高考数学二轮专题复习函数

这是一份高考数学二轮专题复习函数，文件包含大招5对数平均不等式docx、大招4比值或作差代换docx、大招1函数的性质docx、大招3特殊值极限法秒解函数图象题docx、大招2中值模型docx等5份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。

基本不等式链：已知，，（当且仅当取等号），即：调和平均数<几何平均数<算术平均数<平方平均数，简记为：调几算方．
对数平均不等式：对于正数a，b，且，定义为a，b的对数平均值，且若，，即：调和平均数<几何平均数<对数平均数<算术平均数<平方平均数，简记为：调几对算方．
证明：
证法1（比值代换）令，则，构造函数可证．
证法2（主元法）不妨设，，记，，则，得在上单调递淢，有，左边得证，右边同理可证．
证法3（构造函数法）先证：
要证，只需证，令，只需证，，设，，则，可得在上单调递减，∴．
再证：
要证，只需证，令，只需证，∴，．设，，则，故在上单调递减，∴，∴．
★常见等价变形：；
用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤：
（1）根据建立等量关系；
（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；
（3）通过恒等变形转化出对数平均数，代入对数平均不等式求解．
典型例题
【题型1】证明极值点偏移问题
例1．已知函数，如果，且，证明：．
解 证明：即，，则（正数，的对数平均数为1），
于是，得，且．
例2．已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．
解 证明：由得，；
，由对数平均不等式得，
，，得．
例3．设函数的两个零点是，，求证：．
解 证明：由题意得，
两式相减得，，则，
所以
．
例4．设函数，其图像与轴交于，两点，且，
解 证明：．
证明：即，，则
①-②得，则（正数，的对数平均数为1），于是，，得
①+②得，所以，由此可得．
【题型2】的应用
例5．设函数，其中是的导函数，设，比较与的大小，并加以证明．
解 因为，所以，
而，因此，比较与的大小，即只需比较与的大小即可．根据时，，即，
令，，则，所以，，…，
，将以上各不等式左右两边相加得：，
故．
【说明】本题是高考试题的压轴题，难度较大，我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握，也可以利用之前讲的数列不等式．
当时，，即，令，，则，可得．
例6．已知函数的最小值为0，证明：．
解 证明：易求，待证不等式等价于，
根据时，，即，令，，则，，，，…，
，将以上各不等式左右两边分别相加得：
，，得证．
【题型3】的应用
例7．设数列的通项，其前项的和为，证明：．
解 证明：根据时，，即，
令，，则，
易证．
【题型4】的应用
例8．设数列的通项，证明：．
解 证明：根据时，，即，
令，，则，易证．
【题型5】的应用
例9已知函数的图象在点处的切线方程为．
证明：，
解 证明：当时，，即，
令，则，
所以，，…，
，将以上各不等式左右两边分别相加得：
，即，
故．
【题型6】的应用
例10．已知．
求证：对一切正整数均成立．
故选B.
例13.(2021•秋榆树市期末)设,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
解：,即.
,
.
综上可得,
故选A.
题型二利用常见函数单调性比较
例14.(2020•天津)设,则的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解：,
则,,,
故选D.
例15.（2021•武汉模拟）设,则（）
A.
B.
C.
D.
解：,
幂函数在上单调递增,且,即,
故选C.
例16.（2021•春桞州期末)设,则(）
A.
B.
C.
D.
解：,,
故选D.
例17.（2010•安徽)设,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
解：在时是增函数
又在时是减函数,所以
故选A.
例18.(2021•秋海淀区校级期末)已知,则按从小到大的顺序排序为___________.
解:由是增函数,
得,
由是增函数,
得,
故,
故答案为.
题型三构造函数利用单调性比较大小
例19.(2021•乙卷)设,则()
A.
B.
C.
D.
解:,
,
令,
令,则
,
,
,
在上单调递增,
,
,
,
同理令,
再令,则
,
,
,
在上单调递减,
,
,
,
.
故选B.
例20.•新课标I)若,则()
A.
B.
C.
D.
解:为;
因为,
所以,
令,由指对数函数的单调性可得在内单调递增;
且;
故选B.
例21.(2021•广州一模)已知是自然对数的底数,设
,则()
A.
B.
C.
D.
解:已知是自然对数的底数,,
设,
则,
当时,,函数在上是增函数,
当时,,函数在上是减函数,
,而,
所以,
又因为,为常用不等式,可得,
令,
当时,,函数在上是减函数,
故,
则,即,
则,
故:
故选A.
例22.(2021•惠州模拟)已知,则的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解:构造函数,由函数图像可知:
在时,,即,
,
又,,
故选C.
例23.(2021•漳州三模)若,则()
A.
B.
C.
D.
解:由,
所以,且;
又,
;
不妨设,
则有;
构造函数,
所以,
令,解得;
所以时,是单调增函数;
所以,即,
所以;
综上知,.
故选D.
例24.若则的大小关系为（）
A.
B.
C.
D.
解：令,
时,,
在上单调递減,
又,
,
.
故选D.
例25.(2021秋•唐山期末)设,则的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解：构造函数,
则,当时,,
则在上为增函数,
,即,
,即,则；
设,则,
当时,,
在上为增函数,则,
即,则.
又
.
故选B.
例26.(2021•巴中模拟)已知,则下列选项正确的是()
A.
