2023-2024学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（﹣1，0）
2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
3．（2分）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（0，2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＝0时，y有最大值为0
4．（2分）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC，若AB＝8，AD＝4，DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2+3
6．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上，则下列结论正确的是（ ）
A．3＜y1＜y2B．3＜y2＜y1C．y2＜y1＜3D．y1＜y2＜3
7．（2分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（ ）
A．△ADE∽△AEFB．△ECF∽△AEFC．△ADE∽△ECFD．△ADE∽△ABF
8．（2分）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（ ）
A．2.25sB．1.25sC．0.75sD．0.25s
二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）函数是二次函数，则m＝ ．
10．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，DE＝3，则BC＝ ．
11．（2分）将二次函数y＝x2﹣4x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式为 ．
12．（2分）若二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴无交点，则c的取值范围是 ．
13．（2分）如图，在▱ABCD中，E为DC的中点，△DEF的面积为3，则△ABF的面积为 ．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝3，BC＝5，则BD＝ ．
15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 ．
16．（2分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的完美分割线，AD＝CD，则∠ACB＝ ；
（2）如图2，△ABC中，AC＝2，，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则完美分割线CD＝ ．
三、解答题（共12小题，满分68分，17-19题每小题4分，20-26每小题4分，27、28题每小题4分.）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，点E在BD上，且．
求证：∠ABC＝∠AED．
18．（4分）已知二次函数的图象经过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8），求该函数的表达式．
19．（4分）已知函数y＝x2﹣5x﹣6的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F．
（1）求证：；
（2）当AB＝2，AD＝3，BE＝1时，求CF的长．
21．（6分）已知抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有交点；
（2）若此抛物线与x轴的交点的横坐标都为整数，求整数m的值．
22．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象；
（3）若点A（﹣2，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，过D作射线DE交AC于点E，且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，CE＝y，写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？
24．（6分）已知抛物线C1：y＝x2﹣2x的图象如图所示，把C1的图象沿y轴翻折，得到抛物线C2的图象．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）若直线y＝kx+b与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切．若直线y＝x+b与抛物线C2相切，求b的值．
25．（6分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）若所围成花圃的面积不小于20平方米，直接写出x的取值范围．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．
（1）求点B和点C坐标；
（2）已知某抛物线的表达式为y＝x2﹣2mx+m2﹣m．
①如果该抛物线顶点在直线y＝x+4上，求m的值；
②如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
27．（7分）如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AE＝2BE
（1）求证：AD＝AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF．求证：DF﹣EF＝AF；
（3）请你在备用图中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），点M为线段AB上一点．
（1）在点C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以与点M关于直线y＝x对称的点是 ；
（2）若x轴上存在点N，使得点N与点M关于直线y＝x+b对称，求b的取值范围．
（3）过点O作直线l，若直线y＝x上存在点N，使得点N与点M关于直线l对称（点M可以与点N重合），请你直接写出点N横坐标n的取值范围．
2023-2024学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（﹣1，0）
【分析】直接利用x＝0时，求出y的值进而得出答案．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣5x+1的图象与y轴相交，则x＝0，
故y＝1，则图象与y轴的交点坐标是：（0，1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特点，正确得出x＝0是解题关键．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
【分析】由抛物线解析式可求得其标点坐标．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴x＝h．
