高考物理一轮复习专题12机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习专题12机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了机械能守恒的判断，单物体的机械能守恒问题，连接体的机械能守恒问题，功能关系的理解和应用，能量守恒定律的理解和应用等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13387" 题型一 机械能守恒的判断 PAGEREF _Tc13387 \h 1
\l "_Tc12069" 题型二 单物体的机械能守恒问题 PAGEREF _Tc12069 \h 3
\l "_Tc6984" 题型三 连接体的机械能守恒问题 PAGEREF _Tc6984 \h 5
\l "_Tc29686" 类型1 轻绳连接的物体系统 PAGEREF _Tc29686 \h 6
\l "_Tc14618" 类型2 轻杆连接的物体系统 PAGEREF _Tc14618 \h 8
\l "_Tc18651" 类型3 含“弹簧类”系统的机械能守恒 PAGEREF _Tc18651 \h 9
\l "_Tc22014" 题型四 功能关系的理解和应用 PAGEREF _Tc22014 \h 12
\l "_Tc11154" 类型1 功能关系的理解 PAGEREF _Tc11154 \h 12
\l "_Tc23890" 类型2 功能关系与图像的结合 PAGEREF _Tc23890 \h 14
\l "_Tc29770" 类型3 功能关系的综合应用 PAGEREF _Tc29770 \h 15
\l "_Tc8106" 题型五 能量守恒定律的理解和应用 PAGEREF _Tc8106 \h 17
题型一 机械能守恒的判断
【解题指导】机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．
【例1】(2022·广东惠州一中月考)(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
【例2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
【例3】(2022·湖南永州市模拟)伽利略在研究力和运动的关系的时候，采用两个平滑对接的斜面，一个斜面固定，让小球从斜面上滚下，小球又滚上另一个倾角可以改变的斜面，斜面倾角逐渐减小直至为零，如图1所示。关于这个理想斜面实验，下列说法正确的是( )
A．如果没有摩擦，小球运动过程中机械能守恒
B．如果没有摩擦，小球将在另一斜面上运动相同的路程
C．如果没有摩擦，小球运动到另一斜面上最高点的高度与释放时的高度不同
D．如果没有摩擦，小球运动到水平面时的机械能小于释放时的机械能
【例4】如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)( )
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统动能与重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统机械能是不变的
题型二 单物体的机械能守恒问题
【解题指导】1．表达式
2．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
3．一般步骤
【例1】 (2022·山东日照市校际联考)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图3甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一个圆，在极限情况下，这个圆叫作A点的曲率圆，其半径叫作A点的曲率半径。现将一物体沿着与水平面成α角的方向以某一速度从地面抛出，如图乙所示，其轨迹最高点P离地面的高度为h，曲率半径为eq \f(h,2)，忽略空气阻力，则tan α的值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2)
C．2 D．4
【例2】(多选)(2022·湖南株洲市检测)如图甲所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一小球。小球在竖直平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力F的大小与小球离最低点的高度h的关系如图乙所示。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．圆周半径为1.0 m
B．小球质量为0.5 kg
C．轻绳转至水平时拉力为30 N
D．小球通过最高点的速度为4 m/s
题型三 连接体的机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．常见的三种模型
(1)轻绳连接的物体系统模型
(2)轻杆连接的物体系统模型
(3)轻弹簧连接的物体系统模型
类型1 轻绳连接的物体系统
【例1】(2022·广东新高考模拟)如图所示，物体A、B质量相同，在倾角为30°的光滑斜面上，滑轮及绳子质量均不计，现将系统由静止释放，不计空气阻力，则物体A在下降h距离时的速度大小为( )
A.eq \r(2gh) B．2eq \r(\f(3gh,5))
C.eq \f(\r(2gh),2) D.eq \r(\f(8gh,5))
【例2】如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上．开始时连接圆环的绳子水平，长度l＝4 m．现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2.若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为( )
A.eq \f(M,m)＝eq \f(35,29) B.eq \f(M,m)＝eq \f(7,9)
C.eq \f(M,m)＝eq \f(39,25) D.eq \f(M,m)＝eq \f(15,19)
【例3】(多选)如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g.在物块B下落到轻绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是( )
A．开始下落时，物块B的加速度大于g
B．物块B的重力势能减小量为mgLtan θ
C．物块A的速度小于物块B的速度
D．物块B的末速度为eq \r(\f(2gLcs θ,1＋sin2 θ))
类型2 轻杆连接的物体系统
【例1】如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点)，小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连。已知重力加速度为g，小球B受微小扰动从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．A球增加的机械能大于B球减少的机械能
B．A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能
C．A球的最大速度为eq \r(\f(2gR,3))
D．细杆对A球做的功为eq \f(8,3)mgR
【例2】(多选)如图所示，用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为m，两段轻杆等长．现将C球置于距地面高h处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在小球C下落过程中( )
A．小球A、B、C组成的系统机械能守恒
B．小球C的机械能一直减小
C．小球C落地前瞬间的速度大小为eq \r(2gh)
D．当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg
【例3】(2022·福建南平市质检)质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq \f(1,3)处有一个光滑固定转轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，则(重力加速度为g)( )
A．小球P在最高位置的速度大小为eq \f(\r(gl),3)
B．小球Q在最低位置的速度大小为eq \r(\f(2gl,3))
C．小球P在此过程中机械能增加量为eq \f(4,9)mgL
D．小球Q在此过程中机械能减少eq \f(2,3)mgl
类型3 含“弹簧类”系统的机械能守恒
1．通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
【例1】(2022·重庆市高考模拟)如图所示，小滑块P、Q的质量分别为3m、m，P、Q间通过轻质铰链用长为L的刚性轻杆连接，Q套在固定的水平横杆上，P和竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上。当杆与竖直方向的夹角α＝30°时，弹簧处于原长，此时，将P由静止释放，下降到最低点时α＝60°。整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，滑块P始终没有离开竖直墙壁，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则在P下降过程中( )
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．轻杆始终对Q做正功
C．弹簧弹性势能最大值为2(eq \r(3)－1)mgL
D．P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q受到水平横杆的支持力大小等于mg
【例2】(多选)如图所示，A、B两物块由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B和物块C在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为5m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是( )
A．C刚离开地面时，B的加速度为零
B．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B组成的系统机械能先增加后减小
C．弹簧恢复原长瞬间，细线中的拉力大小为eq \f(4mg,3)
D．A的最大速度为geq \r(\f(2m,3k))
【例3】如图所示，轻质弹簧一端固定在O处，另一端与质量为m的物块相连，物块套在光滑竖直固定杆上．开始时物块处于A处且弹簧处于原长．现将物块从A处由静止释放，物块经过B处时弹簧与杆垂直，经过C处时弹簧再次处于原长，到达D处时速度为零．已知OB之间的距离为L，∠AOB＝30°，∠BOD＝60°.弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g.在物块下滑的整个过程中，下列说法正确的是( )
A．物块在由A处下滑至C处的过程中机械能守恒
B．物块在B处的速度为eq \r(\f(2\r(3),3)gL)
C．物块在B处时弹簧的弹性势能最大
D．物块在D处时弹簧的弹性势能为eq \f(4\r(3),3)mgL
题型四 功能关系的理解和应用
做功的过程就是能量转化的过程．功是能量转化的量度.
