2023-2024学年北京市首都师大附中朝阳分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市首都师大附中朝阳分校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共33页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）一元二次方程x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．1，4B．1，0C．1，﹣4D．1，﹣2
3．（2分）关于函数y＝﹣（x+3）2﹣2的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上B．图象都在x轴下方
C．与y轴交点为（0，﹣2）D．顶点（3，﹣2）
4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
5．（2分）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝4050B．4050（1+x）2＝5000
C．5000（1﹣x）2＝4050D．4050（1﹣x）2＝5000
6．（2分）A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
7．（2分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝a，x2＝b（a＜b），则二次函数y＝x2+mx+n，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜aB．x＞bC．a＜x＜bD．x＜a或x＞b
8．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，给出下列结论：①a：b：c＝﹣1：2：3；②若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；③对于任意实数m，一定有am2+bm+a≤0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为﹣1和，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③C．①③④D．②③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．（2分）将二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ ．
11．（2分）若关于x的方程x2+3x+a＝0的一个根为，则方程的另一根为 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为 ．
13．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝7有两个不相等的实数根，则符合条件的非负整数k的个数为 ．
14．（2分）如图，⊙O的半径为2，C1是函数的的图象，C2是函数的的图象，C3是函数的y＝x的图象，则阴影部分的面积是 ．
15．（2分）如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120度至OB的位置，则经过A、O、B三点的抛物线的解析式为 ．
16．（2分）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（8分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣9x＝12．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（3，4），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点O逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点B1的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，OB上一点P（2，a），旋转后的对应点P1坐标为 ，连接PP1，则线段PP1的长度为 ．
19．（5分）已知将抛物线y＝（x﹣4）2﹣1向左平移n（n＞0）个单位后得到的新抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，3）．
（1）求平移后的抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）利用以上信息图象解答问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0在0＜x＜5的范围内有两个实数解，则t的取值范围是 ．
20．（5分）关于x的方程x2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，求代数式﹣的值．
21．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，点E为ABCD内一点，将BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，连接EF、AE、CF，EF与CB交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
22．（5分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
23．（5分）学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米，在与墙平行的一面开一个2米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．
（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为 米；
（2）为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到66.5平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．
24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4．
（1）以点D为对称中心，作出△ABD的中心对称图形；
（2）求△ABC的面积的值．
25．（6分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3.2dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
26．（6分）已知A（n，0），B（2，﹣3）两点在一次函数y1＝﹣x+m与二次函数的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式；
（2）请直接写出使y1＞y2时，自变量x的取值范围为 ；
（3）直接写出所求的抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为 ．
27．（7分）问题背景：（1）如图1，△ACB和△CEF都是等腰直角三角形，点E在AB上，连BF，求证：BF⊥AB；
迁移运用：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P在△ABC外，PA＝2，PB＝6，∠BPA＝60°，求PC的长；
拓展提升：（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E、F在△ABC外，∠ECF＝135°，BE∥AF，直接写出线段BE、AF、EF之间的关系．
28．（7分）我们规定，以二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数y＝2ax+b叫做二次函数y＝ax2+bx+c的“子函数”，反过来，二次函数y＝ax2+bx+c叫做一次函数y＝2ax+b的“母函数”．
（1）若一次函数y＝2x﹣4是二次函数y＝ax2+bx+c的“子函数”，且二次函数经过点（3，0），求此二次函数的解析式及顶点坐标．
