新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题5 圆锥曲线中的斜率问题（2份打包，原卷版+解析版）

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斜率问题也是高考圆锥曲线考查的热点,主要有以下类型：利用斜率求解三点共线问题；与斜率之和或斜率之积为定值有关的问题；与斜率有关的定值问题；与斜率有关的范围问题.
二、解题秘籍
(一) 利用斜率求解三点共线问题
利用斜率判断或证明点 SKIPIF 1 < 0 共线,通常是利用 SKIPIF 1 < 0 .
【例1】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线分别交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,且三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不垂直且斜率不为0, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于两个不同的点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的右焦点,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线,证明：直线 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 轴上的一个定点.
【解析】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
不妨设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
因为三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,所以右焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,故可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率也存在,
因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点共线,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
化简得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 经过 SKIPIF 1 < 0 轴上的定点 SKIPIF 1 < 0 .
【例2】（2022届北京市一六一中学高三上学期期中）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点分别为A,B,右焦点为F,直线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若椭圆W的左顶点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点在直线 SKIPIF 1 < 0 上,求m的值；
（2）过F的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆W相交于不同的两点C,D（不与点A,B重合）,直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于点M,求证：A,D,M三点共线.
【解析】（1）由题意知,
直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,且斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,
设点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的点为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上,又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
有 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ,
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时, SKIPIF 1 < 0 ：x=1,此时 SKIPIF 1 < 0 ,
有 SKIPIF 1 < 0 ,所以直线 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
即A、D、M三点共线；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线AD、AM的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
上式的分子
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即A、D、M三点共线.
综上,A、D、M三点共线.
(二)根据两直线斜率之和为定值研究圆锥曲线性质
1.设点是椭圆C：上一定点,点A,B是椭圆C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点,
2. 设点是双曲线C：一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；
3. 设点是抛物线C：一定点,点A,B是抛物线C上不同于P的两点,若,则时直线AB斜率为定值,若,则直线AB过定点；
【例3】（2023届山西省山西大附属中学高三上学期诊断）若点P在直线 SKIPIF 1 < 0 上,证明直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称,或证明直线 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ,可证明 SKIPIF 1 < 0 .
已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点, SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 分别作直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交椭圆于A, SKIPIF 1 < 0 两点,设两直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,证明：直线 SKIPIF 1 < 0 过定点．
【解析】（1）由题意点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个顶点,知 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在,设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ,由题意知 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在,设其方程为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．
由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,显然过点 SKIPIF 1 < 0 ．
综上,直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研）已知点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上,直线l交C于 SKIPIF 1 < 0 两点,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求l的斜率;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【解析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,故双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
由题意知直线l的斜率存在,设 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
则联立直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ,
需满足 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
化简得： SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
由题意可知直线l不过A点,即 SKIPIF 1 < 0 ,
故l的斜率 SKIPIF 1 < 0
（2）设直线AP的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 ,（负值舍去）,
由直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,及 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
将 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中,得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
而 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
【例5】(2022届广东省深圳市高三上学期月考)已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的准线上一点, SKIPIF 1 < 0 是坐标原点,且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 的动直线与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,问：在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 轴平分 SKIPIF 1 < 0 若存在,求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 .
所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）假设在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 轴平分 SKIPIF 1 < 0 .
设动直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 恒成立,
SKIPIF 1 < 0
设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 轴平分 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .把根与系数的关系代入可得 SKIPIF 1 < 0 ,
得 SKIPIF 1 < 0 .
故存在 SKIPIF 1 < 0 满足题意.
综上所述,在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 轴平分 SKIPIF 1 < 0 .
(三) 根据两直线斜率之积为定值研究圆锥曲线性质
1.若点A,B是椭圆C： SKIPIF 1 < 0 上关于原点对称的两点,点P是椭圆C上与A,B不重合的点,则 SKIPIF 1 < 0 ；若点A,B是双曲线C： SKIPIF 1 < 0 上关于原点对称的两点,点P是双曲线C上与A,B不重合的点,则 SKIPIF 1 < 0 .
2.若圆锥曲线上任意一点P作两条直线与该圆锥曲线分别交于点A,B,若 SKIPIF 1 < 0 为定值,则直线AB过定点.
【例6】(2022届黑龙江省大庆高三上学期期中)在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点和右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,记直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 为定值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【解析】（1）证明：设 SKIPIF 1 < 0 ,易知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 为定值.
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ,
联立 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
所以, SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 ,所以, SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
【例7】（2023届湖南省永州市高三上学期第一次适应性考试）点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上,离心率 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两个动点（异于点 SKIPIF 1 < 0 ）, SKIPIF 1 < 0 分别表示直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率,满足 SKIPIF 1 < 0 ,求证：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过一个定点,并求出该定点的坐标.