功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应动能的变化等.
分析机械能的变化，既可以用定义法也可以根据除重力(弹簧弹力)以外的其他力做功来分析．
类型1 功能关系的理解
常见的功能关系
【例1】(多选) (2022·广东省选择考模拟)蹦床是少年儿童喜欢的一种体育运动，如图所示，蹦床的中心由弹性网组成，若少年儿童从最高点落下至最低点的过程中，空气阻力大小恒定，则少年儿童( )
A．机械能一直减小
B．刚接触网面时，动能最大
C．重力势能的减少量大于克服空气阻力做的功
D．重力势能的减少量等于弹性势能的增加量
【例2】 (多选)(2022·东北三省四市教研联合体模拟)第22届哈尔滨冰雪大世界开门迎客了，近400 m长的极速大滑梯是大人、孩子最喜欢的王牌娱乐项目。一名游客坐在雪橇上下滑了一段路程，重力对他做功3 000 J，他克服阻力做功500 J，则在此过程中这名游客( )
A．重力势能增加了3 000 J
B．动能增加了3 000 J
C．动能增加了2 500 J
D．机械能减少了500 J
【例3】自动扶梯是商场里的高耗能设备之一，为了节约用电、减少机械磨损、延长使用寿命，某商场的自动扶梯设有“无人停梯”模式，即没有乘客时扶梯停止运行，进入待机状态．当有乘客登上扶梯时，扶梯由静止开始加速启动，达到设定速度后匀速运行．如图所示，一位顾客在一楼登上处于“无人停梯”模式的扶梯后就在扶梯上站立不动，随着扶梯到达二楼．关于此运动过程，下列说法正确的是( )
A．顾客始终受到重力、支持力和摩擦力
B．扶梯只在加速启动过程中对顾客做功
C．扶梯对顾客做的功等于顾客动能的增加量
D．扶梯对顾客做的功等于顾客机械能的增加量
类型2 功能关系与图像的结合
【例1】(多选)(2020·全国卷Ⅰ·20)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【例2】(多选)(2019·全国卷Ⅱ·18)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和．取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示．重力加速度取10 m/s2.由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
【例1】一质量为m＝2 kg的物块在长l＝9 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，经过t＝3 s到达斜面底端，以水平地面为零势能面，其重力势能随下滑距离s的变化如图5所示，斜面始终静止在水平地面上，重力加速度g取10 m/s2。则( )
A．物块下滑过程中机械能守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.3
C．物块下滑时加速度的大小为4 m/s2
D．物块下滑过程中机械能一共损失了72 J
类型3 功能关系的综合应用
【例1】(多选)(2020·山东卷)如图所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是( )
A．M<2m
B．2mC．在B从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对B先做正功后做负功
D．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
【例2】(多选)(2022·福建省名校联考)如图所示，一个质量为M、长为L的木板B静止在光滑水平面上，其右端放有可视为质点的质量为m的滑块A，现用一水平恒力F作用在滑块上，使滑块从静止开始做匀加速直线运动。滑块和木板之间的摩擦力为Ff，滑块滑到木板的最左端时，木板运动的距离为x，此过程中下列说法正确的是( )
A．滑块A到达木板B最左端时，具有的动能为(F－Ff)(L＋x)
B．滑块A到达木板B最左端时，木板B具有的动能为Ffx
C．滑块A克服摩擦力所做的功为FfL
D．滑块A和木板B增加的机械能为F(L＋x)－FfL
【例3】(2022·河北廊坊市摸底)一质量为m的小球，从地面附近的某高度处以初速度v水平抛出，除重力外小球还受一水平恒力作用，经过一段时间，小球的速度大小变为2v，方向竖直向下，小球还未到达地面。在此过程中( )
A．小球的动能增加了eq \f(1,2)mv2
B．小球的重力势能减少了2mv2
C．小球的机械能增加了2mv2
D．水平恒力做功的大小大于重力做功的大小
题型五 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE减＝ΔE增．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等．
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．
【例1】(2022·湘豫名校4月联考)如图甲所示，在水平面上固定倾角为θ＝37°底端带有挡板足够长的斜面，斜面体底端静止一质量为m＝1 kg的物块(可视为质点)，从某时刻起，物块受到一个沿斜面向上的拉力F作用，拉力F随物块从初始位置第一次沿斜面向上的位移x变化的关系如图乙所示，随后不再施加外力作用，假设物块与固定挡板碰撞前后速率不变，不计空气阻力和碰撞时间，已知物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：
(1)物块在上滑过程中达到最大动能时拉力F的大小；
(2)物块沿斜面上滑的最大位移的大小。
【例2】(多选)如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点。轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。不计滑块在B点的机械能损失；换用相同材料质量为m2的滑块(m2＞m1)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，下列说法正确的是( )
A．两滑块到达B点的速度相同
B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同
D．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同
【例4】(2022·北京东城区期末)如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),4)，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点．已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态．求在此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能．
【例4】如图所示，在倾角为37°的斜面底端固定一挡板，轻弹簧下端连在挡板上，上端与物块A相连，用不可伸长的细线跨过斜面顶端的定滑轮把A与另一物体B连接起来，A与滑轮间的细线与斜面平行．已知弹簧劲度系数k＝40 N/m，A的质量m1＝1 kg，与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，B的质量m2＝ 2 kg.初始时用手托住B，使细线刚好处于伸直状态，此时物体A与斜面间没有相对运动趋势，物体B的下表面离地面的高度h＝0.3 m，整个系统处于静止状态，弹簧始终处于弹性限度内．重力加速度g＝ 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.