3．（2分）下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（0，2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＝0时，y有最大值为0
【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：二次函数y＝2x2，当x＝0时，y＝0，故它的图象不经过点（0，2），故选项A错误；
它的图象的对称轴是直线 y轴，故选项B错误；
当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C正确；
当x＝0时，y有最小值为0，故选项D错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键．
4．（2分）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC，若AB＝8，AD＝4，DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由DE∥BC，可证△EAD∽△CAB，可得，再代入求解即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△EAD∽△CAB，
∴，
∵AB＝8，AD＝4，DE＝3，
∴，
∴BC＝6，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2分）将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2+3
【分析】根据右减上加的规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位得y＝（x﹣1）2，再向上平移3个单位得到的解析式得y＝（x﹣1）2+3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
6．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3上，则下列结论正确的是（ ）
A．3＜y1＜y2B．3＜y2＜y1C．y2＜y1＜3D．y1＜y2＜3
【分析】分别计算自变量为﹣3、2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝﹣2（﹣3﹣1）2+3＝﹣29，
当x＝2时，y2＝﹣2（2﹣1）2+3＝1，
所以y1＜y2＜3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
7．（2分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（ ）
A．△ADE∽△AEFB．△ECF∽△AEFC．△ADE∽△ECFD．△ADE∽△ABF
【分析】先根据矩形的性质可得∠D＝∠C＝90°，再根据直角三角形的性质可得∠DAE＝∠CEF，然后根据相似三角形的判定即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
在△ADE和△ECF中，
，
∴△ADE∽△ECF，选项C正确；
△ADE与△AEF、△ECF与△AEF、△ADE与△ABF都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
8．（2分）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（ ）
A．2.25sB．1.25sC．0.75sD．0.25s
【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．
【解答】解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，
当t＝﹣＝﹣＝＝1.25（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下，
则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）函数是二次函数，则m＝ 1 ．
【分析】根据二次函数的定义，即可解答．
【解答】解：∵函数是二次函数，
∴，解得：m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的是二次函数．
10．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别AB、AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，DE＝3，则BC＝ ．
【分析】首先由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得BC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD＝2，DB＝3，
∴AB＝AD+BD＝5，
∴，
∴BC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
11．（2分）将二次函数y＝x2﹣4x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2+1 ．
【分析】将5裂项为4+1，再根据完全平方公式进行配方，即可解答．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
【点评】本题主要考查了将二次函数表达式化为顶点式，解题的关键是掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2．
12．（2分）若二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴无交点，则c的取值范围是 c＞1 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求得．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴无交点，
∴x2+2x+c＝0无实数根，
∴Δ＝22﹣4c＜0，
解得c＞1，
故答案为：c＞1．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
13．（2分）如图，在▱ABCD中，E为DC的中点，△DEF的面积为3，则△ABF的面积为 12 ．
【分析】由平行四边形ABCD中，E为DC的中点，可得△DEF∽△BAF，相似比为1：2，又由相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2，
∵E为DC的中点，
∴DE＝CD，
∴DE：AB＝1：2，
∴＝，
∵△DEF的面积为3，
∴△ABF的面积为12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握相似三角形的面积比等于其相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝3，BC＝5，则BD＝ 1.8 ．
