新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题2 直线与圆锥曲线的位置关系（2份打包，原卷版+解析版）

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直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考查频率最高的问题.
二、解题秘籍
(一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质
1.把直线l： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C： SKIPIF 1 < 0 联立,当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与椭圆C有2个交点；
2. 直线l： SKIPIF 1 < 0 与双曲线C： SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与双曲线C有2个交点；当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与双曲线C的左右支各有一个交点；当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与双曲线C的右支有2个交点；
3.直线l： SKIPIF 1 < 0 与抛物线C： SKIPIF 1 < 0 联立,得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时直线l与抛物线C有2个交点.
【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时,直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.
【解析】（1）由题意知,离心率 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以直线为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因为l不过D点,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,化简得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,且三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直且斜率不为0, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线,证明：直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因为三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,所以右焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,故可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率也存在,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 .
【例3】（2023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点,求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上,且 SKIPIF 1 < 0 ,求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
【解析】（1）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时,其方程为 SKIPIF 1 < 0 ,符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时,直线 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
综上,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 ,或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,不妨令 SKIPIF 1 < 0 ,
∵直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ）.
(二)根据直线与圆锥曲线有一个公共点研究圆锥曲线的性质
1.直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切,可把直线方程与椭圆方程联立,整理成关于x或y的一元二次方程,由 SKIPIF 1 < 0 求解；
2. 直线l： SKIPIF 1 < 0 与双曲线C： SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时直线l与双曲线C有1个交点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与双曲线有1个公共点；
3.当直线l： SKIPIF 1 < 0 与抛物线C： SKIPIF 1 < 0 联立,得 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点.
【例4】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上,点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 外,且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上横坐标大于1的一点,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有且仅有一个交点,并与直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交于M,N两点, SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,记 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【解析】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上,所以 SKIPIF 1 < 0 ,①
因为点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 外,且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,②
由①②解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
由椭圆性质以及点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标大于1可知, SKIPIF 1 < 0 ,
将直线 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 并化简可得, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆有且仅有一个交点,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ；直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
联立方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,同理得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,不等式取等号,
故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
【例5】已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的焦距为4,且过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C有且只有一个公共点,求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,
根据定义有 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 所求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,所以渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ,消去 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时,此时直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时,由 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
此时直线 SKIPIF 1 < 0 双曲线相切于一个公共点,符合题意．
综上所述：符合题意的 SKIPIF 1 < 0 的所有取值为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
【例6】已知顶点在原点,焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的抛物线过点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程；
(3)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交抛物线于A、B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程．
【解析】（1）因为顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点 SKIPIF 1 < 0 ,
所以抛物线的焦点在y轴正半轴,设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
将点 SKIPIF 1 < 0 代入可得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以抛物线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
（2）当直线斜率不存在时,过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有一个交点；
当直线斜率存在时,设直线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,直线方程为 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
直线与抛物线只有一个交点,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0
综上,过点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个交点的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）设点 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0
点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上,所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线方程为 SKIPIF 1 < 0
经检验,直线 SKIPIF 1 < 0 符合题意.
(三)判断直线与圆锥曲线公共点个数
判断直线l：Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线C：F(x,y) ＝0公共点个数时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y) ＝0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C有2个公共点；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C有1个公共点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C没有公共点.
(2)当a＝0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴重合或平行．
【例7】（2022届浙江省温州市乐清市高三下学期5月仿真）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点,点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 的同侧,且点 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值,并判断直线与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求 SKIPIF 1 < 0 所需要满足的条件；
【解析】（1）椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
又直线 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
联立 SKIPIF 1 < 0 ,消去y可得： SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C有1个公共点.
（2）联立 SKIPIF 1 < 0 ,消去y可得： SKIPIF 1 < 0 .
因为直线l与椭圆C有两个公共点,所以 SKIPIF 1 < 0 ,整理化简得： SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以直线l与椭圆C有两个公共点,则 SKIPIF 1 < 0 .