(1)由静止释放物体B，求B刚落地时的速度大小；
(2)把斜面处理成光滑斜面，再将B换成一个形状完全相同的物体C并由静止释放，发现C恰好到达地面，求C的质量m3.
常见
情景
模型
提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
常见
情景
模型
特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
模型
特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点
提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
能量
功能关系
表达式
势能
重力做功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能
合外力做功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02
机械能
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量
W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦
产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能
Q＝Ff·x相对
电能
克服安培力做功等于电能增加量
W电能＝E2－E1＝ΔE
专题12 机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13387" 题型一 机械能守恒的判断 PAGEREF _Tc13387 \h 1
\l "_Tc12069" 题型二 单物体的机械能守恒问题 PAGEREF _Tc12069 \h 3
\l "_Tc6984" 题型三 连接体的机械能守恒问题 PAGEREF _Tc6984 \h 5
\l "_Tc29686" 类型1 轻绳连接的物体系统 PAGEREF _Tc29686 \h 6
\l "_Tc14618" 类型2 轻杆连接的物体系统 PAGEREF _Tc14618 \h 8
\l "_Tc18651" 类型3 含“弹簧类”系统的机械能守恒 PAGEREF _Tc18651 \h 9
\l "_Tc22014" 题型四 功能关系的理解和应用 PAGEREF _Tc22014 \h 12
\l "_Tc11154" 类型1 功能关系的理解 PAGEREF _Tc11154 \h 12
\l "_Tc23890" 类型2 功能关系与图像的结合 PAGEREF _Tc23890 \h 14
\l "_Tc29770" 类型3 功能关系的综合应用 PAGEREF _Tc29770 \h 15
\l "_Tc8106" 题型五 能量守恒定律的理解和应用 PAGEREF _Tc8106 \h 17
题型一 机械能守恒的判断
【解题指导】机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒．
【例1】(2022·广东惠州一中月考)(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
【答案】 BC
【解析】 当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确．
【例2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是( )
A．小球的动能一直减小
B．小球的机械能守恒
C．克服弹力做功大于重力做功
D．最大弹性势能等于小球减少的动能
【答案】 C
【解析】 小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力作用，开始时弹簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，当重力等于弹力时，速度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始做减速运动，所以整个过程中小球加速后减速，根据Ek＝eq \f(1,2)mv2，动能先增大然后减小，故A错误；在向下运动的过程中，小球受到的弹力对它做负功，小球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，根据能量守恒定律，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能之和，即克服弹力做功大于重力做功，故D错误，C正确．
【例3】(2022·湖南永州市模拟)伽利略在研究力和运动的关系的时候，采用两个平滑对接的斜面，一个斜面固定，让小球从斜面上滚下，小球又滚上另一个倾角可以改变的斜面，斜面倾角逐渐减小直至为零，如图1所示。关于这个理想斜面实验，下列说法正确的是( )
A．如果没有摩擦，小球运动过程中机械能守恒
B．如果没有摩擦，小球将在另一斜面上运动相同的路程
C．如果没有摩擦，小球运动到另一斜面上最高点的高度与释放时的高度不同
D．如果没有摩擦，小球运动到水平面时的机械能小于释放时的机械能
【答案】 A
【解析】 如果没有摩擦，小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，选项A正确，D错误；如果没有摩擦，小球机械能守恒，小球运动到另一斜面上最高点的高度将与释放时的高度相同，选项B、C错误。
【例4】如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)( )
A．在任一时刻，两球动能相等
B．在任一时刻，两球加速度相等
C．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统动能与重力势能之和保持不变
D．在任一时刻，两球和弹簧组成的系统机械能是不变的
【答案】 D
【解析】 细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知
aP＞aQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，选项C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D正确。
题型二 单物体的机械能守恒问题
【解题指导】1．表达式
2．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
3．一般步骤
【例1】 (2022·山东日照市校际联考)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替，如图3甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一个圆，在极限情况下，这个圆叫作A点的曲率圆，其半径叫作A点的曲率半径。现将一物体沿着与水平面成α角的方向以某一速度从地面抛出，如图乙所示，其轨迹最高点P离地面的高度为h，曲率半径为eq \f(h,2)，忽略空气阻力，则tan α的值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2)
