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高考物理一轮复习专题07曲线运动及其实例分析(原卷版+解析)
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这是一份高考物理一轮复习专题07曲线运动及其实例分析(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了曲线运动的条件及轨迹分析，运动的合成与分解，小船渡河问题，实际运动中的两类关联速度模型等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12936" 题型一 曲线运动的条件及轨迹分析 PAGEREF _Tc12936 \h 1
\l "_Tc14994" 类型1 基本概念的辨析与理解 PAGEREF _Tc14994 \h 1
\l "_Tc14309" 类型2 曲线运动的动力学解释 PAGEREF _Tc14309 \h 2
\l "_Tc11654" 题型二 运动的合成与分解 PAGEREF _Tc11654 \h 4
\l "_Tc14858" 类型1 合运动与分运动的关系 PAGEREF _Tc14858 \h 5
\l "_Tc27061" 类型2 两互成角度运动合运动性质的判断 PAGEREF _Tc27061 \h 6
\l "_Tc17089" 题型三 小船渡河问题 PAGEREF _Tc17089 \h 9
\l "_Tc2149" 题型四 实际运动中的两类关联速度模型 PAGEREF _Tc2149 \h 11
\l "_Tc27216" 类型1 绳端关联速度的分解问题 PAGEREF _Tc27216 \h 13
\l "_Tc31860" 类型2 杆端关联速度的分解问题 PAGEREF _Tc31860 \h 15
题型一 曲线运动的条件及轨迹分析
【解题指导】1．条件
物体受到的合力方向与速度方向始终不共线。
2．特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧弯曲。
(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。
类型1 基本概念的辨析与理解
【例1】(2022·湖北武汉市适应性考试)关于曲线运动，下列叙述正确的是( )
A．做曲线运动的物体，速度可能不变
B．做曲线运动的物体，所受的合外力可能为零
C．如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D．因为曲线运动的速度在不断变化，所以曲线运动不可能是匀变速运动
【例2】(2022·湖北武汉市武昌区调研) 一个物体在3个恒力的作用下做匀速直线运动，现撤去其中两个力，保持第三个力的大小和方向均不变。关于该物体此后的运动，下列说法正确的是( )
A．不可能做圆周运动
B．可能做圆周运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．一定做匀变速直线运动
类型2 曲线运动的动力学解释
曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】如图所示，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【例2】(2022·湖北省部分重点高中高三期末联考)质量为m的粒子a以速度v在竖直面内水平向右运动，另一质量为m的粒子b以速度v沿与水平向右成45°斜向下的方向运动，在某段时间内两个粒子分别受到相同的恒力的作用，在停止力的作用时，粒子a沿竖直向下方向以速度v运动，则粒子b的运动速率为(不计重力)( )
A.eq \r(2)v B.eq \r(3)v C．v D．0.5v
【例3】(2022·安徽蚌埠市第二次教学质检)如图所示，一质点在恒力作用下经过时间t从a点运动到b点，速度大小由2v0变为v0，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为( )
A.eq \f(\r(3)v0,3t) B.eq \f(v0,t)
C.eq \f(\r(3)v0,t) D.eq \f(2v0,t)
【例4】.(多选)(2022·湖南师大附中模拟)如图所示，在光滑水平桌面上有一个质量为m的质点，在沿平行于桌面方向的恒定外力F作用下，以初速度v0从A点开始做曲线运动，图中曲线是质点的运动轨迹.已知在t s末质点的速度达到最小值v，到达B点时的速度方向与初速度v0的方向垂直，则( )
A.恒定外力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，则sin θ＝eq \f(v,v0)
B.质点所受合外力的大小为eq \f(m\r(v02－v2),t)
C.质点到达B点时的速度大小为eq \f(v0v,\r(v02－v2))
D.t s内恒力F做功为eq \f(1,2)m(v02－v2)
题型二 运动的合成与分解
【解题指导】1．基本思路
分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。
2．解题关键
两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
3．注意问题
要注意分析物体在两个方向上的受力及运动情况，分别在这两个方向上列式求解。
类型1 合运动与分运动的关系
1．合运动和分运动的关系
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【例1】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【例2】(2022·山东省实验中学高三期末)如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于1 m/s2的匀加速直线运动。则离舰后( )
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍
C.10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30°
D.飞机在20 s内水平方向的平均速度为50 m/s
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(不变：匀变速运动,变化：非匀变速运动))
加速度(或合外力)方向与速度方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
【例1】(2022·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
【例2】(多选) (2022·北京西城区期末)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝0.02 m/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿 x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出t时刻R的x、y 坐标值分别为0.25 m和0.10 m。则此时( )
A．玻璃管的速度的大小为 0.05 m/s
B．玻璃管的加速度的大小为 0.02 m/s2
C．蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0
D．蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0
【例3】(多选)(2022·山东实验中学段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【例4】随着科技的进步，2020年，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示．无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向．下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
题型三 小船渡河问题
【解题指导】1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．两种渡河方式
【例1】(多选)小明、小美、园园和小红去划船，碰到一条宽90 m的小河，他们在静水中划船的速度为3 m/s，现在他们观察到河水的流速为5 m/s，关于渡河的运动，他们有各自的看法，其中正确的是( )
A.小红说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船
B.小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸
C.小明说：渡过这条河的最短距离是150 m
D.园园说：以最短位移渡河时，需要用时30 s
【例2】(2022·安徽合肥模拟)如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距eq \f(\r(3),3)H的A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C.则下列说法正确的是( )
A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇
【例3】(2022·山西朔州市怀仁市期末)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为
A.eq \f(kv,\r(k2－1)) B.eq \f(v,\r(1－k2)) C.eq \f(kv,\r(1－k2)) D.eq \f(v,\r(k2－1))
【例4】.(2022·江西吉安市大联考)有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速度大小始终为v，且v>v0。若小船以最短位移过河所用的时间为t，若小船以最短时间过河，所用的时间为eq \f(\r(3),2)t，则河水流速与小船在静水中的速度之比为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(2),2)
题型四 实际运动中的两类关联速度模型
【解题指导】关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
1.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
2.常见的两种模型分析
(1)绳牵联模型
单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v⊥一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v∥的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。
甲 乙
两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即vA∥＝vB∥。
如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度相等，即vA∥＝vB∥。
丙 丁
(2)杆牵联模型
如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即vA∥＝vB∥。
3.绳(杆)端关联速度分解问题的常考模型
