湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期第一次大练习数学试题（原卷及解析版）

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时量：120分钟 满分：150分
得分：_________
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）
1.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.一元二次不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
4.已知，则的最小值是（ ）
A.4B.8C.12D.16
5.设，则（ ）
A.B. C.D.
6.已知， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
7.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A B.C.D.
8.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（ ）
A.甲B.乙C.丙D.丁
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A.M＝{3，－1}，P＝{3，－1}
B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
10.若，，且，则下列不等式恒成立的（ ）
A.B.C.D.
11.下列命题中是真命题的是（ ）
A.“且”是“”的充要条件
B.“”是“”的充分不必要条件
C.“”是“关于x不等式（）的解集为空集”的充要条件
D.若，则
12.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（ ）
A.0，1是任何数域中的元素
B.若数集M，N都是数域，则是一个数域
C.存在无穷多个数域
D.若数集M，N都是数域，则整数集
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.设集合，集合，若，则实数_____.
14.已知不等式的解集是,则不等式的解集是
___________.
15.已知集合，若集合M至少有8个子集，则实数m的最小整数值为__________．
16.已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：
（ⅰ）；
（ⅱ）对任意的，任意的，都有；
（ⅲ）对任意的且，都有．
给出下列四个结论：
①；②；③对任意，都有；④对任意的，都有．
其中所有正确结论序号是________．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知集合，；
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18.已知，，．
（1）求的最小值；
（2）求证：．
19.设集合，B＝{x|2(a＋1)x＋a2－1＝0}.
（1）若－1∈B，求a的值；
（2）设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围.
20.关于实数x的不等式．
（1）若，求该不等式解集；
（2）若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
21.某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为
（1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
（2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．
22.符号表示不大于x的最大整数（），例如：，，．
（1）已知方程的解集为M，方程的解集为N，直接写出集合M、N；
（2）在（1）的条件下，设集合，是否存在实数k使得且，若存在，请求出实数k的范围；若不存在，请说明理由；
（3）设函数（），方程的两个实根为和，且满足．若函数在时的函数值记为，求证：．