C．2 D．4
【答案】 C
【解析】 在P点时，重力恰好作为向心力，满足mg＝meq \f(veq \\al(2,P),R)，又由题意可知R＝eq \f(h,2)，联立可解得vP＝eq \r(\f(gh,2))，vP即为物体抛出时速度的水平分量，设物体抛出时速度的竖直分量为vy，抛出时的速度为v，由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mv2＝mgh＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,P)，又v2＝veq \\al(2,P)＋veq \\al(2,y)，联立可得vy＝eq \r(2gh)，物体抛出时速度v与水平面所成α角满足tan α＝eq \f(vy,vP)，代入数据可得tan α＝2，C正确。
【例2】(多选)(2022·湖南株洲市检测)如图甲所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一小球。小球在竖直平面内做完整的圆周运动的过程中，绳子的拉力F的大小与小球离最低点的高度h的关系如图乙所示。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．圆周半径为1.0 m
B．小球质量为0.5 kg
C．轻绳转至水平时拉力为30 N
D．小球通过最高点的速度为4 m/s
【答案】 BD
【解析】 由图可知，当h＝0时，绳的拉力为F2＝41 N，当h＝1.0 m时，绳的拉力为F1＝11 N，可知小球做圆周运动的半径R＝eq \f(1.0,2) m＝0.5 m，故A错误；设小球运动到最高点时的速度为v1，最低点时的速度为v2，取最低点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＋mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，在最高点和最低点，分别根据牛顿第二定律可知F1＋mg＝meq \f(veq \\al(2,1),R)，F2－mg＝meq \f(veq \\al(2,2),R)，解得m＝0.5 kg，v1＝4 m/s，故B、D正确；设轻绳转至水平时小球的速度为v，从最高点到轻绳水平时，由机械能守恒定律可得eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＋mg·2R＝eq \f(1,2)mv2＋mgR，解得v＝eq \r(26) m/s，由牛顿第二定律可知，轻绳转至水平时拉力为F＝meq \f(v2,R)＝26 N，故C错误。
题型三 连接体的机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．常见的三种模型
(1)轻绳连接的物体系统模型
(2)轻杆连接的物体系统模型
(3)轻弹簧连接的物体系统模型
类型1 轻绳连接的物体系统
【例1】(2022·广东新高考模拟)如图所示，物体A、B质量相同，在倾角为30°的光滑斜面上，滑轮及绳子质量均不计，现将系统由静止释放，不计空气阻力，则物体A在下降h距离时的速度大小为( )
A.eq \r(2gh) B．2eq \r(\f(3gh,5))
C.eq \f(\r(2gh),2) D.eq \r(\f(8gh,5))
【答案】 A
【解析】 设物体A在下降h距离时的速度为v，则此时B物体的速度为eq \f(v,2)，由机械能守恒得mgh＋mg×eq \f(1,2)hsin 30°＝eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)m(eq \f(v,2))2，解得v＝eq \r(2gh)，A项正确。
【例2】如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，由绳子通过定滑轮连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上．开始时连接圆环的绳子水平，长度l＝4 m．现从静止释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10 m/s2.若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为( )
A.eq \f(M,m)＝eq \f(35,29) B.eq \f(M,m)＝eq \f(7,9)
C.eq \f(M,m)＝eq \f(39,25) D.eq \f(M,m)＝eq \f(15,19)
【答案】 A
【解析】 圆环下降3 m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcs θ＝eq \f(vh,\r(h2＋l2))，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3 m时，根据机械能守恒定律可得mgh＝MghA＋eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)MvA2，其中hA＝eq \r(h2＋l2)－l，联立可得eq \f(M,m)＝eq \f(35,29)，故A正确．
【例3】(多选)如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g.在物块B下落到轻绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是( )
A．开始下落时，物块B的加速度大于g
B．物块B的重力势能减小量为mgLtan θ
C．物块A的速度小于物块B的速度
D．物块B的末速度为eq \r(\f(2gLcs θ,1＋sin2 θ))
【答案】 BC
【解析】 刚开始下落时，轻绳的拉力方向沿水平方向，物块B竖直方向上只受重力，所以加速度为g，故A错误；物块B下降的高度为h＝Ltan θ，故物块B减小的重力势能为ΔEp＝
mgLtan θ，故B正确；设物块B下落过程中轻绳与水平方向夹角为α，将物块B的速度分解为沿轻绳方向的速度和垂直轻绳方向的速度，则vA＝v绳＝vBsin α，则物块A的速度小于物块B的速度，故C正确；系统机械能守恒，故mgLtan θ－mgxsin θ＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2，其中x＝eq \f(L,cs θ)－L＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－cs θ,cs θ)))L，根据运动的合成与分解可得vA＝vBsin θ，联立解得vB＝eq \r(\f(2gLsin θ,1＋sin2 θ))，故D错误．
类型2 轻杆连接的物体系统
