新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.6　双曲线（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.6　双曲线（含解析），共18页。学案主要包含了双曲线的定义及应用，双曲线的标准方程，双曲线的几何性质等内容，欢迎下载使用。

1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(00，b>0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？
提示 可设方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(2)双曲线eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( √ )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( √ )
(4)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝1.( √ )
题组二 教材改编
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5) B．5 C.eq \r(2) D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
3．(2021·阜阳模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的一条渐近线经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(6)))，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \r(2) C．3 D.eq \r(3)
答案 A
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的一条渐近线为y＝eq \f(b,a)x过第一象限，所以点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(6)))在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，可得eq \r(6)＝eq \r(2)×eq \f(b,a)，所以eq \f(b,a)＝eq \r(3)，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1＋3)＝2.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案 eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1
解析 设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为eq \f(x2,15)－eq \f(y2,15)＝1.
题组三 易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程eq \f(x2,3－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是( )
A．若C为椭圆，则10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|≤|eq \(F1F2,\s\up6(—→))|，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C．(1，eq \r(2)] D．[eq \r(2)，＋∞)
答案 B
解析 当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，所以eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→)))；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存在点P满足2|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|≤|eq \(F1F2,\s\up6(—→))|，所以4|eq \(PO,\s\up6(→))|≤2c，由|eq \(PO,\s\up6(→))|≥a，可知4a≤2c，则e≥2，选B.
(2)(2020·潍坊模拟)已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq \f(2π,3)，则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝eq \f(2,3)π，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝eq \f(1,2)×2a×4a×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)a2.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以|BA|＝|BF2|，又∠F1AF2＝eq \f(2,3)π，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(\r(3),4)|AB|2＝eq \f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq \r(3)a2，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq \f(1,2).故选B.
思维升华 (1)求双曲线的渐近线或离心率的方法
①求出a，b，c直接求离心率，写渐近线方程．
②列出a，b，c的各次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．
(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不等关系．
跟踪训练2 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
答案 D
解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.
将x＝－1代入y＝±eq \f(b,a)x，得y＝±eq \f(b,a)，
所以点A，B的纵坐标的绝对值均为eq \f(b,a).
由|AB|＝4|OF|可得eq \f(2b,a)＝4，即b＝2a，b2＝4a2，
故双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(5).
(2)设双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案 eq \f(32,15)
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.
∴A(3,0)，F(5,0)，不妨设直线BF的方程为y＝eq \f(4,3)(x－5)，
代入双曲线方程解得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)，－\f(32,15))).
∴S△AFB＝eq \f(1,2)|AF|·|yB|＝eq \f(1,2)×2×eq \f(32,15)＝eq \f(32,15).
课时精练
1．已知双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,m＋6)＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1
答案 D
解析 由题意，得2eq \r(m)＝eq \r(m＋6)，解得m＝2，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1.
2．已知方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，eq \r(3))
C．(0,3) D．(0，eq \r(3))
答案 A
解析 ∵方程eq \f(x2,m2＋n)－eq \f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))＝3，,\f(x\\al(2,0),4)－\f(y\\al(2,0),5)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＝\f(56,9)，,y\\al(2,0)＝\f(25,9)，))所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(14),3)，\f(5,3)))，
所以S△OPF＝eq \f(1,2)|OF|·y0＝eq \f(1,2)×3×eq \f(5,3)＝eq \f(5,2).
6．(2021·山南模拟)已知A，B，C是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(17),3) C.eq \f(\r(17),2) D.eq \f(9,4)
答案 B
解析 设左焦点为F′，|AF|＝m，连接AF′，CF′，BF′，
则|FC|＝2m，|AF′|＝2a＋m，|CF′|＝2a＋2m，|FF′|＝2c.