类型1 绳端关联速度的分解问题
【例1】(2022·河南省南阳中学高三月考)如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，货箱速度为v时，连接货车的绳与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A．货车的速度等于eq \f(v,cs θ)
B．货车的速度等于vcs θ
C．缆绳中的拉力FT等于(m0＋m)g
D．货物处于失重状态
【例2】.如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则( )
A．刚开始时B的速度为eq \f(v,cs θ)
B．A匀速上升时，重物B也匀速下降
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．A运动到位置N时，B的速度最大
【例3】(2022·成都一诊)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是
A．P的速率为v B．P的速率为vcs θ2
C．绳的拉力等于mgsin θ1 D．绳的拉力小于mgsin θ1
【例4】．(2022·大庆模拟)A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以速度v1向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，如图所示。物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)
A．v1sin α/sin β B．v1cs α/sin β
C．v1sin α/cs β D．v1cs α/cs β
类型2 杆端关联速度的分解问题
【例1】(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．此时，杆B端的速度大小为eq \f(v0,tan θ)
B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为eq \f(v0,2sin θ)
【例2】(多选)(2022·重庆市南开中学高三月考)某机械装置可以用于提升重物的高度，其结构如图15所示．薄板OA可绕固定于竖直墙壁的转轴O自由转动，底面半径为R的圆柱形重物M置于薄板与墙壁间，现将薄板从水平位置以角速度ω逆时针匀速转动，使重物沿着墙壁上升，设OA与墙壁的夹角为θ.则( )
A．重物加速上升
B．重物减速上升
C．重物垂直于板方向的分速度为eq \f(ωR,tan\f(θ,2))
D．重物垂直于板方向的分速度为eq \f(ωR,tan θ)
【例3】(2022·辽宁大连市第一次模拟)如图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端 固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是( )
A．A、B的线速度相同
B．A、B的角速度不相同
C．轻杆转动的角速度为eq \f(vsin2θ,h)
D．小球A的线速度大小为eq \f(vlsin 2θ,h)
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
方式
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cs θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
渡河位
移最短
当v水＞v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝eq \f(dv水,v船)
情景图示
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcs θ
vAcs θ＝v0
vAcs α＝
vBcs β
vBsin α＝
vAcs α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
专题07 曲线运动及其实例分析
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12936" 题型一 曲线运动的条件及轨迹分析 PAGEREF _Tc12936 \h 1
\l "_Tc14994" 类型1 基本概念的辨析与理解 PAGEREF _Tc14994 \h 1
\l "_Tc14309" 类型2 曲线运动的动力学解释 PAGEREF _Tc14309 \h 2
\l "_Tc11654" 题型二 运动的合成与分解 PAGEREF _Tc11654 \h 4
\l "_Tc14858" 类型1 合运动与分运动的关系 PAGEREF _Tc14858 \h 5
\l "_Tc27061" 类型2 两互成角度运动合运动性质的判断 PAGEREF _Tc27061 \h 6
\l "_Tc17089" 题型三 小船渡河问题 PAGEREF _Tc17089 \h 9
\l "_Tc2149" 题型四 实际运动中的两类关联速度模型 PAGEREF _Tc2149 \h 11
\l "_Tc27216" 类型1 绳端关联速度的分解问题 PAGEREF _Tc27216 \h 13
\l "_Tc31860" 类型2 杆端关联速度的分解问题 PAGEREF _Tc31860 \h 15
题型一 曲线运动的条件及轨迹分析
【解题指导】1．条件
物体受到的合力方向与速度方向始终不共线。
2．特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧弯曲。
(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。
类型1 基本概念的辨析与理解
【例1】(2022·湖北武汉市适应性考试)关于曲线运动，下列叙述正确的是( )
A．做曲线运动的物体，速度可能不变
B．做曲线运动的物体，所受的合外力可能为零
C．如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D．因为曲线运动的速度在不断变化，所以曲线运动不可能是匀变速运动
【答案】 C
【解析】 曲线运动的速度方向时刻变化，故A错误；物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力与速度方向不在一条直线上，所以做曲线运动的物体所受合外力一定不为零，故B错误；如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动一定是匀速直线运动，不可能是曲线运动，故C正确；曲线运动可以是匀变速曲线运动，如平抛运动，故D错误。
【例2】(2022·湖北武汉市武昌区调研) 一个物体在3个恒力的作用下做匀速直线运动，现撤去其中两个力，保持第三个力的大小和方向均不变。关于该物体此后的运动，下列说法正确的是( )
A．不可能做圆周运动
B．可能做圆周运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．一定做匀变速直线运动
【答案】 A
【解析】 若撤去两个力后，保持第三个力大小和方向均不变，则物体受到的合力不变，而圆周运动的合力是变力，所以不可能做圆周运动，故A正确，B错误；若撤去两个力后，物体受到的合力与速度的方向共线，则物体做匀变速直线运动；若合力与速度不共线，则物体做曲线运动，故C、D错误。
类型2 曲线运动的动力学解释
曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】如图所示，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【答案】 C
【解析】 质点做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；若质点从A点运动到C点，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误。
【例2】(2022·湖北省部分重点高中高三期末联考)质量为m的粒子a以速度v在竖直面内水平向右运动，另一质量为m的粒子b以速度v沿与水平向右成45°斜向下的方向运动，在某段时间内两个粒子分别受到相同的恒力的作用，在停止力的作用时，粒子a沿竖直向下方向以速度v运动，则粒子b的运动速率为(不计重力)( )
A.eq \r(2)v B.eq \r(3)v C．v D．0.5v
【答案】 B
【解析】 作出粒子a的初速度、末速度及速度的变化量关系图，如图甲
由于初、末速度大小相等，则Δv与水平向左方向成45°斜向下，Δv＝eq \r(2)v，设恒力的作用时间为t，根据动量定理有Ft＝mΔv，得F＝eq \f(\r(2)mv,t)
可知作用力F与粒子b的初速度垂直，所以粒子b做类平抛运动，建立如图乙所示的直角坐标系，粒子b沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝eq \f(F,m)＝eq \f(\r(2)v,t)
经过时间t，粒子b的运动速率为vb＝eq \r(v2＋at2)＝eq \r(3)v.故选B.
【例3】(2022·安徽蚌埠市第二次教学质检)如图所示，一质点在恒力作用下经过时间t从a点运动到b点，速度大小由2v0变为v0，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为( )
A.eq \f(\r(3)v0,3t) B.eq \f(v0,t)
C.eq \f(\r(3)v0,t) D.eq \f(2v0,t)
【答案】 C
【解析】 根据矢量运算规则，利用三角形定则如图，可得速度的变化量为Δv＝eq \r(3)v0，则质点的加速度大小为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(\r(3)v0,t)，故选项C正确。
【例4】.(多选)(2022·湖南师大附中模拟)如图所示，在光滑水平桌面上有一个质量为m的质点，在沿平行于桌面方向的恒定外力F作用下，以初速度v0从A点开始做曲线运动，图中曲线是质点的运动轨迹.已知在t s末质点的速度达到最小值v，到达B点时的速度方向与初速度v0的方向垂直，则( )
A.恒定外力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，则sin θ＝eq \f(v,v0)
B.质点所受合外力的大小为eq \f(m\r(v02－v2),t)
C.质点到达B点时的速度大小为eq \f(v0v,\r(v02－v2))
D.t s内恒力F做功为eq \f(1,2)m(v02－v2)
【答案】 ABC
【解析】 分析可知，恒力F的方向应与速度方向成钝角，将速度按沿力的方向与垂直于力的方向分解，如图所示.
在x′方向上由运动学知识得v＝v0sin θ，在y′方向上由运动学知识得v0cs θ＝ayt，由牛顿第二定律有F＝may，解得F＝eq \f(m\r(v02－v2),t)，即恒力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，且sin θ＝eq \f(v,v0)，故A、B正确；设质点从A点运动到B点历时t1，在v0方向上的加速度大小为a1，在垂直v0方向上的加速度大小为a2，由牛顿第二定律有Fcs θ＝ma1，Fsin θ＝ma2，由运动学知识可得v0＝a1t1，vB＝a2t1，解得vB＝eq \f(v0v,\r(v02－v2))，故C正确；根据动能定理得，t s内恒力F做功为－eq \f(1,2)m(v02－v2)，故D错误.
