2024年山东省菏泽市定陶区中考数学二模试题（解析版）

这是一份2024年山东省菏泽市定陶区中考数学二模试题（解析版），共26页。试卷主要包含了请将答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

1．本试题满分120分，考试时间120分钟
2．请将答案填写在答题卡上
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置）
1. 实数的倒数是，的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
根据乘积是1的两个数互为倒数求出a即可．
【详解】解：∵的倒数是，
∴，
解得：，
故选：C．
2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将0.00000201表示成的形式，其中，，进而可得结果．
【详解】解：将0.00000201表示成的形式，其中，为负整数
∵ ，
∴0.00000201表示成
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于求出的值．
3. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
4. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可．
【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键．
5. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（ ）

A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算．利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，平方差公式逐项判断即可．
【详解】解：与不是同类项，无法合并，则选项A不符合题意；
，则选项B不符合题意；
，则选项C符合题意；
，则选项D不符合题意；
故选：C．
7. 若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴且，
故选C．
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点 E．若AD＝3，BD＝2，则EC的长度是（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线性质可得CE⊥AB，BE＝DE，利用等腰三角形的性质可求得AC的长度，进而根据勾股定理可求EC的长．
【详解】解：由作法得CE⊥AB，BE＝DE，则∠AEC＝90°，
∵AD＝3，BD＝2，
∴AE＝4，BE＝1，
AC＝AB＝BE+AE＝4+1＝5，
在Rt△ACE中，CE3，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练运用相关性质是解决本题的关键．
9. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再判定四边形CEOF是正方形，由切线长定理建立方程求出圆的半径，进而计算扇形面积即可解答；
【详解】解：由题意△ABC中，
∠C=90°，OF⊥AC，OE⊥BC，
∴四边形CEOF是矩形，
OE=OF，
∴矩形CEOF是正方形，
由切线长定理可得CF=CE，AF=AD，BE=BD，
∴AB=AD＋DB=AF＋BE，
设圆的半径为x，则（3－x）＋（4－x）=5，解得x=1，
扇形EOF面积==π，
∴阴影面积=正方形CEOF面积－扇形EOF面积=1-π，
故选：D；
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定和性质，切线长定理，扇形面积计算；结合图形求出内切圆半径是解题关键．
10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．
【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．
12. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的方差为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求一组数据的方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．
先求出这组数据的平均数，再运用方差公式求解即可．
【详解】解：这组数据的平均数，
∴这组数据的方差．
故答案为：．
13. 如图，是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：8．
14. HUAWEI Mate60Pr是华为技术有限公司于2023年8月29日上架的一款全球首款支持卫星通话的大众智能手机，即使在没有地面网络信号的情况下，也可以拨打接听卫星电话，该手机还支持AI隔空操控、智感支付、注视不熄屏等智慧功能等．该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．如图，圆弧对应的弦长，半径，垂足为，弓形高长．则半径的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程．
先根据证明，然后设半径，最后利用勾股定理列出关于的方程，求出即可．
【详解】解：，，
，，
设半径，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故答案为：．
15. 如图，中，，顶点A，分别在反比例函数与的图象上，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数中的几何意义，解直角三角形的相关运算，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．作轴于点，轴于点，可得，结合，可知，从而可证，再根据相似三角形面积比为相似比的平方结合反比例函数中的几何意义可得，结合图像即可求得的值．
【详解】解：如图，作轴于点，轴于点，
，，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
由图可知：的图像在第二象限，
，
故答案为：．
16. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______．
【答案】48
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，
根据第二个矩形左上角的长方形的面积求解即可．
【详解】解：如图，
由题意和图可得：，
∴，
故答案：48．
三、解答题（本题满分72分，把解答过程写在答题卡的相应区域内）
17. （1）计算：；
（2）先化简，然后从不等式的非负整数解中选取一个合适的解代入求值．
【答案】（1）
（2）；时，原式
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，分式化简求值，求不等式非负整数解，熟练掌握零指数幂、负整理指数幂运算法则、分式运算法则和熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
（1）先计算乘方与开方，并求绝对值和指导特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先根据分式运算法则化简，再解不等式求出其非负整数解，然后根据分式有意义选择x的值，代入化简式计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：原式
，
由不等式，得到，
不等式的非负整数解为，
∵
∴当时，原式．
18. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
（2）水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【解析】
【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；
（2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．
【小问1详解】
解：设乙种水果的进价是x元/千克，
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
则，
答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；
【小问2详解】
解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，
由题意得：，
∵－1＜0，
∴y随a的增大而减小，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴，
解得：，
∴当时，y取最大值，此时，，
答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．
19. “阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：