（2）若“子函数”y＝x﹣6的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式．
（3）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+8的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D两点，P点在直线l上方的抛物线上，求△PCD的面积的最大值．
2023-2024学年北京市首都师大附中朝阳分校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）一元二次方程x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．1，4B．1，0C．1，﹣4D．1，﹣2
【分析】先把方程化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数和一次项系数的概念解答．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2＝4x变形为x2﹣4x﹣2＝0，
则二次项系数和一次项系数分别是1、﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，正确认识一元二次方程的各项系数是解题的关键．
3．（2分）关于函数y＝﹣（x+3）2﹣2的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上B．图象都在x轴下方
C．与y轴交点为（0，﹣2）D．顶点（3，﹣2）
【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、a＝﹣1＜0，抛物线的开口向下，选项错误，不符合题意；
B、∵二次函数的开口向下，最大值为：﹣2，
∴图象都在x轴下方，选项正确，符合题意．
C、当x＝0时：y＝﹣（0+3）2﹣2＝﹣11，与y轴交点为（0，﹣11），选项错误，不符合题意；
B、二次函数的顶点坐标为：（﹣3，﹣2），选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：D．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
5．（2分）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．5000（1+x）2＝4050B．4050（1+x）2＝5000
C．5000（1﹣x）2＝4050D．4050（1﹣x）2＝5000
【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：
5000（1﹣x）2＝4050，
故选：C．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6．（2分）A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【分析】先求得抛物线开口向下，对称轴是直线x＝3，从而根据抛物线上的点到对称轴的距离可以判断函数值的大小关系．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣3）2+k（a＜0），
∴图象开口向下，对称轴为直线x＝3，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，
∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝a（x﹣3）2+k（a＜0）的图象上，
∴A（﹣1，y1）到对称轴的距离最远，点C（4，y3）到对称轴的距离最近，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
7．（2分）关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝a，x2＝b（a＜b），则二次函数y＝x2+mx+n，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜aB．x＞bC．a＜x＜bD．x＜a或x＞b
【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝a，x2＝b（a＜b），
∴二次函数y＝x2+mx+n与x轴的交点坐标分别是（a，0）、（b，0）（a＜b），且抛物线的开口方向向上，
∴该二次函数的图象如图所示：
根据图示知，符合条件的x的取值范围是：x＜a或x＞b；
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．
8．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，给出下列结论：①a：b：c＝﹣1：2：3；②若0＜x＜4，则5a＜y＜﹣3a；③对于任意实数m，一定有am2+bm+a≤0；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为﹣1和，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③C．①③④D．②③④
【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，则可对①进行判断；配成顶点式得y＝a（x﹣1）2﹣4a，计算x＝4时，y＝a•5•1＝5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；根据顶点式，抛物线向下平移﹣4a个单位，解析式为：y′＝ax2+bx+c+4a＝ax2+bx﹣3a+4a＝ax2+bx+a≤0，可对③进行判断；由于b＝﹣2a，c＝﹣3a，则方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可对④进行判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴a：b：c＝﹣1：2：3，故①正确；
当x＝4时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝a•5•1＝5a，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a[（x﹣1）2﹣4]＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴当0＜x＜4时，则5a＜y≤﹣4a，所以②错误；
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a[（x﹣1）2﹣4]＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点坐标为（1，﹣4a），
∵抛物线开口向下，c＝﹣3a，
∴抛物线向下平移﹣4a个单位，则抛物线顶点为（1，0），
∴平移后的解析式为：y′＝ax2+bx+c+4a＝ax2+bx﹣3a+4a＝ax2+bx+a≤0，故③正确；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣4） ．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
故答案为：（3，﹣4）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．（2分）将二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ 2（x﹣1）2+3 ．
【分析】直接利用配方法整理即可解答．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+5
＝2（x2﹣2x）+5
＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2
＝2（x﹣1）2+3
故答案为：2（x﹣1）2+3．
【点评】本题主要考查了将二次函数的一般式转为顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
11．（2分）若关于x的方程x2+3x+a＝0的一个根为，则方程的另一根为 ﹣ ．