题型二 运动的合成与分解
【解题指导】1．基本思路
分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。
2．解题关键
两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
3．注意问题
要注意分析物体在两个方向上的受力及运动情况，分别在这两个方向上列式求解。
类型1 合运动与分运动的关系
1．合运动和分运动的关系
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【例1】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【答案】 C
【解析】 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，故A错误，C正确；不论风速大小，运动员竖直方向的分运动不变，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误．
【例2】(2022·山东省实验中学高三期末)如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于1 m/s2的匀加速直线运动。则离舰后( )
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍
C.10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30°
D.飞机在20 s内水平方向的平均速度为50 m/s
【答案】 B
【解析】 飞机离舰后的合速度与合加速度方向一致，所以飞机运动轨迹为直线，A错误；10 s内水平方向位移x＝v0xt＋eq \f(1,2)axt2＝500 m，竖直方向位移y＝v0yt＋eq \f(1,2)ayt2＝250 m，B正确；飞机速度方向与水平方向夹角的正切tan θ＝0.5，C错误；飞机在20 s内水平方向的位移x′＝40×20 m＋eq \f(1,2)×2×202 m＝1 200 m，则平均速度为eq \(v,\s\up6(－))x＝eq \f(x′,t′)＝60 m/s，D错误。
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(不变：匀变速运动,变化：非匀变速运动))
加速度(或合外力)方向与速度方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
【例1】(2022·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
【答案】 C
【解析】 在0～1 s内，物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，物体水平方向初速度为：v0x＝4 m/s，加速度为：ax＝4 m/s2，竖直方向初速度为：v0y＝3 m/s，加速度为：ay＝3 m/s2，根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为v＝5 m/s，合加速度为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误．
【例2】(多选) (2022·北京西城区期末)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝0.02 m/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿 x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出t时刻R的x、y 坐标值分别为0.25 m和0.10 m。则此时( )
A．玻璃管的速度的大小为 0.05 m/s
B．玻璃管的加速度的大小为 0.02 m/s2
C．蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0
D．蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0
【答案】 BC
【解析】 蜡块水平方向做匀加速运动，则x＝eq \f(vx,2)t＝eq \f(1,2)at2＝0.25 m，竖直方向做匀速直线运动y＝v0t＝0.1 m，解得t＝5 s，vx＝0.1 m/s, a＝0.02 m/s2，选项A错误，B正确； 由x＝eq \f(1,2)at2＝0.01t2，y＝v0t＝0.02t，消掉t解得x－25y2＝0，选项C正确，D错误
【例3】(多选)(2022·山东实验中学段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【答案】：BC
【解析】：对应位移时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．
【例4】随着科技的进步，2020年，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示．无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向．下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
【答案】 C
【解析】 0～2 s时间内，无人机在水平方向做匀加速运动，在竖直方向也做匀加速运动，但初速度沿水平方向，合加速度与速度方向有夹角，因此，无人机做匀加速曲线运动，故选项A错误；2～4 s时间内，无人机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项B错误；0～4 s时间内，竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，t＝4 s时刻，竖直方向速度为0，所以，此时无人机运动到最高点，故选项C正确；0～5 s内，无人机的水平位移为9 m，竖直位移为1.75 m，则合位移为eq \r(x2＋y2)，不等于9 m，选项D错误．
题型三 小船渡河问题
【解题指导】1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．两种渡河方式
【例1】(多选)小明、小美、园园和小红去划船，碰到一条宽90 m的小河，他们在静水中划船的速度为3 m/s，现在他们观察到河水的流速为5 m/s，关于渡河的运动，他们有各自的看法，其中正确的是( )
A.小红说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船
B.小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸
C.小明说：渡过这条河的最短距离是150 m
D.园园说：以最短位移渡河时，需要用时30 s
【思维建构】
【动态图解法】
类比于只有一个力方向发生变化的动态平衡问题，可应用动态矢量三角形解决问题。
1.固定水速矢量箭头不动，将船速矢量箭头绕水速矢量箭头的末端转动，如图所示，则船速矢量箭头的末端在一个圆周上移动，根据三角形定则，合速度矢量的末端也就在这个圆周上移动。
2.当合速度v⊥v船时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。
【答案】 BC
【规范分析】
如图(1)所示，船头正对对岸划船，合速度方向倾斜，无法到达正对岸，选项A错误；如图(2)若要垂直到达正对岸，需要满足v船 >v水，该题中v水 >v船，所以不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸，选项B正确；如图(3)所示，当v⊥v船时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。根据三角形相似eq \f(d,s)＝eq \f(v船,v水)，解得
s＝150 m，选项C正确；以最短位移渡河时，所需时间t＝eq \f(s,\r(veq \\al(2,水)－veq \\al(2,船)))＝37.5 s，选项D错误。
【方法感悟】
所有矢量运算都满足平行四边形定则和三角形定则。当碰到一个矢量大小方向不变，另一个矢量要么大小不变，要么方向不变，求解第三个矢量时，我们就可以大胆尝试用这种动态图解法画图，往往垂直“出”最小。
【例2】(2022·安徽合肥模拟)如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距eq \f(\r(3),3)H的A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C.则下列说法正确的是( )
A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇
【答案】D
【解析】设两船在静水中的速度大小为v，根据题述乙船恰能沿BC到达正好岸的C可知，vcs 60°＝v水，渡河时间t＝eq \f(H,vsin 60°)＝eq \f(2\r(3)H,3v)，甲船沿河岸方向分速度vcs 60°＝eq \f(v,2)，在渡河时间t＝eq \f(2\r(3)H,3v)内甲船沿河岸方向位移s＝(vcs 60°＋v水)t＝(eq \f(v,2)＋eq \f(v,2))eq \f(2\r(3)H,3v)＝eq \f(2\r(3)H,3)，刚好等于A、B两个码头之间距离eq \f(\r(3)H,3)的2倍，即两船在BC的中点相遇，选项D正确A、B、C错误．
【例3】(2022·山西朔州市怀仁市期末)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为
A.eq \f(kv,\r(k2－1)) B.eq \f(v,\r(1－k2)) C.eq \f(kv,\r(1－k2)) D.eq \f(v,\r(k2－1))
【答案】 B
【解析】 设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝eq \f(d,v0)，回程渡河所用时间t2＝eq \f(d,\r(veq \\al(2,0)－v2))。由题知eq \f(t1,t2)＝k，联立以上各式得v0＝eq \f(v,\r(1－k2))，选项B正确，选项A、C、D错误。
【例4】.(2022·江西吉安市大联考)有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速度大小始终为v，且v>v0。若小船以最短位移过河所用的时间为t，若小船以最短时间过河，所用的时间为eq \f(\r(3),2)t，则河水流速与小船在静水中的速度之比为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(2),2)