【分析】证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠BAC，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴，即，
解得BD＝1.8．
故答案为：1.8．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（3，0），对称轴是：x＝1，
∴（3，0）关于x＝1的对称点是：（1，0），
则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．
16．（2分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的完美分割线，AD＝CD，则∠ACB＝ 100° ；
（2）如图2，△ABC中，AC＝2，，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则完美分割线CD＝ ．
【分析】（1）根据完美分割线的定义可知，△BCD∽△BAC，则∠BCD＝∠A，进而求出∠ACB即可；
（2）根据完美分割线的定义可知，△BCD∽△BAC，则即可求出CD．
【解答】解：（1）根据完美分割线的定义可知，△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠A＝50°，AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠BCD＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．
故答案为：100°；
（2）根据完美分割线的定义可知，△BCD∽△BAC，
∴，
∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，
∴AC＝AD＝2，
∴，
解得x＝1（负值舍去），
即BD＝1，
∴，
解得CD＝．
故答案为：．
【点评】本题是相似形综合题，考查了新定义、相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质解决问题是解本题的关键．
三、解答题（共12小题，满分68分，17-19题每小题4分，20-26每小题4分，27、28题每小题4分.）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，点E在BD上，且．
求证：∠ABC＝∠AED．
【分析】根据相似三角形的判定可得△ABC∽△AED，即可得出结论．
【解答】证明：∵，
∴△ABC∽△AED，
∴∠ABC＝∠AED．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．（4分）已知二次函数的图象经过点（6，0），顶点坐标为（4，﹣8），求该函数的表达式．
【分析】根据二次函数的顶点坐标设二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）2﹣8，再把点（6，0）代入求解即可．
【解答】解：∵二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣8），
∴设该函数的表达式为y＝a（x﹣4）2﹣8，
∵二次函数的图象经过点（6，0），
把点（6，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣8得，a（6﹣4）2﹣8＝0，
解得a＝2，
∴该函数的表达式为y＝2（x﹣4）2﹣8．
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，根据题目的条件，选择恰当的方法设出关系式是解题的关键．
19．（4分）已知函数y＝x2﹣5x﹣6的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．
【分析】根据函数y＝x2﹣5x﹣6的图象与x轴、y轴相交，即可求出交点坐标，进而求出AB、OC的长度，从而求出△ABC的面积．
【解答】解：∵y＝x2﹣5x﹣6的图象与x轴交于A、B两点，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x+1）（x﹣6）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（6，0），
∴AB＝7，
令x＝0，则y＝﹣6，
∴与y轴交点坐标为C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∴．
【点评】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点坐标的求法是解题的关键．
20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F．
（1）求证：；
（2）当AB＝2，AD＝3，BE＝1时，求CF的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出∠B＝∠D，BC＝AD，再根据垂直的定义得出∠AEB＝∠AFD＝90°，即可得出△AEB∽△AFD，则，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质出，即可求出，根据平行四边形的性质得出AB＝CD＝2，最后根据CF＝CD﹣DF即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，BC＝AD，
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△AEB∽△AFD，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：△AEB∽△AFD，
∴，则，
解得：，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝2，
∴．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等，对角相等；相似三角形对应边相等．
21．（6分）已知抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有交点；
（2）若此抛物线与x轴的交点的横坐标都为整数，求整数m的值．
【分析】（1）当y＝0时，mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，求出一元二次方程根的判别式，得出判别式的值大于0，即可求证抛物线与x轴总有交点；
（2）用因式分解法求出mx2+（m﹣3）x﹣3＝0的两个根，结合m＞0，即可得出m的值．
【解答】解：（1）当y＝0时，mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，
∴a＝m，b＝m﹣3，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4m×（﹣3）＝m2+6m+9＝（m+3）2，
∵m＞0，
∴（m+3）2＞0，
∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0有实数根，
∴抛物线与x轴总有交点；
（2）当y＝0时，mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，
