江西省丰城中学2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省丰城中学2024届九年级下学期4月期中考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在直角坐标系中,将抛物线先向下平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,所得新抛物线的解析式为( )
A.B.
C.D.
2．用配方法解一元二次方程时,此方程可变形为( )
A.B.C.D.
3．如图,将绕点P顺时针旋转得到,则点P的坐标是( )
A.B.C.D.
4．已知二次函数的图象在x轴的下方,则a,b,c满足的条件是( )
A.,B.,
C.,D.,
5．在直角坐标系中,点A的坐标为,那么点A关于原点对称的点的坐标是( )
A.B.C.D.
6．关于x的一元二次方程一个实数根为2024,则方程一定有实数根( )
A.2024B.C.-2024D.
二、填空题
7．已知实数m,n分别是一元二次方程的两个根,则的值为__________.
8．如图,在平面直角坐标系中,矩形的两边,分别在x轴和y轴上,并且,,若把矩形绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在边上的点处,则点的坐标为______.
9．已知点,都在函数的图象上,则与大小关系是__________(填>,<或=).
10．如图,已知抛物线与直线交于,两点,则关于x的不等式的解集是________.
11．如图,在中,,,将绕点A顺时针旋转,得到,连接,则的长为__________________.
12．对于一元二次方程,下列说法：
①若方程有一根,则；②若,则；③若方程的两个根是,,那么方程的两个根为,；④若是方程的一个根,则一定有成立.其中正确的有______个.(填个数)
三、解答题
13．用适当的方法解下列方程.
(1).
(2).
14．关于x的方程为一元二次方程.
(1)求m的值.
(2)求该一元二次方程的根.
15．如图,在等边中,,点D是线段上的一点,,将绕点A旋转后得到,连接.求的长.
16．如图,一个四周宽相等的长方形镜框,外框长为,宽为,且镜框的面积(不包括阴影部分)为整个大长方形面积的,求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？
17．分别在图①、图②中按要求作图(保留作图痕迹,不写作法).
(1)如图①,在的方格纸中,点A,B,C都在格点上,在图①中找一个格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)如图②,已知四边形是平行四边形,为对角线,点P为上任意一点,请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q,使.
18．在爱心义卖活动中,某班的店铺准备义卖小蛋糕,当每个小蛋糕的售价定为6元时,平均每小时的销售数量为30.细心的小亮发现,售价每提高1元,平均每小时的销售数量就会减少2,但售价不能超过10元.
(1)若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价,两次涨价后的售价为8.64元,且每次涨价的百分率均相同,求涨价的百分率是多少.
(2)若平均每小时的销售总额为216元,求此时小蛋糕的售价为多少元.
(3)要使平均每小时的销售总额最大,小蛋糕的售价应定为多少元？并求出最大销售额.
19．已知关于x的一元二次方程,其中a,b,c分别是的三边的长度.
(1)如果是等边三角形,求这个一元二次方程的根；
(2)如果是以c为斜边的直角三角形,判断这个一元二次方程根的情况,并说明理由.
20．如图,某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成,其中米,米,最高点P离地面的距离为9米,以地面所在直线为x轴,所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的表达式；
(2)暑期来临之际,该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来(条幅的宽可忽略不计),为了安全起见,条幅最低处不能低于底面上方2米.设条幅与的水平距离为m米,求出m的取值范围.
21．如图1,在平面直角坐标系中,抛物线经过点、点,M是抛物线上第一象限内的点,过点M作直线轴于点N.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当直线是抛物线的对称轴时,求四边形的面积
(3)求的最大值,并求此时点M的坐标；
(4)在(3)的条件下,若P是抛物线的对称轴上的一动点,Q是抛物线上的一动点,是否存点点P、Q,使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请求点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
22．在中,E是边上一点,将绕着点D逆时针旋转至,连接.
(1)如图1,连接,当时,,若,,,求线段的长.
(2)如图2,连接交于点G,若,点G为中点,求证：.
23．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图1所示,该类型图象上任意一点P到定点的距离PF,始终等于它到定直线1：的距离PN(该结论不需要证明).他们称：定点F为图象的焦点,定直线l为图象的准线,叫做抛物线的准线的表达式.准线l与y轴的交点为H.其中原点O为FH的中点,.
例如,抛物线,其焦点坐标为,准线表达式为l：,其中,.
【基础训练】
(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式；
【技能训练】
(2)如图2,已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍,求点P的坐标；
【能力提升】
(3)如图3,已知抛物线的焦点为F,准线为l.直线m：交y轴于点C,抛物线上动点P到x轴的距离为,到直线m的距离为,请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
(4)把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线,如图4,点是第二象限内一定点,点P是抛物线上一动点.当取最小值时,请求出△POD的面积.
参考答案
1．答案：C
解析：抛物先向下平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,所得新抛物线的解析式为：.
故选：C.
2．答案：A
解析：,
∴,
∴,
∴.
故选：A.
3．答案：B
解析：如图,
由图可知,点；
故选B.
4．答案：C
解析：二次函教的图象在x轴的下方,
抛物线开口向下,与x轴无交点,
即,,
故选：C.
5．答案：A
解析：由题意知,点A关于原点对称的点的坐标是,
故选：A.
6．答案：D
解析：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024,
∴,
∴,
∴,
∴是方程一定有实数根.
故选：D.