【答案】 A
【解析】 水流动的速度为v0，小船在静水中的运动速度大小为v，当船以最短时间过河时，则有eq \f(\r(3),2)t＝eq \f(d,v)，以最短位移过河则有t＝eq \f(d,\r(v2－veq \\al(2,0)))，解得eq \f(v0,v)＝eq \f(1,2)，选项A正确。
题型四 实际运动中的两类关联速度模型
【解题指导】关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
1.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
2.常见的两种模型分析
(1)绳牵联模型
单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v⊥一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v∥的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。
甲 乙
两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即vA∥＝vB∥。
如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度相等，即vA∥＝vB∥。
丙 丁
(2)杆牵联模型
如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即vA∥＝vB∥。
3.绳(杆)端关联速度分解问题的常考模型
类型1 绳端关联速度的分解问题
【例1】(2022·河南省南阳中学高三月考)如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，货箱速度为v时，连接货车的绳与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A．货车的速度等于eq \f(v,cs θ)
B．货车的速度等于vcs θ
C．缆绳中的拉力FT等于(m0＋m)g
D．货物处于失重状态
【答案】 A
【解析】 货车沿着绳子方向的分速度等于货箱的速度，因此有v车cs θ＝v，可得v车＝eq \f(v,cs θ)，故A正确，B错误；货车匀速前进过程中，绳子倾角θ逐渐减小，可得货箱的速度逐渐增大，因此货箱向上做加速运动，货箱处于超重状态，因此绳子中的拉力FT>(m0＋m)g，故C、D错误．
【例2】.如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则( )
A．刚开始时B的速度为eq \f(v,cs θ)
B．A匀速上升时，重物B也匀速下降
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．A运动到位置N时，B的速度最大
【答案】 C
【解析】 对于A，它的速度如图中标出的v，这个速度看成是A的合速度，其分速度分别是v1、v2，其中v2就是B的速率(沿同一根绳子方向的速度大小相同)，故刚开始上升时B的速度vB＝vcs θ，故A错误；由于A匀速上升，θ增大，所以vB减小，故B错误；B做减速运动，处于超重状态，绳对B的拉力大于B的重力，故C正确；当A运动至位置N时θ＝90°，所以vB＝0, 故D错误．
【例3】(2022·成都一诊)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是
A．P的速率为v B．P的速率为vcs θ2
C．绳的拉力等于mgsin θ1 D．绳的拉力小于mgsin θ1
【答案】 B
【解析】 将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分解为v1、v2，P的速率等于v1＝vcs θ2，A错误、B正确；小车向右做匀速直线运动，θ减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsin θ1，C、D错误；故选B。
【例4】．(2022·大庆模拟)A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以速度v1向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，如图所示。物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)
A．v1sin α/sin β B．v1cs α/sin β
C．v1sin α/cs β D．v1cs α/cs β
【答案】 D
【解析】 A、B两物体的速度分解如图。
由图可知：v绳A＝v1cs α
v绳B＝vBcs β
由于v绳A＝v绳B
所以vB＝v1cs α/cs β，故D对。
类型2 杆端关联速度的分解问题
【例1】(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．此时，杆B端的速度大小为eq \f(v0,tan θ)
B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为eq \f(v0,2sin θ)
【答案】 ACD
【解析】 如图甲，根据运动的合成与分解，结合矢量合成法则及三角函数，
则有vBsin θ＝v0cs θ，得vB＝eq \f(v0,tan θ)，故A正确，B错误；设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐标分别为(2x,0)，(0,2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，则有(2x)2＋(2y)2＝L2，解得x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2，因此P点的运动轨迹是圆的一部分，半径为eq \f(L,2)，故C正确；画出P点的运动轨迹，如图乙，速度v与杆的夹角α＝2θ－90°，
由于杆不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等，则vcs α＝v0cs θ，即vcs (2θ－90°)＝v0cs θ，得v＝eq \f(v0,2sin θ)，故D正确．
【例2】(多选)(2022·重庆市南开中学高三月考)某机械装置可以用于提升重物的高度，其结构如图15所示．薄板OA可绕固定于竖直墙壁的转轴O自由转动，底面半径为R的圆柱形重物M置于薄板与墙壁间，现将薄板从水平位置以角速度ω逆时针匀速转动，使重物沿着墙壁上升，设OA与墙壁的夹角为θ.则( )
A．重物加速上升
B．重物减速上升
C．重物垂直于板方向的分速度为eq \f(ωR,tan\f(θ,2))
D．重物垂直于板方向的分速度为eq \f(ωR,tan θ)
【答案】 AC
【解析】 如图所示，将重物的速度分解为垂直于薄板方向和平行于薄板方向，由线速度与角速度关系结合几何关系可知v1＝ωL＝eq \f(ωR,tan \f(θ,2))，选项C正确，D错误；
由v＝eq \f(v1,sin θ)＝eq \f(ωR,sin θtan \f(θ,2))，重物沿着墙壁上升，θ减小，v增大，选项A正确，B错误．
【例3】(2022·辽宁大连市第一次模拟)如图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端 固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是( )
A．A、B的线速度相同
B．A、B的角速度不相同
C．轻杆转动的角速度为eq \f(vsin2θ,h)
D．小球A的线速度大小为eq \f(vlsin 2θ,h)
【答案】：C
【解析】：A、B同轴转动，角速度相同，线速度不同，选项A、B错误．设图示时刻杆转动的角速度为ω.当物块以速度v向右运动，接触点B一方面沿杆运动，另一方面绕O点转动，设OB＝L，对于B点轻杆转动的线速度vB＝vsin θ＝ωL，sin θ＝eq \f(h,L)，消去L解得ω＝eq \f(vsin2 θ,h)，选项C正确．小球A的线速度大小为vA＝ωl＝eq \f(vlsin2 θ,h)，选项D错误．
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
方式
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cs θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
渡河位
移最短
当v水＞v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝eq \f(dv水,v船)
情景图示
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcs θ
vAcs θ＝v0
vAcs α＝
vBcs β
vBsin α＝
vAcs α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12936" 题型一 曲线运动的条件及轨迹分析 PAGEREF _Tc12936 \h 1
\l "_Tc14994" 类型1 基本概念的辨析与理解 PAGEREF _Tc14994 \h 1
\l "_Tc14309" 类型2 曲线运动的动力学解释 PAGEREF _Tc14309 \h 2
\l "_Tc11654" 题型二 运动的合成与分解 PAGEREF _Tc11654 \h 4
\l "_Tc14858" 类型1 合运动与分运动的关系 PAGEREF _Tc14858 \h 5
\l "_Tc27061" 类型2 两互成角度运动合运动性质的判断 PAGEREF _Tc27061 \h 6
\l "_Tc17089" 题型三 小船渡河问题 PAGEREF _Tc17089 \h 9
\l "_Tc2149" 题型四 实际运动中的两类关联速度模型 PAGEREF _Tc2149 \h 11
\l "_Tc27216" 类型1 绳端关联速度的分解问题 PAGEREF _Tc27216 \h 13
\l "_Tc31860" 类型2 杆端关联速度的分解问题 PAGEREF _Tc31860 \h 15
题型一 曲线运动的条件及轨迹分析
【解题指导】1．条件
物体受到的合力方向与速度方向始终不共线。
2．特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧弯曲。
(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。
类型1 基本概念的辨析与理解