（x+1）（mx﹣3）＝0，
x+1＝0，mx﹣3＝0，
解得：，
∵抛物线与x轴的交点的横坐标都为整数，
∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0的两个根为整数，
∵m＞0，为整数，
∴m＝1或3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数和一元二次方程的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根，以及二次函数和一元二次方程的关系．
22．（6分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出此函数的图象；
（3）若点A（﹣2，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把二次函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）利用五点法画图即可；
（3）根据二次函数图象与性质进行求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）函数图象如图所示，
（3）由图可得，抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线上离对称轴x＝﹣1越远的点，函数值越大，
∵y1＜y2，
∴B（m，y2）离对称轴x＝﹣1较远，
∴m＜﹣2或m＞0．
【点评】本题考查画二次函数图象，二次函数的顶点式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，过D作射线DE交AC于点E，且满足∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，CE＝y，写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再根据三角形内角和定理得出∠ADB＝∠DEC，即可得出结论；
（2）由（1）△ABD∽△DCE可得，即，从而可得，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE，∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠CDE，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵BD＝x，CE＝y，
∴CD＝6﹣x，
由（1）可得，△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴，
∵，
∴当x＝3时，y值最大，最大值是．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（6分）已知抛物线C1：y＝x2﹣2x的图象如图所示，把C1的图象沿y轴翻折，得到抛物线C2的图象．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）若直线y＝kx+b与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切．若直线y＝x+b与抛物线C2相切，求b的值．
【分析】（1）对于抛物线C1：y＝x2﹣2x，当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝0，则抛物线C1经过（0，0），（1，﹣1），（2，0），而点（0，0），（1，﹣1），（2，0）关于y轴对称的点分别为（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0），依题意得抛物线C2经过（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0），然后利用待定系数法即可求出抛物线C2的解析式；
（2）将抛物线C2的解析式与直线y＝x+b联立成方程组，整理得x2+x﹣b＝0，再根据直线y＝x+b与抛物线C2相切得方程x2+x﹣b＝0有两个相等的实数根，进而根据判别式Δ＝0即可求出b的值．
【解答】解：（1）对于抛物线C1：y＝x2﹣2x，当x＝0时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝0，
∴抛物线C1经过（0，0），（1，﹣1），（2，0），
∴点（0，0），（1，﹣1），（2，0）关于y轴对称的点分别为（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0），
∵把抛物线C1的图象沿y轴翻折，得到抛物线C2的图象，
∴抛物线C1与抛物线C2关于y轴对称，
∴点（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0）在抛物线C2上，
设抛物线C2的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
将点（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0）代入得：，
解得：，
∴抛物线C2的解析式为：y＝x2+2x；
（2）将抛物线C2的解析式与直线y＝x+b联立成方程组，
整理得：x2+x﹣b＝0，
∵直线y＝x+b与抛物线C2相切，
∴方程组只有一组解，
即一元二次方程x2+x﹣b＝0有两个相等的实数根，
∴判别式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣b）＝0，
解得：b＝，
即直线y＝x+b与抛物线C2相切，b的值为．
【点评】此题主要考查了二次函数图形的翻折，二次函数的图象与一次函数图象相切，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，把二次函数的图象与一次函数图象相切转化为一元二次方程有两个相等的实数根是解决问题的关键．
25．（6分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）若所围成花圃的面积不小于20平方米，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据长方形的面积公式列方程，再根据0＜4x＜24求得自变量的取值范围即可；
（2）先求出﹣4x2+24＝20方程的解，再根据二次函数的图象以及自变量的取值范围求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x，
∵0＜4x＜24，即0＜x＜6，
∴自变量的取值范围为0＜x＜6；
（2）当﹣4x2+24x＝20时，解得x1＝1，x2＝5，
由函数图象可得，1≤x≤5．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意求函数解析式是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．
（1）求点B和点C坐标；
（2）已知某抛物线的表达式为y＝x2﹣2mx+m2﹣m．
①如果该抛物线顶点在直线y＝x+4上，求m的值；
②如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）求出两条直线的交点B，根据对称求出点C