7．答案：
解析：∵实数m,n分别是一元二次方程的两个根,
∴,
∴
∴
故答案为：.
8．答案：
解析：由旋转的性质得：,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
∴的坐标为,
故答案为：.
9．答案：>
解析：∵,
∴当时,y随x的增大而减小,
∵,
∴；
故答案为：>.
10．答案：
解析：由图象可知,当时,抛物线位于直线上方,
∴不等式的解集是：,
故答案为：.
11．答案：
解析：连接,
∵,,
∴,,
由旋转的性质得到：,,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴为垂直平分线,
∴,
∴,
∴.
故答案为：.
12．答案：3
解析：①若方程有一根,则,即,故①正确；
②若,则可知方程有一个根为,
则,故②正确；
③若方程的两个根是,,
所以方程的两个根为,,故③正确；
④若c是方程的一个根,
则,
当时,则一定有成立,故④错误.
综上分析可知：其中正确的是①②③,共3个.
故答案为：3.
13．答案：(1),
(2),
解析：(1)
∴
∴
∴或
解得：,
(2)
∴
∴
∴
∴或
解得：,.
14．答案：(1)
(2),
解析：(1)∵关于x的方程为一元二次方程,
∴,
解得,.
(2)由(1)可得,,
∴,即,
∴,
∴,.
15．答案：2
解析：是等边三角形,
,
∵绕点A旋转后得到,
∴.
16．答案：框边宽为2厘米
解析：设框边宽为x厘米.
,(不合题意,舍去)
答：框边宽为2厘米.
17．答案：(1)图见解析
(2)图见解析
解析：(1)如图所示,过点A沿虚线作线段,交线段于点O,
在上,取,根据平行四边形的对角线相互平分,
∴四边形即为所求图形.
(2)如图所示,连接交于N,连接并延长交于Q,
∵四边形是平行四边形,
∴,,,
∴,
∴,
∵,
∴,即,
∴点Q即为所求点的位置.
18．答案：(1)
(2)9
(3)售价为10元,平均每小时销售额最大为220元
解析：(1)设涨价的百分率是x,
由题意得：,
解得：,(不合题意,舍去),
答：涨价的百分率是；
(2)设小蛋糕的售价提高a元,则每小时的销售数量就会减少个,
由题意得：,
整理得：,
解得：,,
小蛋糕的售价为：(元)或(元),
售价不能超过10元,
小蛋糕的售价为9元,
答：此时小蛋糕的售价定为9元.
(3)设小蛋糕的售价为m元,
∴平均每小时的销售总额为：
售价不能超过10元,
小蛋糕的售价为10元,
当时,平均每小时的销售总额最大,最大销售额为元
答：此时小蛋糕的售价定为10元,最大销售额为220元.
19．答案：(1),
(2)原方程有两个不相等的实数解,理由见解析
解析：(1)∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴
即,
解得：,；
(2)原方程有两个不相等的实数解
理由：∵是以c为斜边的直角三角形,
∴,,
∴
∵,
∴
∴原方程有两个不相等的实数解.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵矩形,米,米,
∴米,米,
∴,,
∴抛物线的对称轴为,
∴,
设抛物线的解析式为：,把代入,得：,
解得：,
∴；
(2)由题意,当时：,
解得：,,
当时,,
∴.
21．答案：(1)
(2)5
(3)最大值为,.
(4)存在,或或
解析：(1)由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：.
(2)2∵.
∴当MN是抛物线的对称轴时,抛物线的顶点是,点.
连接BN.
则；
(3)设点M的坐标是,则点.
∴,.
∴.
∴当时,有最大值,
这时点.
(4)存在,理由如下：
由(1)(3)抛物线的对称轴是直线,点.
设点,.
分三种情况讨论：
①当是对角线时,,解得：,这时点.
②当是对角线时,,解得：,这时点.
③当是对角线时,,解得：,这时点.
综上所述,存或或,使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
22．答案：(1)6
(2)证明见解析
解析：(1)∵,,
∴
∵将CD绕着点D逆时针旋转至DF,
∴
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
∵,且,
∴,
∴
故答案为：6.
(2)如图2,过点A作,交FD的延长线于点H,
∴,,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,且
∴
∴,且,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
∴,
∴.
23．答案：(1),
(2)
(3)
(4)
解析：(1)抛物线中,
,,
抛物线的焦点坐标为,准线l的方程为,
故答案为：,；
(2)由(1)知抛物线焦点F的坐标为,
点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍,
,整理得：,
又,
,
解得：或(舍去),
(负值舍去),
点P的坐标为
(3)过点P作直线m交于点E,过点P作准线l交于点G,结合题意和(1)中结论可知,,如图：
若使得取最小值,即的值最小,故当F,P,E三点共线时,,即此刻的值最小；
直线m：交y轴于点C,
∴设E的坐标为
过点E作平行线交y轴于一点H,如图
即
∴
∵直线与直线m垂直,
∴
∵当F,P,E三点共线,
∴,
解得
∴
∴点
.
即的最小值为.
(4)把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线,
∴
抛物线的焦点坐标为,准线l的方程为,
过点P作准线l交于点G,结合题意和(1)中结论可知,则,如图：
若使得取最小值,即的值最小,故当D,P,G三点共线时,,即此刻的值最小；如图：
点D的坐标为,准线l,
点P的横坐标为,代入解得,
即,
∴,
则的面积为.