【解析】（1）由题意点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 上,离心率 SKIPIF 1 < 0
可得； SKIPIF 1 < 0 ,解出, SKIPIF 1 < 0 ,
所以,双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程是 SKIPIF 1 < 0
（2）①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时,则可设 SKIPIF 1 < 0 ,
代入 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 其中一个与点 SKIPIF 1 < 0 重合,不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时,直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,它与双曲线 SKIPIF 1 < 0 不相交,故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在；
②当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时,设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得, SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以, SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ,过定点 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ,它过点 SKIPIF 1 < 0 ,舍去
综上,直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0
另解：
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ①,
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ②,
由①②可得 SKIPIF 1 < 0 ,
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ,
两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ③,
SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 是方程③的两个不同的根,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ④,
由①④可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
(四)判断或证明与斜率有关的定值与范围问题
1.判断或证明与斜率有关的定值问题,通常是把与斜率有关的式子用某些量来表示,然后通过化简或赋值得到定值.
2.求斜率有关的范围问题,通常是把与斜率有关的式子用其他量来表示,转化为求函数值域问题,或由已知条件整理出关于斜率的不等式,通过解不等式求范围.
【例8】（2022届山东省学情高三上学期12月质量检测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .过 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方,且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,是否存在一定点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 为定值,若存在,求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标,若不存在,请说明理由.
【解析】（1）由己知得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）如果存在点M,由于椭圆的对称性可知点M一定在 x轴上,
设其坐标为( SKIPIF 1 < 0 ,0),
因为椭圆右焦点F(1,0),直线斜率存在时设l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
当直线斜率不存在时,存在一定点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 为定值0.
综上:存在定点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 为定值0.
【例9】（2022届广东省高三上学期12月大联考）已知圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点,点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点,点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上,且满足 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）不过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 与（1）中轨迹 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上,求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【分析】（1）依题意 SKIPIF 1 < 0 ,根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆,再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立,根据韦达定理得到中点坐标 SKIPIF 1 < 0 ,将点Q坐标代入抛物线方程得到 SKIPIF 1 < 0 ,将此式代入 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ,解不等式即可.
【解析】（1）
易知 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点, SKIPIF 1 < 0 ,
依题意 SKIPIF 1 < 0 ,
所以点 SKIPIF 1 < 0 轨迹是一个椭圆,其焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,长轴长为4,
设该椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）易知直线1的斜率存在,
设直线1： SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ①又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ,将 SKIPIF 1 < 0 ,代 SKIPIF 1 < 0 ,
得： SKIPIF 1 < 0 ,
将②代入①,得： SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
四、跟踪检测
1．（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）上,且点 SKIPIF 1 < 0 到椭圆右顶点 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点（均异于 SKIPIF 1 < 0 ）且满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．试判断直线 SKIPIF 1 < 0 是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．
2．（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的中心为坐标原点,对称轴为 SKIPIF 1 < 0 轴, SKIPIF 1 < 0 轴,且过 SKIPIF 1 < 0 两点.
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2) SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点,直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 （不与点 SKIPIF 1 < 0 重合）两点,记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ,证明： SKIPIF 1 < 0 的周长为定值,并求出定值.
3．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时,直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.
4．（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右顶点, SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的上顶点和左焦点.点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上,满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 （与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合）交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点,设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,求证： SKIPIF 1 < 0 为定值.
5．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ,其右焦点为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率；
(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上,右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ,且满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
6．（2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)斜率为 SKIPIF 1 < 0 且过原点的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,求 SKIPIF 1 < 0 最小时 SKIPIF 1 < 0 的值.
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的动直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,若曲线 SKIPIF 1 < 0 上存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使 SKIPIF 1 < 0 为定值 SKIPIF 1 < 0 ,求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
7．（2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左右顶点,直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于 SKIPIF 1 < 0 两点,直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.
(2)直线l与点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹交于 SKIPIF 1 < 0 两点,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率与直线 SKIPIF 1 < 0 斜率之比为 SKIPIF 1 < 0 ,求证以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆一定过C的左顶点.
8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且左焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为椭圆上的一个动点, SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点,点 SKIPIF 1 < 0 ,记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,证明： SKIPIF 1 < 0 .
9.（2022届河北省石家庄高三上学期11月月考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 轴,且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点,若点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于点 SKIPIF 1 < 0 的动点,设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,过原点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 的垂线,垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ,问：是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ,使得线段 SKIPIF 1 < 0 的长为定值？若存在,求出定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及线段 SKIPIF 1 < 0 的长；若不存在,请说明理由．
10．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 ,圆 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 ,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线为l．已知E的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 关于直线l的对称点都在圆C上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问：是否存在实数m,使直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由．
11．（2022届上海市嘉定区高三一模）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中,已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,且椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,过点F的直线l与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.
（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ,求点P的坐标；
（3）设直线AP、BQ的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 ?若存在,请求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在,请说明理由.
12．(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的虚轴长为4,直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A,B,过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M,N(点M在第一象限),记直线MA斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,直线NB斜率为 SKIPIF 1 < 0 ,求证： SKIPIF 1 < 0 为定值．
13．（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研）已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 的上下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ,过点P SKIPIF 1 < 0 且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于 SKIPIF 1 < 0 两点,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)求证：点 SKIPIF 1 < 0 在定直线上.
14．（2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考）已知 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ,记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程;
(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点, SKIPIF 1 < 0 为坐标原点,若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 , 证明: SKIPIF 1 < 0 的面积为定值.
15．（2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ,离心率为 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的任意内接三角形,点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)记直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ,且斜率均存在.求证： SKIPIF 1 < 0 .