（1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________；
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________；
（3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
【答案】（1）80，32
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值；
（2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数；
（3）用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团情况数，利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，本次抽查的学生人数是（人），
统计表中的，
故答案为：80，32
【小问2详解】
在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：
【小问3详解】
由题意得，（人），
即估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生为人；
【小问4详解】
树状图如下：

从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，
∴P（小文、小明选择同一社团）．
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键．
20. 小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：
请你根据上述信息解决以下问题：
（1）求的大小；
（2）求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）根据，求出，然后结合即可求解；
（2）先求出，在中，利用正切定义求出，在中，，利用正切定义求出即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．
（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
【答案】（1）k=12，C（0，9）；（2）4
【解析】
【分析】（1）由点求出反比例函数的解析式为，可得值，进而求得，由待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点的坐标；
（2）由（1）求出，根据可求得结论．
【详解】解：（1）把点代入，，
反比例函数的解析式为，
将点向右平移2个单位，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
由题意可得，
解得，
，
当时，，
；
（2）由（1）知，
．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线的解析式是解题的关键．
22. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）50 cm
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据，可得，过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可得证；
（2）过点作的平行线，交于点，交于点，由（1）得到，在，中，求得,进而求得，根据即可求解．
【小问1详解】
证明：⊙O与水平地面相切于点C，
，
，
，
AB与⊙O相切于点B，
，
，
过点作，
，
，
，
即∠BOC＋∠BAD＝90°．
【小问2详解】
如图，过点作的平行线，交于点，交于点，
，则四边形是矩形，
， ，
，
在中，，，
（cm)，
在中，，cm，
(cm)，
(cm)，
(cm)，
cm，
(cm)．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，点为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求线段的长度；
（3）在抛物线上是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）2 （3）存在，点的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先表示出直线的解析式为再设，则点，用m的代数式表示出的长度，利用已知条件列出方程，解方程即可求得结论；
（3）在抛物线上存在点P，使得，延长交轴于点，利用求得线段的长，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可求得结论．
小问1详解】
∵抛物线与轴交于和，
，
∴解得：
∴抛物线的解析式为，
【小问2详解】
令，则，
∴C0,-3．
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵点为线段上一点，
∴设，则点，
∴，
∵，C0,-3，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
设交轴于点，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴；
【小问3详解】
在抛物线上存在点，使得，理由：
∵，
∴，
∴，
∴，
延长交轴于点，如图，
由（2）知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，
∴（舍），
∴点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
24. 【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片．在老师的引导下，同学们在边上取中点E，取边上任意一点F（不与C，D重合），连接，将沿折叠，点C的对应点为G，然后将纸片展平，连接并延长交所在的直线于点N，连接．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．
【探究与证明】
（1）如图1，小亮发现：．请证明小亮发现的结论．
（2）如图2、图3，小莹发现：连接并延长交所在的直线于点H，交于点M，线段与之间存在特殊关系．请写出小莹发现的特殊关系，并从图2、图3中选择一种情况进行证明．
【应用拓展】
（3）在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将所在直线与所在直线的交点记为P，若给出和的长，则可以求出的长．
请根据题意分别在图2、图3上补画图形，并尝试解决：当时，求长．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）利用证明得，可得，即可求证；
（2）由折叠得对称轴垂直平分对应点连线段，所以，继而可知，再由，E为中点，即可求证；
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，先由勾股定理求得，然后由求得，最后由“母子型”证明出，再由等角的正切值相等即可求解；第二种情况，当点P在点H右侧，求解方法仿照第一种情况即可．
【详解】（1）证明：∵正方形
∴，
∵将沿折叠，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2），选择图2进行证明．
将沿折叠，
则，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而E为中点，
∴，
∴．
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，如图2，
∵，E为中点，
∴，而
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，∵，
∴；
第二种情况，当点P在点H右侧，如图3，
同理可求，此时，
∵，
∴ ，
∴，
同理可得，
∴，
∴，∵，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等角三角函数值相等，熟练掌握知识点是解决本题的关键．书籍类别
学生人数
A文学类
24
B科幻类
m
C漫画类
16
D数理类
8
问题
鹅卵石的像到水面的距离
工具
纸、笔、计算器、测角仪等
图形
说明
根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得．
数据
，．