（2）将（m，﹣m）代入解析式可求m的值
（3）将点B、C分别代入即可求出m的取值范围
【解答】解：（1）∵直线y＝x+4与x轴交于点A，
∴点A坐标为（﹣4，0）．
∵直线y＝x+4与过点（0，5）且平行于x轴的直线l交于点B，
∴点B坐标为（1，5）．
∵点A关于直线l的对称点为点C，
∴点C坐标为（﹣4，10）．
（2）①∵抛物线的表达式为y＝x2﹣2mx+m2﹣m，
∴顶点坐标为（m，﹣m）．
∵抛物线顶点在直线y＝x+4上，
∴﹣m＝m+4，
∴m＝﹣2．
②将点B（1，5）代入解析式可得m1＝﹣1，m2＝4
将点C（﹣4，10）代入解析式可得m1＝﹣1，m2＝﹣6
∴抛物线与线段BC有公共点时，﹣6≤m≤4
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，探究二次函数与线段的公共点问题，是一道很好的综合问题．
27．（7分）如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AE＝2BE
（1）求证：AD＝AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF．求证：DF﹣EF＝AF；
（3）请你在备用图中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
【分析】（1）根据AE＝2BE，由题意得出BC＝2BE，得出BC＝AE，由平行四边形的性质得出即可；
（2）在DP上截取DH＝EF，连接AH，由SAS证明△ADH≌△AEF，得出∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，得出∠FAH＝90°，由等腰直角三角形的性质得出FH＝AF，即可得出结论；
（3）①当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，在PD的延长线上截取DH＝EF，连接AH，由SAS证明△ADH≌△AEF，得出∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，得出∠FAH＝90°，由等腰直角三角形的性质得出FH＝AF，即可得出结论；
②当P为EC延长线上任意一点（P不与点E重合）时，在PD的延长线上截取DH＝EF，连接AH，由SAS证明△ADH≌△AEF，得出∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，得出∠FAH＝90°，由等腰直角三角形的性质得出FH＝AF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵E为BC的中点，
∴BC＝2AE，
∵AE＝2BE，
∴AE＝BC，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴AD＝AE；
（2）在DP上截取DH＝EF，连接AH，如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴∠EAD＝90°，
∵EF⊥PD，∠AGD＝∠EGF，
∴∠ADH＝∠AEF，
在△ADH和△AEF中，，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，
∴∠FAH＝90°，
在Rt△FAH中，AH＝AF
∴，
∴，
即：；
（3）分两种情况：
①当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，；理由如下：
在PD的延长线上截取DH＝EF，连接AH，如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴∠EAD＝90°，
∵EF⊥PD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠AEF+∠ADF＝180°，
∴∠ADH＝∠AEF，
在△ADH和△AEF中，，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，
∴∠FAH＝90°，
在Rt△FAH中，AH＝AF，HF＝AF，HF＝DH+DF＝EF+DF，
即：DF+EF＝AF；
②当P为EC延长线上任意一点（P不与点E重合）时，
，理由如下：
在PD的延长线上截取DH＝EF，连接AH，如图3所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，
∴∠EAD＝90°，∠ADH＝∠P，
∵EF⊥PD，
∴∠EFP＝90°，
∴∠P+∠PEF＝∠PEF+∠AEF＝90°，
∴∠ADH＝∠AEF，
在△ADH和△AEF中，，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，
∴∠FAH＝90°，
在Rt△FAH中，AH＝AF，HF＝AF，HF＝DH﹣DF＝EF﹣DF，
即：EF﹣DF＝AF．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），点M为线段AB上一点．
（1）在点C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以与点M关于直线y＝x对称的点是 C（2，1），D（2，0） ；
（2）若x轴上存在点N，使得点N与点M关于直线y＝x+b对称，求b的取值范围．
（3）过点O作直线l，若直线y＝x上存在点N，使得点N与点M关于直线l对称（点M可以与点N重合），请你直接写出点N横坐标n的取值范围．
【分析】（1）根据点A（0，2），B（2，2）可知与点M关于直线y＝x对称的点是点C（2，1），D（2，0）；
（2）根据题意可知直线y＝x与直线y＝x+b平行，过点A作直线y＝x的垂线交x轴于点G，求出点G的坐标；过点B作直线y＝x的垂线交x轴于点H，根据等腰直角三角形的性质即可求出求b的取值范围；
（3）由（2）即可直接写出点N横坐标n的取值范围．
【解答】解：（1）在点C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以与点M关于直线y＝x对称的点是C（2，1），D（2，0）．
故答案为：C（2，1），D（2，0）；
（2）由题意可知，点B在直线y＝x上．
∵直线y＝x与直线y＝x+b平行．
过点A作直线y＝x的垂线交x轴于点G，
∴点G是点A关于直线y＝x的对称点，
∴G（2，0），
过点B作直线y＝x的垂线交x轴于点H，
∴△OBH是等腰直角三角形，
∴点G是OH的中点，
∴直线y＝x+b过点G，
∴b＝﹣2．
∴b的取值范围是﹣2≤b≤0；
（3）∵l过原点，M、N又关于l对称，
∴OM＝ON，
又∵M在AB上，
∴OA≤ON≤OB，
当l经过第一、三象限时，点N横坐标n的取值范围为：；
当l经过第二、四象限时，点N横坐标n的取值范围为：．
∴点N横坐标n的取值范围为：或．
【点评】本题考查了一次函数综合题，等腰直角三角形的性质，通过做此题培养了学生的阅读能力和计算能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．
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﹣3
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