【例1】如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点)，小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连。已知重力加速度为g，小球B受微小扰动从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．A球增加的机械能大于B球减少的机械能
B．A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能
C．A球的最大速度为eq \r(\f(2gR,3))
D．细杆对A球做的功为eq \f(8,3)mgR
【答案】 D
【解析】 球B运动到最低点，A球运动到最高点，两个球组成的系统机械能守恒，故A球增加的机械能等于B球减少的机械能，故A错误；A球重力势能增加mg·2R，B球重力势能减小2mg·2R，故B错误；两个球组成的系统机械能守恒，当B球运动到最低点时，速度最大，有2mg·2R－mg·2R＝eq \f(1,2)(m＋2m)v2，解得v＝eq \r(\f(4,3)gR)，故C错误；除重力外其余力做的功等于物体机械能的增加量，故细杆对A球做的功等于A球机械能的增加量，有W＝eq \f(1,2)mv2＋mg·2R＝eq \f(2,3)mgR＋2mgR＝eq \f(8,3)mgR，故D正确。
【例2】(多选)如图所示，用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为m，两段轻杆等长．现将C球置于距地面高h处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在小球C下落过程中( )
A．小球A、B、C组成的系统机械能守恒
B．小球C的机械能一直减小
C．小球C落地前瞬间的速度大小为eq \r(2gh)
D．当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg
【答案】 AC
【解析】 由于小球A、B、C组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，故A正确；小球B的初速度为零，C落地瞬间，B的速度为零，故B的动能先增大后减小，而B的重力势能不变，则B的机械能先增大后减小，同理可得A的机械能先增大后减小，而系统机械能守恒，故C的机械能先减小后增大，故B错误；根据以上分析，设小球C落地前瞬间的速度大小为v，根据动能定理可知eq \f(1,2)mv2＝mgh，解得v＝eq \r(2gh)，故C正确；当小球C的机械能最小时，小球B速度最大，此时小球B的加速度为零，水平方向所受的合力为零，杆CB对小球B恰好没有力的作用，所以地面对小球B的支持力大小为mg，故D错误．
【例3】(2022·福建南平市质检)质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq \f(1,3)处有一个光滑固定转轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置，则(重力加速度为g)( )
A．小球P在最高位置的速度大小为eq \f(\r(gl),3)
B．小球Q在最低位置的速度大小为eq \r(\f(2gl,3))
C．小球P在此过程中机械能增加量为eq \f(4,9)mgL
D．小球Q在此过程中机械能减少eq \f(2,3)mgl
【答案】 C
【解析】 Q球顺时针摆动到最低位置时的速度为v1，此时P运动到最高点的速度为v2，整个系统机械能守恒，有2mg×eq \f(2,3)L－mg×eq \f(L,3)＝eq \f(1,2)×2mv12＋eq \f(1,2)mv22，又由于两球都绕O点转动，角速度相同，因此v1＝2v2，解得v1＝eq \f(2\r(2gL),3)，v2＝eq \f(\r(2gL),3)，A、B错误；在此过程中，小球P机械能增加量ΔE＝mg×eq \f(L,3)＋eq \f(1,2)mv22＝eq \f(4,9)mgL，由于整个系统机械能守恒，因此小球Q机械能减少量也为eq \f(4,9)mgL，C正确，D错误．
类型3 含“弹簧类”系统的机械能守恒
1．通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
【例1】(2022·重庆市高考模拟)如图所示，小滑块P、Q的质量分别为3m、m，P、Q间通过轻质铰链用长为L的刚性轻杆连接，Q套在固定的水平横杆上，P和竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上。当杆与竖直方向的夹角α＝30°时，弹簧处于原长，此时，将P由静止释放，下降到最低点时α＝60°。整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，滑块P始终没有离开竖直墙壁，弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则在P下降过程中( )
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．轻杆始终对Q做正功
C．弹簧弹性势能最大值为2(eq \r(3)－1)mgL
D．P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q受到水平横杆的支持力大小等于mg
【答案】 D
【解析】 由于不计一切摩擦，P、Q和弹簧三者组成的系统机械能守恒，而P、Q组成的系统机械能不守恒，故选项A错误；在P下降过程中，Q一直沿着杆向左运动，P下降至最低点时，P的速度为零，Q速度也为零，在P下降过程中，Q一定经历先加速后减速的过程，由受力分析知，Q加速过程，轻杆对其做正功，Q减速过程，轻杆对其做负功，故选项B错误；P下降至最低点时，弹簧弹性势能最大，此时P、Q的速度都为零，由于P、Q和弹簧三者组成的系统机械能守恒，故此时弹簧弹性势能即为系统减少的重力势能，有Ep＝3mgL(cs 30°－cs 60°)＝eq \f(3,2)(eq \r(3)－1)mgL，故选项C错误；经分析可知，P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q的动能最大，速度最大，加速度为零，轻杆对Q的作用力为零，水平横杆对Q的支持力大小等于Q的重力mg，故选项D正确。
【例2】(多选)如图所示，A、B两物块由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B和物块C在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为5m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是( )
A．C刚离开地面时，B的加速度为零
B．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B组成的系统机械能先增加后减小
C．弹簧恢复原长瞬间，细线中的拉力大小为eq \f(4mg,3)
D．A的最大速度为geq \r(\f(2m,3k))
【答案】 ABD