B.
C.
D.
解：,
,
的大小比较可以转化为的大小比较.
设,
则,
当时,,当时,,当时,
在上,单调递减,
,
,
故选D.
例27.(2021•桞州模拟)已知,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
解：,
,且,
,
,且,
,
,
.
故选B.
例28.(2021•沙坪坝区校级模拟)已知实数,满足,则关于下列判断正确的是()
A.
B.
C.
D.
解：先比较与2的大小,
因为,
所以,
所以,即,
故排除,
再比较与2的大小,
易得,当时,由,得与矛盾,舍去,
故,则有,得,
令,
令,则,
故,
故,
从而.
故选D.
例29.(2021•滨州二模)已知(为自然对数的底数),
,则的大小关系为(）
A.
B.
C.
D.
解：,
构造函数,则,
由,得,
当时,是减函数,
当时,是增函数,
当时,取最大值,
,
.
故选C.
例30.(2021春・历城区校级月考)已知,则的大小关系为(）
A.
B.
C.
D.
解：设,则;
时,;
在上单调递减;
;
.
故选C.
例31.(2021•巴中模拟)已知,则下列选项正确的是()
A.
B.
C.
D.
解：,
,
的大小比较可以转化为的大小比较.
设,
则,
当时,,当时,,当时,
在上,单调递减,
,
,
故选D.
自我检测
1.(2021•邯郸二模)设,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
解析：,
.
又 ,
.
故选 A.
2.(2019•天津)已知,则的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解析：由题意, 可知:
,
.
,
最大, 都小于 1 .
.
.故选 A.
3.(2021•平阴县模拟)设,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
解析：由指数函数和对数函数的图象可以得到: , 所以 ，故选 A.
4.(2021秋•包河区校级月考)设,则(）
A.
B.
C.
D.
解析：, 则 , 故选 D.
5.(2021秋•唁江区校级月考)已知均为正数,且
,则,的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解析：方法 1: 均为正数, 且 , , 得 , 从而 , 即 , 由此得 , 得 , 从而有 , 可得 , 得 , 从而有 , 可得
故选 C.
方法 2: 画出 图象, 通过比较交点即可得出
6.(2021秋•南关区校级期中)以下四个数中最大的是（）
A.
B.
C.
D.
解析：.
给出的四个数中最大的是 . 故选 D
7.(2021•河南模拟)若实数满足,则的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解析： 实数 满足 , , , ,
的大小关系为 . 故选 B.
8.(2021秋•广州期末)设,则的大小关系是（）
A.
B.
C.
D.
解析： ,
,
,
, 故选 A.
9.(2021•南宁一模)设,则()
A.
B.
C.
D.
解析：; 又 ； ;
;
;
;
;
又 ；
;
. 故选 D.
10.(2021秋•安期末)设,则()
A.
B.
C.
D.
解析：, , 故选 C.
11.(2013•新课标II)设,则()
A.
B.
C.
D.
解析：因为 , 因为 是增函数, 所以 ,
所以 ,
所以 ,
故选 D.
12.(2021•漳州一模)设,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
解析：;
. 故选 C.
13.(2021•秋兹淨市期末)三个数的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解析：,
, 故选 A.
14.(2021•秋平遥县校级月考)设,则()
A.
B.
C.
D.
解析：, ,
; . 故选 D.
15.(2021•宜昌模拟)已知,则的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解析：, 根据对数函数的图象, 所以
, , 故选 B.
16.(2021•绵阳模拟)已知,给出以下结论:
(1);(2);(3).
则其中正确的结论个数是（）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
解析：, 故 为减函数, 在 上为增函数, 故 , 即(1)正确;
为减函数, 在 上为增函数, , 即(2)错误;
与 在 上均为减函数, 故 , . 即(3)正确; 故选 B.
17.(2021•春锦州期末)记,则的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解析：由 是定义域 的单调增函数, 且 , 所以 , 即 ;
又 是定义域 上的单调增函数, 且 , 所以 , 即 ; 所以 的大小关系为 .
故选 B.
18.(2021•自贡模拟)下列四个命题:(1);(2);(3);(4),其中真命题的个数是()(e为自然对数的底数)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：构造函数 , 导数 ,
当 时, 递增;
时, 递减.
可得 取得最大值 .
由 , 可得 ,
即有 , 即 , 故(1)不正确;
由 , 可得 ,
即有 , 即 , 故(2)正确;
设 , 可得 ,
在 时, , 即有 , 故(3)正确;
由 的最大值 , 看设 , 则 ,
即 , 即 ,
则 , 故(4)不正确.
故选 B.
19.(2021•呼和浩特模拟)已知实数,满足,关于下列判断正确的是()
A.
B.
C.
D.
解析： 不选 ;令 设 , 则
,
,
故选 D.
20.(2021•秋唐山期末)设,则的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
解析：构造函数 ,
则 ,
当 时, ,
则 在 上为增函数,
, 即 ,
, 即 , 则 ;
设 , 则 ,
当 时, ,
在 上为增函数, 则 ,
即 , 则 .
又 .
.
故选 B.
21.(2021•枯州模拟)已知,则的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
解析：,
设 ,
则 ,
当 时, , 当 时, , 当 时,
在 上, 单调递减,
,
.
故选 B.