【分析】设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系得出﹣+x2＝﹣3，解之可得答案．
【解答】解：设方程的另一个根为x2，
根据题意，得：﹣+x2＝﹣3，
解得：x2＝﹣，
即方程的另一根为﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为 24° ．
【分析】由旋转的性质可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故答案为：24°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
13．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝7有两个不相等的实数根，则符合条件的非负整数k的个数为 16 ．
【分析】根据题意可得根的判别式Δ＞0，列出不等式，求出k的取值范围，在此取值范围内找出符合条件的k的非负整数值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝7有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（k﹣7）＞0，
∴k＜16，
∴符合条件的非负整数k的个数为16个．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根是解答此题的关键．
14．（2分）如图，⊙O的半径为2，C1是函数的的图象，C2是函数的的图象，C3是函数的y＝x的图象，则阴影部分的面积是 ．
【分析】根据抛物线和圆的性质可以知道，图中阴影部分的面积就等于圆心角为120°，半径为2的扇形的面积，然后用扇形面积公式可以求出阴影部分的面积．
【解答】解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴的夹角为45°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为135°，半径为2，所以：
S阴影＝＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于x轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为135°，半径为2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积．
15．（2分）如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120度至OB的位置，则经过A、O、B三点的抛物线的解析式为 y＝﹣x2+x ．
【分析】根据旋转的性质，可得OB＝OA＝4，∠BOC＝120°，根据直角三角形的性质，可得BC，OC的长，根据抛物线与x轴的交点坐标，可得抛物线的解析式，根据待定系数法，可得答案．
【解答】解：如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BOC＝60°，
又∵OA＝OB＝4，
∴OC＝OB＝×4＝2，BC＝OB•sin60°＝4×＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；
∵抛物线过原点O和点A、B，
∴可设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
将B（﹣2．﹣2）代入得：﹣2＝12a，
解得a＝﹣，
∴此抛物线的解析式为y＝﹣x（x﹣4）＝﹣x2+x．
故答案为：y＝﹣x2+x．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、旋转的性质，解直角三角形，利用待定系数法求函数解析式，关键是求得点B的坐标．
16．（2分）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
【解答】解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17题8分，18题4分，19-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（8分）解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣9x＝12．
【分析】（1）式子变形后，用直接开平方法解答即可；
（2）根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0，
4（x﹣1）2＝9，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝，
x＝1，
x1＝，x2＝；
（2）3x2﹣9x＝12，
3x2﹣9x﹣12＝0，
x2﹣3x﹣4＝0，
（x+1）（x﹣4）＝0，
x+1＝0或x﹣4＝0，
x1＝﹣1，x2＝4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（3，4），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点O逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点B1的坐标为 （﹣4，3） ；
（2）在（1）的条件下，OB上一点P（2，a），旋转后的对应点P1坐标为 （﹣a，2） ，连接PP1，则线段PP1的长度为 ．
【分析】（1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【解答】解：（1）如图所示，△OA1B1，即为所求，B1（﹣4，3），
故答案为：（﹣4，3）；
（2）∵点P1的坐标是由点P（2，a）通过绕原点逆时针旋转90°所得，
∴P1（﹣a，2）；
由图形可知，PQ∥AB，
∴，
由旋转可知，PP1∥BB1，
∴，
∵，
∴PP1＝，
故答案为：（﹣a，2）；．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键．
19．（5分）已知将抛物线y＝（x﹣4）2﹣1向左平移n（n＞0）个单位后得到的新抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，3）．
（1）求平移后的抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）利用以上信息图象解答问题：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0在0＜x＜5的范围内有两个实数解，则t的取值范围是 ﹣1＜t＜3 ．
【分析】（1）按照平移规律求出抛物线解析式，再把（0，3）代入解析式求出n即可；
（2）分两种情况画出函数图象，把方程ax2+bx+c﹣t＝0的解转化为抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝t的交点，结合图象求t的取值范围．
【解答】解：（1）将抛物线y＝（x﹣4）2﹣1向左平移n（n＞0）个单位后得到的新抛物线为y＝（x﹣4+n）2﹣1，
∵新抛物线经过点（0，3），
∴3＝（﹣4+n）2﹣1，
解得n＝6或n＝2，
当n＝6时，y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3；
当n＝2时，y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
∴平移后的抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝x2+4x+3或y＝x2﹣4x+3；
（2）当y＝x2﹣4x+3时，如图所示：
有图象得，关于x的一元二次方程x2+4x+3﹣t＝0在0＜x＜5的范围内有两个实数解，则t的取值范围是﹣1＜t＜3；
当y＝x2+4x+3时，如图所示：
从图象可得，关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t＝0在0＜x＜5的范围内没有两个实数解．
综上所述，t的取值范围是﹣1＜t＜3．
故答案为：﹣1＜t＜3．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，直线与抛物线的交点，关键是求出抛物线解析式．