【解析】 当C刚离开地面时，A的速度最大，B的速度也最大，此时B的加速度为零，故A正确；从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B、C以及弹簧组成的系统只有重力和弹力做功，故A、B、C及弹簧组成的系统机械能守恒，因弹簧的弹性势能先减小后增加，C的机械能不变，可知A、B组成的系统机械能先增加后减小，故B正确；当A、B的速度最大时，C恰好离开地面，弹簧的弹力F弹恰好等于C的重力mg，即F弹＝mg，设斜面倾角为α，对A、B整体，沿细线方向进行受力分析可知F弹＋mg＝5mgsin α，当弹簧恢复原长时，弹簧的弹力为零，对A、B整体，根据牛顿第二定律有5mgsin α－mg＝6ma，隔离A，根据牛顿第二定律有5mgsin α－FT＝5ma，联立解得FT＝eq \f(7,6)mg，故C错误；根据F弹＋mg＝5mgsin α，得sin α＝eq \f(2,5)，释放A之前，弹簧处于压缩状态，对B进行受力分析，可得弹簧压缩量为x1＝eq \f(mg,k)，释放A后速度最大瞬间，对C进行受力分析可得弹簧的伸长量为x2＝eq \f(mg,k)，从释放A到AB整体的速度最大，对AB整体，由于弹簧的形变量相等，弹力做功为零，根据机械能守恒有5mg(x1＋x2)sin α－mg(x1＋x2)＝eq \f(1,2)(m＋5m)vm2，联立解得vm＝geq \r(\f(2m,3k))，故D正确．
【例3】如图所示，轻质弹簧一端固定在O处，另一端与质量为m的物块相连，物块套在光滑竖直固定杆上．开始时物块处于A处且弹簧处于原长．现将物块从A处由静止释放，物块经过B处时弹簧与杆垂直，经过C处时弹簧再次处于原长，到达D处时速度为零．已知OB之间的距离为L，∠AOB＝30°，∠BOD＝60°.弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g.在物块下滑的整个过程中，下列说法正确的是( )
A．物块在由A处下滑至C处的过程中机械能守恒
B．物块在B处的速度为eq \r(\f(2\r(3),3)gL)
C．物块在B处时弹簧的弹性势能最大
D．物块在D处时弹簧的弹性势能为eq \f(4\r(3),3)mgL
【答案】 D
【解析】 物块在由A处下滑至C处的过程中，物块受到弹簧的弹力做功，物块的机械能不守恒，但是物块和弹簧组成的系统机械能守恒，A错误；物块由A处下滑至C处的过程中，若只是重力势能转化为动能，则mgLtan 30°＝eq \f(1,2)mv2，可知物块在B处的速度为eq \r(\f(2\r(3),3)gL)，但还有一部分重力势能转化为弹性势能，所以物块在B处的速度小于eq \r(\f(2\r(3),3)gL)，B错误；物块由B处下滑至D处的过程中，物块和弹簧组成的系统机械能守恒，动能减小，重力势能减小，所以弹性势能增加，故D处弹簧的弹性势能大于B处弹簧的弹性势能，C错误；物块由A处下滑至D处的过程中，物块的重力势能转化为弹簧的弹性势能，则mg(Ltan 30°＋Ltan 60°)＝EpD，可得EpD＝eq \f(4\r(3),3)mgL，D正确．
题型四 功能关系的理解和应用
做功的过程就是能量转化的过程．功是能量转化的量度.
功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应动能的变化等.
分析机械能的变化，既可以用定义法也可以根据除重力(弹簧弹力)以外的其他力做功来分析．
类型1 功能关系的理解
常见的功能关系
【例1】(多选) (2022·广东省选择考模拟)蹦床是少年儿童喜欢的一种体育运动，如图所示，蹦床的中心由弹性网组成，若少年儿童从最高点落下至最低点的过程中，空气阻力大小恒定，则少年儿童( )
A．机械能一直减小
B．刚接触网面时，动能最大
C．重力势能的减少量大于克服空气阻力做的功
D．重力势能的减少量等于弹性势能的增加量
【答案】 AC
【解析】 儿童从最高点落下直至最低点的过程中，弹簧弹力以及空气阻力一直做负功，因此其机械能一直减小，故A正确；儿童和弹性网接触的过程中先加速然后减速，故刚接触网面时，动能并非最大，故B错误；根据功能关系可知，重力做功等于克服空气阻力和克服弹簧弹力做功的和，则重力势能的减少量大于弹性势能的增加量，重力的减少量大于克服空气阻力做功，故C正确，故D错误。
【例2】 (多选)(2022·东北三省四市教研联合体模拟)第22届哈尔滨冰雪大世界开门迎客了，近400 m长的极速大滑梯是大人、孩子最喜欢的王牌娱乐项目。一名游客坐在雪橇上下滑了一段路程，重力对他做功3 000 J，他克服阻力做功500 J，则在此过程中这名游客( )
A．重力势能增加了3 000 J
B．动能增加了3 000 J
C．动能增加了2 500 J
D．机械能减少了500 J
【答案】 CD
【解析】 重力做正功，所以游客的重力势能减少了3 000 J，A错误；合力做的功等于动能的增加量，所以动能增加了3 000 J－500 J＝2 500 J，B错误，C正确；重力外的其他力做的功等于机械能的变化，阻力做负功500 J，所以机械能减少了500 J，D正确。
【例3】自动扶梯是商场里的高耗能设备之一，为了节约用电、减少机械磨损、延长使用寿命，某商场的自动扶梯设有“无人停梯”模式，即没有乘客时扶梯停止运行，进入待机状态．当有乘客登上扶梯时，扶梯由静止开始加速启动，达到设定速度后匀速运行．如图所示，一位顾客在一楼登上处于“无人停梯”模式的扶梯后就在扶梯上站立不动，随着扶梯到达二楼．关于此运动过程，下列说法正确的是( )
A．顾客始终受到重力、支持力和摩擦力
B．扶梯只在加速启动过程中对顾客做功
C．扶梯对顾客做的功等于顾客动能的增加量
D．扶梯对顾客做的功等于顾客机械能的增加量
【答案】 D
【解析】 在扶梯加速运行过程中，顾客受到重力、竖直向上的支持力和水平向前的摩擦力，在扶梯匀速运行的过程中，顾客受力平衡，受到重力和竖直向上的支持力，选项A错误；在扶梯加速运行的过程中，扶梯对顾客的支持力和摩擦力与扶梯速度方向的夹角均为锐角，因此它们都做正功．在扶梯匀速运行的过程中，扶梯对顾客的支持力也做正功，选项B错误；由功能关系可知，扶梯对顾客做的功等于顾客机械能的增加量，即动能增加量和重力势能增加量之和，选项C错误，选项D正确．
类型2 功能关系与图像的结合
【例1】(多选)(2020·全国卷Ⅰ·20)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【答案】 AB
【解析】 由E－s图像知，物块动能与重力势能的和减小，则物块下滑过程中机械能不守恒，故A正确；由E－s图像知，整个下滑过程中，物块机械能的减少量为ΔE＝30 J－10 J＝20 J，重力势能的减少量ΔEp＝mgh＝30 J，又ΔE＝μmgcs α·s，其中cs α＝eq \f(\r(s2－h2),s)＝0.8，h＝3.0 m，g＝10 m/s2，则可得m＝1 kg，μ＝0.5，故B正确；物块下滑时的加速度大小a＝gsin α－μgcs α＝2 m/s2，故C错误；物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE′＝μmgcs α·s′＝8 J，故D错误．