【例8】如图,F是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点,Q是准线与x轴的交点,斜率为k的直线l经过点Q．
(1)当k取不同数值时,求直线l与抛物线公共点的个数；
(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点,求证： SKIPIF 1 < 0 是定值．
(3)在x轴上是否存在这样的定点M,对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点,均能使得 SKIPIF 1 < 0 为定值,若有,找出满足条件的点M;若没有,请说明理由．
【解析】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 并化简得 SKIPIF 1 < 0 ①．
当 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,与 SKIPIF 1 < 0 的交点为原点 SKIPIF 1 < 0 ,直线l与抛物线有 SKIPIF 1 < 0 个公共点；
当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
若 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,直线l与抛物线有 SKIPIF 1 < 0 个公共点；
若 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时,直线l与抛物线有 SKIPIF 1 < 0 个公共点；
若 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,直线l与抛物线没有公共点．
（2）由于直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线有两个交点,由（1）得 SKIPIF 1 < 0 .
设交点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,
由①得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值0．
（3）若存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 为定值．
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ．
三、跟踪检测
1．已知,分别是椭圆的左、右焦点,点,在直线的同侧,且点,到直线l的距离分别为,.
(1)若椭圆C的方程为,直线l的方程为,求的值,并判断直线l与椭圆C的公共点的个数；
(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求所需要满足的条件；
(3)结合（1）和（2）,试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件（不需要证明）.
2．已知抛物线的方程为,直线l绕点旋转,讨论直线l与抛物线的公共点个数,并回答下列问题：
（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？
（2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
3．（2023届四川、云南部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,其左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上任意一点,且满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过椭圆外一点 SKIPIF 1 < 0 作椭圆的两条切线 SKIPIF 1 < 0 ,满足 SKIPIF 1 < 0 ,求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
4．（2023届甘肃省金昌市永昌县高三上学期模拟）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一动点, SKIPIF 1 < 0 的最大面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上两点,且 SKIPIF 1 < 0 ,求四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
5．设 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点,直线 SKIPIF 1 < 0 过右焦点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支交于 SKIPIF 1 < 0 两点,当直线 SKIPIF 1 < 0 垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时, SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形.
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ,若直线 SKIPIF 1 < 0 分别交直线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点,当直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角变化时,以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆是否过定点,若过定点求出定点的坐标；若不过定点,请说明理由.
6．（2023届安徽省部分校高三上学期开学摸底）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ,记线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 3 ,求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率;
(2)若四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
7．（2023届浙江省A9协作体高三上学期联考）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两个不同的点.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左顶点,点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左支上,点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上,且直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点,当 SKIPIF 1 < 0 时,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
8．（2023届河南省驻马店市上蔡县高三上学期月考）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ,且经过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆C于A、B两点,求 SKIPIF 1 < 0 （O为原点）面积的最大值.
9．给定椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ,称圆心在原点O、半径是 SKIPIF 1 < 0 的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,其短轴的一个端点到点F的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点,B,D是椭圆C上的相异两点,且 SKIPIF 1 < 0 轴,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ,过点P作两条直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与椭圆C都只有一个公共点,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别与椭圆的“准圆”交于M,N两点．证明：直线MN过原点O．
10．设双曲线C：（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别是F1,F2,渐近线分别为l1,l2,过F2作渐近线的垂线,垂足为P,且△OPF1的面积为．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点（A,B分别在第一、四象限）,且△OAB的面积恒为8,是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C,若存在,求出双曲线C的方程；若不存在,说明理由．
11．如图,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．
(1)求的方程；
(2)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且？证明你的结论．
12．已知双曲线的渐近线方程为,且双曲线C过点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C只有一个公共点,求实数k的值.
13．（2022届上海市上海师范大学附属中学高三下学期3月月考）已知为坐标原点,双曲线和椭圆均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形．
(1)求,的方程；
(2)是否存在直线,使得与交于,两点,与只有一个公共点,且？证明你的结论；
(3)椭圆的右顶点为,过椭圆右焦点的直线与交于、两点,关于轴的对称点为,直线与轴交于点,,的面积分别为,,问是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由．
14．曲线的右焦点分别为,短袖长为,点在曲线上,直线上,且.
（1）求曲线的标准方程；
（2）试通过计算判断直线与曲线公共点的个数.
（3）若点在都在以线段为直径的圆上,且,试求的取值范围.
15．已知直线,,与轴交于点,与轴交于点,与交于点,圆是的外接圆．
（1）判断的形状并求圆面积的最小值；
（2）若,是抛物线与圆的公共点,问：在抛物线上是否存在点是使得是等腰三角形？若存在,求点的个数；若不存在,请说明理由．