20．（5分）关于x的方程x2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，求代数式﹣的值．
【分析】根据当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根求出a，代入计算即可．
【解答】解：Δ＝a2﹣4，
∵方程x2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，
∴a2﹣4＝0，
解得，a＝±2，
∵a+2≠0，
∴a≠﹣2，
当a＝2时，﹣＝﹣＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，求代数式的值，掌握当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根是解题的关键．
21．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，点E为ABCD内一点，将BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，连接EF、AE、CF，EF与CB交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
【分析】（1）根据旋转的性质，可得BE与BF的关系，根据余角的性质，可得∠ABE与∠CBF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据旋转的性质，可得BE与BF的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得∠BEG根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°．
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠CBF+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF．
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF （SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°．
∵∠ABE＝55°，
∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°
∵BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEG＝∠BFG＝45°．
∵∠EGC是△BEG的外角，
∴∠EGC＝∠EBG+∠BEG＝35°+45°＝80°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用余角的性质得出∠ABE＝∠CBF是解题关键；（2）利用三角形外角的性质是解题关键．
22．（5分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，建立方程组求解解析式即可；
（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣5；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求二次函数的解析式，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
23．（5分）学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米，在与墙平行的一面开一个2米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．
（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为 10 米；
（2）为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到66.5平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．
【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米，然后利用这堵墙的长度为不超过8米，列出不等式求解即可；
（2）设小路的宽为a米，两边的长分别为（8﹣2a）米，（10﹣a）米，列出方程求解即可求解．
【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米，
根据题意得：26﹣2x+2≤8．
解得：x≥10，
答：长方形车棚与墙垂直的一面至少10米；
故答案为：10．
（2）设小路的宽为a米，根据题意得，
（8﹣2a）（10﹣a）＝66.5，
整理得：4a2﹣56a+27＝0，
解得：（舍去），，
答：小路的宽为米．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题的关键．
24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4．
（1）以点D为对称中心，作出△ABD的中心对称图形；
（2）求△ABC的面积的值．
【分析】（1）延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，由中心对称的性质可知，△MCD即为所求．
（2）由中心对称的性质可得S△ABD＝S△MCD，CM＝AB＝6，DM＝AD＝4，进而可得S△ABC＝S△ACM，∠AMC＝90°，利用三角形的面积公式求出△ACM的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，延长AD至点M，使DM＝AD，连接CM，
则△MCD即为所求．
（2）∵△ABD与△MCD关于点D成中心对称，
∴△ABD≌△MCD，
∴S△ABD＝S△MCD，CM＝AB＝6，DM＝AD＝4，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝S△MCD+S△ACD＝S△ACM，
在△ACM中，AM＝8，CM＝6，AC＝10，
即AC2＝AM2+CM2，
∴∠AMC＝90°，
∴S△ACM＝＝＝24，
∴△ABC的面积为24．
【点评】本题考查中心对称、全等三角形的判定与性质，熟练掌握中心对称的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
25．（6分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径；
（3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3.2dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；
（2）炒菜锅里的水位高度为1dm即y＝﹣2，列方程求得x的值，即可得答案；
（3）底面直径为3dm、高度为3dm圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当x＝时，C1和C2中的y值的差与3比较大小，从而可得答案．
【解答】解：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y＝a（x﹣3）（x+3）；
抛物线C1还经过D（0，﹣3），
则有：﹣3＝a（0﹣3）（0+3），解得：a＝，
即：抛物线C1：y＝x2﹣3（﹣3≤x≤3）；
抛物线C2还经过C（0，1），
则有：1＝a（0﹣3）（0+3），解得：a＝﹣，
即：抛物线C2：y＝﹣x2+1（﹣3≤x≤3）．
（2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y＝﹣2，即x2﹣3＝﹣2，
解得：x＝±，
∴此时水面的直径为2dm．
（3）锅盖不能正常盖上，理由如下：
当x＝时，抛物线C1：y＝×（）2﹣3＝﹣，抛物线C2：y＝﹣×（）2+1＝，
而﹣（﹣）＝3，
∴锅盖不能正常盖上．
【点评】本题主要考查待定系数求函数解析式与二次函数的实际应用，解题的关键在于将实际问题转化为二次函数问题求解．
26．（6分）已知A（n，0），B（2，﹣3）两点在一次函数y1＝﹣x+m与二次函数的图象上．
