新高考数学一轮复习学案 第4章 §4.4 三角函数的图象与性质（含解析）

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1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(3)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
(4)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝sin eq \f(π,6)知，eq \f(2π,3)是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝－2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,12)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,6)k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)k∈Z))))
答案 D
解析 由2x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，k∈Z.
3．下列函数中，是奇函数的是( )
A．y＝|cs x＋1| B．y＝1－sin x
C．y＝－3sin(2x＋π) D．y＝1－tan x
答案 C
解析 选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
4．函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的最小正周期是________．
答案 π
题组三 易错自纠
5．(多选)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案 ABC
解析 由题意，可得f(x)＝－cs x，
对于选项A，T＝eq \f(2π,1)＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，所以函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以选项B正确；
对于选项C，f(－x)＝－cs(－x)＝－cs x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
6．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象的对称中心是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,4)，0))，k∈Z
解析 由x＋eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，
得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,4)，k∈Z，
∴对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,4)，0))，k∈Z.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5π,4)))(k∈Z)
解析 要使函数有意义，必须使sin x－cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))时，函数y＝3－sin x－2cs2x的值域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,8)，2))
解析 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以sin x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
又y＝3－sin x－2cs2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,4)))2＋eq \f(7,8)，
所以当sin x＝eq \f(1,4)时，ymin＝eq \f(7,8)，当sin x＝eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,8)，2)).
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcs x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝ln(cs x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z
D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
答案 C
解析 由题意知，cs x>0，
∴2kπ－eq \f(π,2)