b2＝3，b3＝9，b4＝27，b5＝81，b6＝243，∴b4＝a6，b5＝a24，b6＝a78，∴b4，b5是公共项，∴S63＝(b1＋b2＋b3＋b4＋b5)＋(a1＋…＋a60)－(b4＋b5)
4.(2022·山东联考)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝kan(k≠1)，n∈N*，a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列.(1)求k的值和{an}的通项公式；
因为a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列，所以2(a3＋a4)＝a2＋a3＋a4＋a5，得a5－a3＝a4－a2，得(k－1)a2＝(k－1)a3，因为k≠1，所以a2＝a3＝2，
当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，可得Sn＝S2k＝b1＋b3＋…＋b2k－1＋b2＋b4＋…＋b2k
当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N*，可得Sn＝S2k－1＝b1＋b3＋…＋b2k－1＋b2＋b4＋…＋b2k－2