（1）求m的值和二次函数的解析式；
（2）请直接写出使y1＞y2时，自变量x的取值范围为 ﹣1＜x＜2 ；
（3）直接写出所求的抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3 ．
【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数解析式y1＝﹣x+m中，可求出m的值，进而可求出n的值，再利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据图象和两函数的交点可写出使y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（3）根据两抛物线对称时顶点和开口间的关系，可写出关于x轴对称的抛物线的解析式．
【解答】解：（1）∵B（2，﹣3）在一次函数y1＝﹣x+m的图象上，
∴﹣3＝﹣2+m，
解得m＝﹣1，
∴y1＝﹣x﹣1，
∵A（n，0）在一次函数y1＝﹣x﹣1的图象上，
∴0＝﹣n﹣1，
解得n＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∵已知A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点在二次函数的图象上．
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y2＝x2﹣2x﹣3；
（2）画出图象如下：
由图象可知使y1＞y2时，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2；
（3）∵y2＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（1，﹣4），
∴抛物线y2＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的顶点为（1，4），
∴抛物线y2＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用图象比较函数值的大小，关于x轴对称的抛物线解析式的确定，掌握待定系数法，以及合理利用数形结合思想是解题的关键．
27．（7分）问题背景：（1）如图1，△ACB和△CEF都是等腰直角三角形，点E在AB上，连BF，求证：BF⊥AB；
迁移运用：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P在△ABC外，PA＝2，PB＝6，∠BPA＝60°，求PC的长；
拓展提升：（3）如图3，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E、F在△ABC外，∠ECF＝135°，BE∥AF，直接写出线段BE、AF、EF之间的关系．
【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BCF，可得∠CAE＝∠CBF＝45°，可得结论；
（2）由旋转的性质可得∠PAH＝120°，PB＝CH＝6，∠BPA＝∠AHC＝60°，PA＝AH＝2，由勾股定理可求解；
（3）由旋转的性质可得AH＝BE，CE＝CH，∠CBE＝∠CAH，∠ACH＝∠BCE，可求∠FAH＝90°，由“SAS”可证△FCH≌△FCE，可得EF＝FH，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵△ACB和△CEF都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CAE＝∠CBF＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB；
（2）解：如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACH，连接PH，过点A作AE⊥PH于E，
∵将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACH，
∴△ABP≌△ACH，∠PAH＝120°，
∴PB＝CH＝6，∠BPA＝∠AHC＝60°，PA＝AH＝2，
∴∠APH+∠AHP＝30°，
∵AE⊥PH，
∴AE＝PA＝1，PE＝EH＝AE＝，
∴PH＝2，
∵∠PHA+∠AHC＝90°，
∴PC＝＝＝4；
（3）如图3，将△CEB绕点C顺时针旋转90°，得到△CHA，连接FH，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
∵BE∥AF，
∴∠FAB+∠ABE＝180°，
∴∠FAC+∠CBE＝90°，
∵将△CEB绕点C顺时针旋转90°，得到△CHA，
∴△CBE≌△CAH，
∴AH＝BE，CE＝CH，∠CBE＝∠CAH，∠ACH＝∠BCE，
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝90°，
∴FH2＝FA2+AH2＝FA2+BE2，
∵∠ECF＝135°，∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCE＝135°，
∴∠ACF+∠ACH＝135°＝∠FCH，
∴∠FCH＝∠FCE，
又∵FC＝FC，CE＝CH，
∴△FCH≌△FCE（SAS），
∴EF＝FH，
∴EF2＝FA2+BE2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）我们规定，以二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数a的2倍为一次项系数，一次项系数b为常数项构造的一次函数y＝2ax+b叫做二次函数y＝ax2+bx+c的“子函数”，反过来，二次函数y＝ax2+bx+c叫做一次函数y＝2ax+b的“母函数”．
（1）若一次函数y＝2x﹣4是二次函数y＝ax2+bx+c的“子函数”，且二次函数经过点（3，0），求此二次函数的解析式及顶点坐标．
（2）若“子函数”y＝x﹣6的“母函数”的最小值为1，求“母函数”的函数表达式．
（3）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+8的“子函数”图象直线l与x轴、y轴交于C、D两点，P点在直线l上方的抛物线上，求△PCD的面积的最大值．
【分析】（1）由题意得：a＝1，b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+c，将点C的坐标代入得：c＝3，即可求解；
（2）“子函数”y＝x﹣6的“母函数”为：y＝x2﹣6x+c，则y＝（x2﹣12x）+x＝（x﹣6）2﹣18+c，故﹣18+c＝1，即可求解；
（3）由S△PCD＝S△PHC﹣S△PHD＝×PH×（xH﹣xC﹣xH+xD），即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：a＝1，b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+c，将点C的坐标代入得：c＝3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
故抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）“子函数”y＝x﹣6的“母函数”为：y＝x2﹣6x+c，
∵y＝（x2﹣12x）+c＝（x﹣6）2﹣18+c，
故﹣18+c＝1，解得：c＝19，
故“母函数”的表达式为：y＝x2﹣6x+19；
（3）如图所示，连接DP，设点P（m，﹣m2﹣4m+8），过点P作y轴的平行线交CD于点H，
由题意得：直线l的表达式为：y＝﹣2x﹣4，则点H（m，﹣2m﹣4），
故点C、D的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣4），
∴S△PCD＝S△PHC﹣S△PHD＝×PH×（xH﹣xC﹣xH+xD）＝×（﹣m2﹣4m+8+2m+4）（0+2）＝﹣m2﹣2m+12＝﹣（m+1）2+13，
∵﹣1＜0，∴S△PCD＝有最大值，
当m＝﹣1时，其最大值为13．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形面积计算，此类阅读型题目通常按照题设条件顺次求解，难度一般不大．