【例2】(多选)(2019·全国卷Ⅱ·18)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和．取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示．重力加速度取10 m/s2.由图中数据可得( )
A．物体的质量为2 kg
B．h＝0时，物体的速率为20 m/s
C．h＝2 m时，物体的动能Ek＝40 J
D．从地面至h＝4 m，物体的动能减少100 J
【答案】 AD
【解析】 根据题图可知，h＝4 m时物体的重力势能Ep＝mgh＝80 J，解得物体质量m＝2 kg，抛出时物体的动能为Ek0＝100 J，由公式Ek0＝eq \f(1,2)mv2可知，h＝0时物体的速率为v＝10 m/s，选项A正确，B错误；由功能关系可知Ffh4＝|ΔE总|＝20 J，解得物体上升过程中所受空气阻力Ff＝5 N，从物体开始抛出至上升到h＝2 m的过程中，由动能定理有－mgh－Ffh＝Ek－Ek0，解得Ek＝50 J，选项C错误；由题图可知，物体上升到h＝4 m时，机械能为80 J，重力势能为80 J，动能为零，即从地面上升到h＝4 m，物体动能减少100 J，选项D正确．
【例1】一质量为m＝2 kg的物块在长l＝9 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，经过t＝3 s到达斜面底端，以水平地面为零势能面，其重力势能随下滑距离s的变化如图5所示，斜面始终静止在水平地面上，重力加速度g取10 m/s2。则( )
A．物块下滑过程中机械能守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.3
C．物块下滑时加速度的大小为4 m/s2
D．物块下滑过程中机械能一共损失了72 J
【答案】 D
【解析】 由运动学公式有l＝eq \f(1,2)at2，解得物块下滑时的加速度大小为a＝2 m/s2，选项C错误；因物块下滑过程中的重力势能为Ep＝mg(h－ssin θ)＝－mgssin θ＋mgh(式中h为斜面顶端到地面的距离，θ为斜面的倾角)，再结合题意可知Ep－s图像的斜率的绝对值为k＝mgsin θ＝12 N，解得sin θ＝0.6，根据牛顿第二定律有mgsin θ－μmgcs θ＝ma，又sin2θ＋cs2θ＝1，解得物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，选项B错误；物块下滑过程中机械能损失了ΔE＝μmglcs θ＝72 J，选项A错误，D正确。
类型3 功能关系的综合应用
【例1】(多选)(2020·山东卷)如图所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是( )
A．M<2m
B．2mC．在B从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对B先做正功后做负功
D．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知钩码B可以在开始位置到最低点之间做简谐振动，故在最低点时弹簧弹力T＝2mg；对A分析，设绳子与桌面间夹角为θ，则依题意有2mgsin θ＝Mg，故有M<2m，故A正确，B错误；由题意可知B从释放位置到最低点的过程中，开始弹簧弹力小于重力，钩码加速，合力做正功；后来弹簧弹力大于重力，钩码减速，合力做负功，故C正确；对于B，在从释放到速度最大的过程中，B机械能的减少量等于弹簧弹力所做的负功，即等于B克服弹簧弹力所做的功，故D正确。
【例2】(多选)(2022·福建省名校联考)如图所示，一个质量为M、长为L的木板B静止在光滑水平面上，其右端放有可视为质点的质量为m的滑块A，现用一水平恒力F作用在滑块上，使滑块从静止开始做匀加速直线运动。滑块和木板之间的摩擦力为Ff，滑块滑到木板的最左端时，木板运动的距离为x，此过程中下列说法正确的是( )
A．滑块A到达木板B最左端时，具有的动能为(F－Ff)(L＋x)
B．滑块A到达木板B最左端时，木板B具有的动能为Ffx
C．滑块A克服摩擦力所做的功为FfL
D．滑块A和木板B增加的机械能为F(L＋x)－FfL
【答案】 ABD
【解析】 对滑块A分析，滑块A相对于地面的位移为(L＋x)，根据动能定理得(F－Ff)(L＋x)＝eq \f(1,2)mv2－0，则知滑块A到达木板B最左端时具有的动能为(F－Ff)(L＋x)，选项A正确；对木板B分析，根据动能定理得Ffx＝eq \f(1,2)Mv′2－0，则知滑块A到达木板B最左端时，木板B具有的动能为Ffx，选项B正确；滑块A克服摩擦力所做的功为Ff(L＋x)，故选项C错误；根据能量守恒定律得，外力F做的功等于木板B和滑块A的机械能和摩擦产生的内能，则有F(L＋x)＝ΔE＋Q，其中Q＝FfL，则滑块A和木板B增加的机械能为ΔE＝F(L＋x)－FfL，选项D正确。
【例3】(2022·河北廊坊市摸底)一质量为m的小球，从地面附近的某高度处以初速度v水平抛出，除重力外小球还受一水平恒力作用，经过一段时间，小球的速度大小变为2v，方向竖直向下，小球还未到达地面。在此过程中( )
A．小球的动能增加了eq \f(1,2)mv2
B．小球的重力势能减少了2mv2
C．小球的机械能增加了2mv2
D．水平恒力做功的大小大于重力做功的大小
【答案】 B
【解析】 小球的动能增加了ΔEk增＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,2)mv2，故A错误；小球在竖直方向做自由落体运动，且水平恒力作用一段时间后，小球运动速度方向竖直向下，说明水平方向的速度恰好减为零，小球的重力势能减少了ΔEp减＝mgh，又(2v)2＝2gh，联立得ΔEp减＝2mv2，故B正确；下落过程根据动能定理得WF＋mgh＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2，即WF＋2mv2＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2，解得WF＝－eq \f(1,2)mv2，水平恒力做功为－eq \f(1,2)mv2，小球的机械能减少eq \f(1,2)mv2，重力做功等于重力势能的减少量即为2mv2，故C、D错误。
题型五 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE减＝ΔE增．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等．
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．
【例1】(2022·湘豫名校4月联考)如图甲所示，在水平面上固定倾角为θ＝37°底端带有挡板足够长的斜面，斜面体底端静止一质量为m＝1 kg的物块(可视为质点)，从某时刻起，物块受到一个沿斜面向上的拉力F作用，拉力F随物块从初始位置第一次沿斜面向上的位移x变化的关系如图乙所示，随后不再施加外力作用，假设物块与固定挡板碰撞前后速率不变，不计空气阻力和碰撞时间，已知物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2。求：