因为BF⊥AC，且AB经过原点O，
所以四边形FAF′B为矩形．
在Rt△AF′C中，|AF′|2＋|AC|2＝|F′C|2，
代入得(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，
化简得m＝eq \f(2a,3)，
所以在Rt△AF′F中，|AF′|2＋|AF|2＝|F′F|2，
代入得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(2a,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,3)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2c))2，
化简得eq \f(c2,a2)＝eq \f(17,9)，即e＝eq \f(\r(17),3).
7．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为eq \r(n)
C．若mn0，则C是两条直线
答案 ACD
解析 对于A，当m>n>0时，有eq \f(1,n)>eq \f(1,m)>0，方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝eq \f(1,n)，表示半径为eq \r(\f(1,n))的圆，故B错误．
对于C，当m>0，n0时，方程化为y＝±eq \r(\f(1,n))，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
8．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( )
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为eq \r(2)
答案 ACD
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知|F1F2|＝2eq \r(2)，
所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＝2，,y0＝x0，))解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×1＝eq \r(2)，故D正确．
故选ACD.
9．(2020·北京)已知双曲线C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
答案 (3,0) eq \r(3)
解析 由eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，得c2＝a2＋b2＝9，
解得c＝3，焦点在x轴上，
所以双曲线C的右焦点坐标为(3,0)．
双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(3),\r(6))x，
即x－eq \r(2)y＝0，
所以焦点(3,0)到渐近线的距离为d＝eq \f(3,\r(1＋－\r(2)2))＝eq \r(3).
10．(2021·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．
答案 3eq \r(5)
解析 双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得eq \f(b,a)＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
可得a＝eq \f(3,2)，b＝3，即有c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(\f(9,4)＋9)＝eq \f(3\r(5),2)，
即焦距为2c＝3eq \r(5).
11.如图，F1和F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
答案 eq \r(3)＋1
解析 设|F1F2|＝2c，连接AF1(图略)，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝eq \r(3)c,2a＝eq \r(3)c－c，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)－1)＝eq \r(3)＋1.
12．(2021·广安邻水实验中学模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|＝eq \r(3)|OP|，则C的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \r(3)x
解析 根据双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，b>0))的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，
则|F1O|＝|OP|＝c，|F1P|＝eq \r(3)|OP|＝eq \r(3)c，
所以在△POF1中，由余弦定理可得cs∠POF1＝eq \f(|OP|2＋|OF1|2－|PF1|2,2|OP|·|OF1|)＝eq \f(c2＋c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)c))2,2×c×c)＝－eq \f(1,2).
所以∠POF1＝eq \f(2π,3)，则∠POF2＝eq \f(π,3)，
所以tan∠POF2＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3)，
则渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
13．(多选)(2021·百师联盟模拟)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，则( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为eq \f(\r(13),2)
C．|eq \(OE,\s\up6(→))|＝1
D．△OMN的面积为6
答案 ABD
解析 如图，设双曲线C的焦距为2c＝2eq \r(13)，MN与y轴交于点P，由题意可知|OM|＝c＝eq \r(13)，则P(0，b)，由eq \(EO,\s\up6(→))＋eq \(EM,\s\up6(→))＋eq \(EN,\s\up6(→))＝0得点E为△OMN的重心，可得|OE|＝eq \f(2,3)|OP|，即a＝eq \f(2,3)b，eq \f(b2,a2)＝eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(9,4)，
所以a＝2，b＝3，e＝eq \f(\r(13),2).
双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，|eq \(OE,\s\up6(→))|＝2，M的坐标为(2,3)，S△OMN＝6，
故选ABD.
14.(2020·临川一中模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上顶点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得eq \(PiA1,\s\up6(—→))·eq \(PiA2,\s\up6(—→))＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(5)＋1,2)))
解析 设c为半焦距，则F(c,0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为eq \(PiA1,\s\up6(—→))·eq \(PiA2,\s\up6(—→))＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(bc,\r(b2＋c2))a，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c4－3a2c2＋a42a2，))
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e4－3e2＋12，))解得eq \r(2)e2
B．当a>b时，e1>e2；当a0，
所以当a>b时，00，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)