【例1】(2022·湖北武汉市适应性考试)关于曲线运动，下列叙述正确的是( )
A．做曲线运动的物体，速度可能不变
B．做曲线运动的物体，所受的合外力可能为零
C．如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D．因为曲线运动的速度在不断变化，所以曲线运动不可能是匀变速运动
【例2】(2022·湖北武汉市武昌区调研) 一个物体在3个恒力的作用下做匀速直线运动，现撤去其中两个力，保持第三个力的大小和方向均不变。关于该物体此后的运动，下列说法正确的是( )
A．不可能做圆周运动
B．可能做圆周运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．一定做匀变速直线运动
类型2 曲线运动的动力学解释
曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】如图所示，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【例2】(2022·湖北省部分重点高中高三期末联考)质量为m的粒子a以速度v在竖直面内水平向右运动，另一质量为m的粒子b以速度v沿与水平向右成45°斜向下的方向运动，在某段时间内两个粒子分别受到相同的恒力的作用，在停止力的作用时，粒子a沿竖直向下方向以速度v运动，则粒子b的运动速率为(不计重力)( )
A.eq \r(2)v B.eq \r(3)v C．v D．0.5v
【例3】(2022·安徽蚌埠市第二次教学质检)如图所示，一质点在恒力作用下经过时间t从a点运动到b点，速度大小由2v0变为v0，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为( )
A.eq \f(\r(3)v0,3t) B.eq \f(v0,t)
C.eq \f(\r(3)v0,t) D.eq \f(2v0,t)
【例4】.(多选)(2022·湖南师大附中模拟)如图所示，在光滑水平桌面上有一个质量为m的质点，在沿平行于桌面方向的恒定外力F作用下，以初速度v0从A点开始做曲线运动，图中曲线是质点的运动轨迹.已知在t s末质点的速度达到最小值v，到达B点时的速度方向与初速度v0的方向垂直，则( )
A.恒定外力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，则sin θ＝eq \f(v,v0)
B.质点所受合外力的大小为eq \f(m\r(v02－v2),t)
C.质点到达B点时的速度大小为eq \f(v0v,\r(v02－v2))
D.t s内恒力F做功为eq \f(1,2)m(v02－v2)
题型二 运动的合成与分解
【解题指导】1．基本思路
分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。
2．解题关键
两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
3．注意问题
要注意分析物体在两个方向上的受力及运动情况，分别在这两个方向上列式求解。
类型1 合运动与分运动的关系
1．合运动和分运动的关系
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【例1】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【例2】(2022·山东省实验中学高三期末)如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于1 m/s2的匀加速直线运动。则离舰后( )
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍
C.10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30°
D.飞机在20 s内水平方向的平均速度为50 m/s
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(不变：匀变速运动,变化：非匀变速运动))
加速度(或合外力)方向与速度方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
【例1】(2022·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
【例2】(多选) (2022·北京西城区期末)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝0.02 m/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿 x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出t时刻R的x、y 坐标值分别为0.25 m和0.10 m。则此时( )
A．玻璃管的速度的大小为 0.05 m/s
B．玻璃管的加速度的大小为 0.02 m/s2
C．蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0
D．蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0
【例3】(多选)(2022·山东实验中学段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【例4】随着科技的进步，2020年，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示．无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向．下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
题型三 小船渡河问题
【解题指导】1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．两种渡河方式
【例1】(多选)小明、小美、园园和小红去划船，碰到一条宽90 m的小河，他们在静水中划船的速度为3 m/s，现在他们观察到河水的流速为5 m/s，关于渡河的运动，他们有各自的看法，其中正确的是( )
A.小红说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船
B.小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸
C.小明说：渡过这条河的最短距离是150 m
D.园园说：以最短位移渡河时，需要用时30 s
【例2】(2022·安徽合肥模拟)如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距eq \f(\r(3),3)H的A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C.则下列说法正确的是( )
A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇
【例3】(2022·山西朔州市怀仁市期末)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为
A.eq \f(kv,\r(k2－1)) B.eq \f(v,\r(1－k2)) C.eq \f(kv,\r(1－k2)) D.eq \f(v,\r(k2－1))
【例4】.(2022·江西吉安市大联考)有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速度大小始终为v，且v>v0。若小船以最短位移过河所用的时间为t，若小船以最短时间过河，所用的时间为eq \f(\r(3),2)t，则河水流速与小船在静水中的速度之比为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(2),2)
题型四 实际运动中的两类关联速度模型
【解题指导】关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
1.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
2.常见的两种模型分析
(1)绳牵联模型
单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v⊥一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v∥的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。
甲 乙
两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即vA∥＝vB∥。
如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度相等，即vA∥＝vB∥。
丙 丁
(2)杆牵联模型
如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即vA∥＝vB∥。
3.绳(杆)端关联速度分解问题的常考模型
类型1 绳端关联速度的分解问题
【例1】(2022·河南省南阳中学高三月考)如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，货箱速度为v时，连接货车的绳与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A．货车的速度等于eq \f(v,cs θ)
B．货车的速度等于vcs θ
C．缆绳中的拉力FT等于(m0＋m)g
D．货物处于失重状态
【例2】.如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则( )
A．刚开始时B的速度为eq \f(v,cs θ)
B．A匀速上升时，重物B也匀速下降
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．A运动到位置N时，B的速度最大
【例3】(2022·成都一诊)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是
A．P的速率为v B．P的速率为vcs θ2
C．绳的拉力等于mgsin θ1 D．绳的拉力小于mgsin θ1