(1)物块在上滑过程中达到最大动能时拉力F的大小；
(2)物块沿斜面上滑的最大位移的大小。
【答案】 (1)10 N (2)2 m
【解析】 (1)上滑过程中对物块进行受力分析，当F＝mgsin 37°＋μmgcs 37°＝10 N时，物块沿斜面上滑过程中达到的动能最大。
(2)设物块沿斜面上滑的最大位移为xm，根据能量守恒定律得
WF′＝mgxmsin 37°＋μmgxmcs 37°
其中WF′＝eq \f(20×2,2) J＝20 J
解得物块沿斜面上滑的最大位移的大小
xm＝2 m。
【例2】(多选)如图所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点。轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上。不计滑块在B点的机械能损失；换用相同材料质量为m2的滑块(m2＞m1)压缩弹簧至同一点D后，重复上述过程，下列说法正确的是( )
A．两滑块到达B点的速度相同
B．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同
D．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同
【答案】 CD
【解析】 两滑块到达B点的动能相同，由于m2＞m1，所以速度不同，故A错误；两滑块在斜面上运动时加速度相同，由于在B点时的速度不同，故上升的最大高度不同，故B错误；两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功为mgh，由能量守恒定律得Ep＝mgh＋μmgcs θ·eq \f(h,sin θ)，则mgh＝eq \f(Ep,1＋\f(μ,tan θ))，故两滑块上升到斜面最高点过程克服重力做的功相同，故C正确；由能量守恒定律得E损＝μmgcs θ·eq \f(h,sin θ)＝eq \f(μmgh,tan θ)，结合C可知D正确。
【例4】(2022·北京东城区期末)如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数μ＝eq \f(\r(3),4)，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离L＝1 m，现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹回到C点．已知重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态．求在此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧的最大弹性势能．
【答案】 (1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
【解析】 (1)在物体A向下运动刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律可得
μ·2mgcs θ·L＝eq \f(1,2)×3mv02－eq \f(1,2)×3mv2＋2mgLsin θ－mgL
解得v＝2 m/s.
(2)对A、B组成的系统分析，在物体A从C点压缩弹簧至将弹簧压缩到最大压缩量，又恰好返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量，即
eq \f(1,2)×3mv2－0＝μ·2mgcs θ·2x
其中x为弹簧的最大压缩量
解得x＝0.4 m.
(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm，从C点到弹簧最大压缩量过程中由能量守恒定律可得
eq \f(1,2)×3mv2＋2mgxsin θ－mgx＝μ·2mgcs θ·x＋Epm
解得Epm＝6 J.
【例4】如图所示，在倾角为37°的斜面底端固定一挡板，轻弹簧下端连在挡板上，上端与物块A相连，用不可伸长的细线跨过斜面顶端的定滑轮把A与另一物体B连接起来，A与滑轮间的细线与斜面平行．已知弹簧劲度系数k＝40 N/m，A的质量m1＝1 kg，与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，B的质量m2＝ 2 kg.初始时用手托住B，使细线刚好处于伸直状态，此时物体A与斜面间没有相对运动趋势，物体B的下表面离地面的高度h＝0.3 m，整个系统处于静止状态，弹簧始终处于弹性限度内．重力加速度g＝ 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.
(1)由静止释放物体B，求B刚落地时的速度大小；
(2)把斜面处理成光滑斜面，再将B换成一个形状完全相同的物体C并由静止释放，发现C恰好到达地面，求C的质量m3.
【答案】 (1)eq \r(2) m/s (2)0.6 kg
【解析】 (1)因为初始时刻A与斜面间没有相对运动趋势，即A不受摩擦力，此时有：m1gsin θ＝F弹
此时弹簧的压缩量为：x1＝eq \f(F弹,k)＝eq \f(m1gsin θ,k)＝0.15 m
当B落地时，A沿斜面上滑h，此时弹簧的伸长量为：x2＝h－x1＝0.15 m
所以从手放开B到B落地过程中以A、B和弹簧为系统，弹簧伸长量和压缩量相同，弹性势能不变，弹簧弹力不做功，根据能量守恒定律可得：
m2gh＝m1ghsin θ＋μm1gcs θ·h＋eq \f(1,2)(m1＋m2)v2
代入数据解得：v＝eq \r(2) m/s
(2)由(1)分析同理可知换成光滑斜面，没有摩擦力，则从手放开C到C落地过程中以A、C和弹簧为系统，根据机械能守恒可得：m3gh＝m1ghsin θ
代入数据解得m3＝0.6 kg.=常见
情景
模型
提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
常见
情景
模型
特点
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
模型
特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
两点
提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
能量
功能关系
表达式
势能
重力做功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能
合外力做功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02
机械能
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量
W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦
产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能
Q＝Ff·x相对
电能
克服安培力做功等于电能增加量
W电能＝E2－E1＝ΔE