【例4】．(2022·大庆模拟)A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以速度v1向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，如图所示。物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)
A．v1sin α/sin β B．v1cs α/sin β
C．v1sin α/cs β D．v1cs α/cs β
类型2 杆端关联速度的分解问题
【例1】(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．此时，杆B端的速度大小为eq \f(v0,tan θ)
B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为eq \f(v0,2sin θ)
【例2】(多选)(2022·重庆市南开中学高三月考)某机械装置可以用于提升重物的高度，其结构如图15所示．薄板OA可绕固定于竖直墙壁的转轴O自由转动，底面半径为R的圆柱形重物M置于薄板与墙壁间，现将薄板从水平位置以角速度ω逆时针匀速转动，使重物沿着墙壁上升，设OA与墙壁的夹角为θ.则( )
A．重物加速上升
B．重物减速上升
C．重物垂直于板方向的分速度为eq \f(ωR,tan\f(θ,2))
D．重物垂直于板方向的分速度为eq \f(ωR,tan θ)
【例3】(2022·辽宁大连市第一次模拟)如图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端 固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是( )
A．A、B的线速度相同
B．A、B的角速度不相同
C．轻杆转动的角速度为eq \f(vsin2θ,h)
D．小球A的线速度大小为eq \f(vlsin 2θ,h)
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
方式
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cs θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
渡河位
移最短
当v水＞v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝eq \f(dv水,v船)
情景图示
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcs θ
vAcs θ＝v0
vAcs α＝
vBcs β
vBsin α＝
vAcs α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
专题07 曲线运动及其实例分析
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12936" 题型一 曲线运动的条件及轨迹分析 PAGEREF _Tc12936 \h 1
\l "_Tc14994" 类型1 基本概念的辨析与理解 PAGEREF _Tc14994 \h 1
\l "_Tc14309" 类型2 曲线运动的动力学解释 PAGEREF _Tc14309 \h 2
\l "_Tc11654" 题型二 运动的合成与分解 PAGEREF _Tc11654 \h 4
\l "_Tc14858" 类型1 合运动与分运动的关系 PAGEREF _Tc14858 \h 5
\l "_Tc27061" 类型2 两互成角度运动合运动性质的判断 PAGEREF _Tc27061 \h 6
\l "_Tc17089" 题型三 小船渡河问题 PAGEREF _Tc17089 \h 9
\l "_Tc2149" 题型四 实际运动中的两类关联速度模型 PAGEREF _Tc2149 \h 11
\l "_Tc27216" 类型1 绳端关联速度的分解问题 PAGEREF _Tc27216 \h 13
\l "_Tc31860" 类型2 杆端关联速度的分解问题 PAGEREF _Tc31860 \h 15
题型一 曲线运动的条件及轨迹分析
【解题指导】1．条件
物体受到的合力方向与速度方向始终不共线。
2．特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。
(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上。合力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小。
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合力的方向与速度的方向之间，而且向合力的一侧弯曲。
(4)能量特征：如果物体所受的合力始终和物体的速度垂直，则合力对物体不做功，物体的动能不变；若合力不与物体的速度方向垂直，则合力对物体做功，物体的动能发生变化。
类型1 基本概念的辨析与理解
【例1】(2022·湖北武汉市适应性考试)关于曲线运动，下列叙述正确的是( )
A．做曲线运动的物体，速度可能不变
B．做曲线运动的物体，所受的合外力可能为零
C．如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动不可能是曲线运动
D．因为曲线运动的速度在不断变化，所以曲线运动不可能是匀变速运动
【答案】 C
【解析】 曲线运动的速度方向时刻变化，故A错误；物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力与速度方向不在一条直线上，所以做曲线运动的物体所受合外力一定不为零，故B错误；如果物体不受外力，由于惯性而持续的运动一定是匀速直线运动，不可能是曲线运动，故C正确；曲线运动可以是匀变速曲线运动，如平抛运动，故D错误。
【例2】(2022·湖北武汉市武昌区调研) 一个物体在3个恒力的作用下做匀速直线运动，现撤去其中两个力，保持第三个力的大小和方向均不变。关于该物体此后的运动，下列说法正确的是( )
A．不可能做圆周运动
B．可能做圆周运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．一定做匀变速直线运动
【答案】 A
【解析】 若撤去两个力后，保持第三个力大小和方向均不变，则物体受到的合力不变，而圆周运动的合力是变力，所以不可能做圆周运动，故A正确，B错误；若撤去两个力后，物体受到的合力与速度的方向共线，则物体做匀变速直线运动；若合力与速度不共线，则物体做曲线运动，故C、D错误。
类型2 曲线运动的动力学解释
曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
【例1】如图所示，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【答案】 C
【解析】 质点做匀变速曲线运动，B点到C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以，C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；若质点从A点运动到C点，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误。
【例2】(2022·湖北省部分重点高中高三期末联考)质量为m的粒子a以速度v在竖直面内水平向右运动，另一质量为m的粒子b以速度v沿与水平向右成45°斜向下的方向运动，在某段时间内两个粒子分别受到相同的恒力的作用，在停止力的作用时，粒子a沿竖直向下方向以速度v运动，则粒子b的运动速率为(不计重力)( )
A.eq \r(2)v B.eq \r(3)v C．v D．0.5v
【答案】 B
【解析】 作出粒子a的初速度、末速度及速度的变化量关系图，如图甲
由于初、末速度大小相等，则Δv与水平向左方向成45°斜向下，Δv＝eq \r(2)v，设恒力的作用时间为t，根据动量定理有Ft＝mΔv，得F＝eq \f(\r(2)mv,t)
可知作用力F与粒子b的初速度垂直，所以粒子b做类平抛运动，建立如图乙所示的直角坐标系，粒子b沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝eq \f(F,m)＝eq \f(\r(2)v,t)
经过时间t，粒子b的运动速率为vb＝eq \r(v2＋at2)＝eq \r(3)v.故选B.
【例3】(2022·安徽蚌埠市第二次教学质检)如图所示，一质点在恒力作用下经过时间t从a点运动到b点，速度大小由2v0变为v0，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为( )
A.eq \f(\r(3)v0,3t) B.eq \f(v0,t)
C.eq \f(\r(3)v0,t) D.eq \f(2v0,t)
【答案】 C
【解析】 根据矢量运算规则，利用三角形定则如图，可得速度的变化量为Δv＝eq \r(3)v0，则质点的加速度大小为a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(\r(3)v0,t)，故选项C正确。
【例4】.(多选)(2022·湖南师大附中模拟)如图所示，在光滑水平桌面上有一个质量为m的质点，在沿平行于桌面方向的恒定外力F作用下，以初速度v0从A点开始做曲线运动，图中曲线是质点的运动轨迹.已知在t s末质点的速度达到最小值v，到达B点时的速度方向与初速度v0的方向垂直，则( )
A.恒定外力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，则sin θ＝eq \f(v,v0)
B.质点所受合外力的大小为eq \f(m\r(v02－v2),t)
C.质点到达B点时的速度大小为eq \f(v0v,\r(v02－v2))
D.t s内恒力F做功为eq \f(1,2)m(v02－v2)
【答案】 ABC
【解析】 分析可知，恒力F的方向应与速度方向成钝角，将速度按沿力的方向与垂直于力的方向分解，如图所示.
在x′方向上由运动学知识得v＝v0sin θ，在y′方向上由运动学知识得v0cs θ＝ayt，由牛顿第二定律有F＝may，解得F＝eq \f(m\r(v02－v2),t)，即恒力F的方向与初速度的反方向成θ角指向曲线内侧，且sin θ＝eq \f(v,v0)，故A、B正确；设质点从A点运动到B点历时t1，在v0方向上的加速度大小为a1，在垂直v0方向上的加速度大小为a2，由牛顿第二定律有Fcs θ＝ma1，Fsin θ＝ma2，由运动学知识可得v0＝a1t1，vB＝a2t1，解得vB＝eq \f(v0v,\r(v02－v2))，故C正确；根据动能定理得，t s内恒力F做功为－eq \f(1,2)m(v02－v2)，故D错误.
题型二 运动的合成与分解
【解题指导】1．基本思路
分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。
2．解题关键
两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
3．注意问题
要注意分析物体在两个方向上的受力及运动情况，分别在这两个方向上列式求解。
类型1 合运动与分运动的关系
1．合运动和分运动的关系
2.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
【例1】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【答案】 C
【解析】 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，故A错误，C正确；不论风速大小，运动员竖直方向的分运动不变，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风速越大，水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故B、D错误．
【例2】(2022·山东省实验中学高三期末)如图所示，战斗机离舰执行任务，若战斗机离开甲板时的水平分速度为40 m/s，竖直分速度为20 m/s，之后飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀加速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于1 m/s2的匀加速直线运动。则离舰后( )
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.10 s内飞机水平方向的分位移是竖直方向的分位移大小的2倍
C.10 s末飞机的速度方向与水平方向夹角为30°
D.飞机在20 s内水平方向的平均速度为50 m/s
【答案】 B
【解析】 飞机离舰后的合速度与合加速度方向一致，所以飞机运动轨迹为直线，A错误；10 s内水平方向位移x＝v0xt＋eq \f(1,2)axt2＝500 m，竖直方向位移y＝v0yt＋eq \f(1,2)ayt2＝250 m，B正确；飞机速度方向与水平方向夹角的正切tan θ＝0.5，C错误；飞机在20 s内水平方向的位移x′＝40×20 m＋eq \f(1,2)×2×202 m＝1 200 m，则平均速度为eq \(v,\s\up6(－))x＝eq \f(x′,t′)＝60 m/s，D错误。
类型2 两互成角度运动合运动性质的判断
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(不变：匀变速运动,变化：非匀变速运动))
加速度(或合外力)方向与速度方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
【例1】(2022·陕西西安市长安一中月考)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图像．以下判断正确的是( )
A．在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B．在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C．在1～2 s内，物体做匀变速直线运动
D．在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
【答案】 C
【解析】 在0～1 s内，物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀加速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项A、B错误；在1～2 s内，物体水平方向初速度为：v0x＝4 m/s，加速度为：ax＝4 m/s2，竖直方向初速度为：v0y＝3 m/s，加速度为：ay＝3 m/s2，根据平行四边形定则合成可以得到合初速度为v＝5 m/s，合加速度为a＝5 m/s2，而且二者方向在同一直线上，可知，合运动为匀变速直线运动，故选项C正确，D错误．
【例2】(多选) (2022·北京西城区期末)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝0.02 m/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿 x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测出t时刻R的x、y 坐标值分别为0.25 m和0.10 m。则此时( )
A．玻璃管的速度的大小为 0.05 m/s
B．玻璃管的加速度的大小为 0.02 m/s2
C．蜡块的运动轨迹方程为x－25y2＝0
D．蜡块的运动轨迹方程为8x2－5y＝0
【答案】 BC
【解析】 蜡块水平方向做匀加速运动，则x＝eq \f(vx,2)t＝eq \f(1,2)at2＝0.25 m，竖直方向做匀速直线运动y＝v0t＝0.1 m，解得t＝5 s，vx＝0.1 m/s, a＝0.02 m/s2，选项A错误，B正确； 由x＝eq \f(1,2)at2＝0.01t2，y＝v0t＝0.02t，消掉t解得x－25y2＝0，选项C正确，D错误
【例3】(多选)(2022·山东实验中学段考)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)，关于物体的运动，下列说法正确的是( )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
【答案】：BC
【解析】：对应位移时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度：v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度：ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2；物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度方向与加速度方向相同，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误．
【例4】随着科技的进步，2020年，农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，如图甲所示．无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向．下列说法正确的是( )
A．0～2 s内，无人机做匀加速直线运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m
【答案】 C
【解析】 0～2 s时间内，无人机在水平方向做匀加速运动，在竖直方向也做匀加速运动，但初速度沿水平方向，合加速度与速度方向有夹角，因此，无人机做匀加速曲线运动，故选项A错误；2～4 s时间内，无人机在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故选项B错误；0～4 s时间内，竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，t＝4 s时刻，竖直方向速度为0，所以，此时无人机运动到最高点，故选项C正确；0～5 s内，无人机的水平位移为9 m，竖直位移为1.75 m，则合位移为eq \r(x2＋y2)，不等于9 m，选项D错误．
题型三 小船渡河问题
【解题指导】1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3．两种渡河方式
【例1】(多选)小明、小美、园园和小红去划船，碰到一条宽90 m的小河，他们在静水中划船的速度为3 m/s，现在他们观察到河水的流速为5 m/s，关于渡河的运动，他们有各自的看法，其中正确的是( )
A.小红说：要想到达正对岸就得船头正对河岸划船
B.小美说：不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸
C.小明说：渡过这条河的最短距离是150 m
D.园园说：以最短位移渡河时，需要用时30 s
【思维建构】
【动态图解法】
类比于只有一个力方向发生变化的动态平衡问题，可应用动态矢量三角形解决问题。
1.固定水速矢量箭头不动，将船速矢量箭头绕水速矢量箭头的末端转动，如图所示，则船速矢量箭头的末端在一个圆周上移动，根据三角形定则，合速度矢量的末端也就在这个圆周上移动。
2.当合速度v⊥v船时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。
【答案】 BC
【规范分析】
如图(1)所示，船头正对对岸划船，合速度方向倾斜，无法到达正对岸，选项A错误；如图(2)若要垂直到达正对岸，需要满足v船 >v水，该题中v水 >v船，所以不论怎样调整船头方向都不能垂直到达正对岸，选项B正确；如图(3)所示，当v⊥v船时，合速度v与河岸夹角最大，位移最小。根据三角形相似eq \f(d,s)＝eq \f(v船,v水)，解得
s＝150 m，选项C正确；以最短位移渡河时，所需时间t＝eq \f(s,\r(veq \\al(2,水)－veq \\al(2,船)))＝37.5 s，选项D错误。
【方法感悟】
所有矢量运算都满足平行四边形定则和三角形定则。当碰到一个矢量大小方向不变，另一个矢量要么大小不变，要么方向不变，求解第三个矢量时，我们就可以大胆尝试用这种动态图解法画图，往往垂直“出”最小。
【例2】(2022·安徽合肥模拟)如图所示，在宽为H的河流中，甲、乙两船从相距eq \f(\r(3),3)H的A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到达正对岸的C.则下列说法正确的是( )
A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇
C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇
【答案】D
【解析】设两船在静水中的速度大小为v，根据题述乙船恰能沿BC到达正好岸的C可知，vcs 60°＝v水，渡河时间t＝eq \f(H,vsin 60°)＝eq \f(2\r(3)H,3v)，甲船沿河岸方向分速度vcs 60°＝eq \f(v,2)，在渡河时间t＝eq \f(2\r(3)H,3v)内甲船沿河岸方向位移s＝(vcs 60°＋v水)t＝(eq \f(v,2)＋eq \f(v,2))eq \f(2\r(3)H,3v)＝eq \f(2\r(3)H,3)，刚好等于A、B两个码头之间距离eq \f(\r(3)H,3)的2倍，即两船在BC的中点相遇，选项D正确A、B、C错误．
【例3】(2022·山西朔州市怀仁市期末)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为
A.eq \f(kv,\r(k2－1)) B.eq \f(v,\r(1－k2)) C.eq \f(kv,\r(1－k2)) D.eq \f(v,\r(k2－1))
【答案】 B
【解析】 设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝eq \f(d,v0)，回程渡河所用时间t2＝eq \f(d,\r(veq \\al(2,0)－v2))。由题知eq \f(t1,t2)＝k，联立以上各式得v0＝eq \f(v,\r(1－k2))，选项B正确，选项A、C、D错误。
【例4】.(2022·江西吉安市大联考)有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为v0，小船在静水中速度大小始终为v，且v>v0。若小船以最短位移过河所用的时间为t，若小船以最短时间过河，所用的时间为eq \f(\r(3),2)t，则河水流速与小船在静水中的速度之比为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(2),2)
【答案】 A
【解析】 水流动的速度为v0，小船在静水中的运动速度大小为v，当船以最短时间过河时，则有eq \f(\r(3),2)t＝eq \f(d,v)，以最短位移过河则有t＝eq \f(d,\r(v2－veq \\al(2,0)))，解得eq \f(v0,v)＝eq \f(1,2)，选项A正确。
题型四 实际运动中的两类关联速度模型
【解题指导】关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
1.解决关联速度问题的一般步骤
第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。
第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量并作出运动矢量图。
第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
2.常见的两种模型分析
(1)绳牵联模型
单个物体的绳子末端速度分解：如图甲所示，v⊥一定要正交分解在垂直于绳子方向，这样v∥的大小就是拉绳的速率，注意切勿将绳子速度分解。
甲 乙
两个物体的绳子末端速度分解：如图乙所示两个物体的速度都需要正交分解，其中两个物体的速度沿着绳子方向的分速度是相等的，即vA∥＝vB∥。
如图丙所示，将圆环的速度分解成沿绳方向和垂直于绳方向的分速度，B的速度与A沿绳方向的分速度相等，即vA∥＝vB∥。
丙 丁
(2)杆牵联模型
如图丁所示，将杆连接的两个物体的速度沿杆和垂直于杆的方向正交分解，则两个物体沿杆方向的分速度大小相等，即vA∥＝vB∥。
3.绳(杆)端关联速度分解问题的常考模型
类型1 绳端关联速度的分解问题
【例1】(2022·河南省南阳中学高三月考)如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，货箱速度为v时，连接货车的绳与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A．货车的速度等于eq \f(v,cs θ)
B．货车的速度等于vcs θ
C．缆绳中的拉力FT等于(m0＋m)g
D．货物处于失重状态
【答案】 A
【解析】 货车沿着绳子方向的分速度等于货箱的速度，因此有v车cs θ＝v，可得v车＝eq \f(v,cs θ)，故A正确，B错误；货车匀速前进过程中，绳子倾角θ逐渐减小，可得货箱的速度逐渐增大，因此货箱向上做加速运动，货箱处于超重状态，因此绳子中的拉力FT>(m0＋m)g，故C、D错误．
【例2】.如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则( )
A．刚开始时B的速度为eq \f(v,cs θ)
B．A匀速上升时，重物B也匀速下降
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．A运动到位置N时，B的速度最大
【答案】 C
【解析】 对于A，它的速度如图中标出的v，这个速度看成是A的合速度，其分速度分别是v1、v2，其中v2就是B的速率(沿同一根绳子方向的速度大小相同)，故刚开始上升时B的速度vB＝vcs θ，故A错误；由于A匀速上升，θ增大，所以vB减小，故B错误；B做减速运动，处于超重状态，绳对B的拉力大于B的重力，故C正确；当A运动至位置N时θ＝90°，所以vB＝0, 故D错误．
【例3】(2022·成都一诊)质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是
A．P的速率为v B．P的速率为vcs θ2
C．绳的拉力等于mgsin θ1 D．绳的拉力小于mgsin θ1
【答案】 B
【解析】 将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分解为v1、v2，P的速率等于v1＝vcs θ2，A错误、B正确；小车向右做匀速直线运动，θ减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsin θ1，C、D错误；故选B。
【例4】．(2022·大庆模拟)A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以速度v1向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，如图所示。物体B的运动速度vB为(绳始终有拉力)
A．v1sin α/sin β B．v1cs α/sin β
C．v1sin α/cs β D．v1cs α/cs β
【答案】 D
【解析】 A、B两物体的速度分解如图。
由图可知：v绳A＝v1cs α
v绳B＝vBcs β
由于v绳A＝v绳B
所以vB＝v1cs α/cs β，故D对。
类型2 杆端关联速度的分解问题
【例1】(多选)在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为L的光滑轻质硬细杆AB的两个端点分别被约束在x轴和y轴上，现让杆的A端沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，某时刻杆AB与x轴的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．此时，杆B端的速度大小为eq \f(v0,tan θ)
B．此时，杆B端的速度大小为v0tan θ
C．P点的运动轨迹是圆的一部分
D．此时，P点的运动速度大小为eq \f(v0,2sin θ)
【答案】 ACD
【解析】 如图甲，根据运动的合成与分解，结合矢量合成法则及三角函数，
则有vBsin θ＝v0cs θ，得vB＝eq \f(v0,tan θ)，故A正确，B错误；设P点坐标为(x，y)，则A、B点的坐标分别为(2x,0)，(0,2y)，AB长度一定，设为L，根据勾股定理，则有(2x)2＋(2y)2＝L2，解得x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2，因此P点的运动轨迹是圆的一部分，半径为eq \f(L,2)，故C正确；画出P点的运动轨迹，如图乙，速度v与杆的夹角α＝2θ－90°，
由于杆不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等，则vcs α＝v0cs θ，即vcs (2θ－90°)＝v0cs θ，得v＝eq \f(v0,2sin θ)，故D正确．
【例2】(多选)(2022·重庆市南开中学高三月考)某机械装置可以用于提升重物的高度，其结构如图15所示．薄板OA可绕固定于竖直墙壁的转轴O自由转动，底面半径为R的圆柱形重物M置于薄板与墙壁间，现将薄板从水平位置以角速度ω逆时针匀速转动，使重物沿着墙壁上升，设OA与墙壁的夹角为θ.则( )
A．重物加速上升
B．重物减速上升
C．重物垂直于板方向的分速度为eq \f(ωR,tan\f(θ,2))
D．重物垂直于板方向的分速度为eq \f(ωR,tan θ)
【答案】 AC
【解析】 如图所示，将重物的速度分解为垂直于薄板方向和平行于薄板方向，由线速度与角速度关系结合几何关系可知v1＝ωL＝eq \f(ωR,tan \f(θ,2))，选项C正确，D错误；
由v＝eq \f(v1,sin θ)＝eq \f(ωR,sin θtan \f(θ,2))，重物沿着墙壁上升，θ减小，v增大，选项A正确，B错误．
【例3】(2022·辽宁大连市第一次模拟)如图所示，一根长为l的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端 固定着一个小球A，轻杆靠在一个高为h的物块上．若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，物块与轻杆的接触点为B，下列说法正确的是( )
A．A、B的线速度相同
B．A、B的角速度不相同
C．轻杆转动的角速度为eq \f(vsin2θ,h)
D．小球A的线速度大小为eq \f(vlsin 2θ,h)
【答案】：C
【解析】：A、B同轴转动，角速度相同，线速度不同，选项A、B错误．设图示时刻杆转动的角速度为ω.当物块以速度v向右运动，接触点B一方面沿杆运动，另一方面绕O点转动，设OB＝L，对于B点轻杆转动的线速度vB＝vsin θ＝ωL，sin θ＝eq \f(h,L)，消去L解得ω＝eq \f(vsin2 θ,h)，选项C正确．小球A的线速度大小为vA＝ωl＝eq \f(vlsin2 θ,h)，选项D错误．
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
方式
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cs θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
渡河位
移最短
当v水＞v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝eq \f(dv水,v船)
情景图示
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcs θ
vAcs θ＝v0
vAcs α＝
vBcs β
vBsin α＝
vAcs α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解
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