2025高考数学一轮复习- 离散型随机变量的数字特征-专项训练【含解析】

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这是一份2025高考数学一轮复习- 离散型随机变量的数字特征-专项训练【含解析】，共10页。

1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1,2，若n1＝2，n2＝3，则( )
A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝( )
A．1－eq \f(\r(2),2) B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1－eq \r(2) D．1＋eq \r(2)
3．已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(2,3)
C．eq \f(8,3)D．eq \f(4,3)
4．(多选)对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是( )
A．E(X)是反映随机变量的平均取值
B．D(X)越小，说明X越集中于E(X)
C．E(aX＋b)＝aE(X)＋b
D．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b
5．(多选)设0A．E(ξ)减小B．E(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小
6．已知随机变量X的分布列为
若E(X)＝1，则E(aX＋b)＝________．
7．现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的数学期望是________．
8．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________．
9．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组．该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率；
(2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差．
10．如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X，则X的均值为( )
A．eq \f(126,125)B．eq \f(7,5)
C．eq \f(168,125)D．eq \f(6,5)
11．(多选)eq \f(1,4)A．P(X＝2)的值最大
B．P(X＝0)C．E(X)随着p的增大而减小
D．E(X)随着p的增大而增大
12．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是eq \f(2,5)；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq \f(7,9)，则白球的个数为________；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝__________．
13．某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq \f(7,9)和eq \f(2,9)；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,3)和eq \f(1,15)．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
14．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，既未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当eq \f(10,a)＋eq \f(1,9b)取最小值时，c的值为________．
15．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0(1)求方差D(ξ)的最大值；
(2)求eq \f(2Dξ－1,Eξ)的最大值．
课时过关检测(六十二)
离散型随机变量的数字特征【解析版】
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1,2，若n1＝2，n2＝3，则( )
A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
解析：A 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1,2，n1＝2，n2＝3，∵n1＝2，∴ξ1的分布列为
E(ξ1)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，D(ξ1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,2)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,2)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，∵n2＝3，∴ξ2的分布列为
E(ξ2)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)，D(ξ2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(7,4)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(7,4)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(7,4)))2×eq \f(1,4)＝eq \f(11,16)．
∴E(ξ1)2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝( )
A．1－eq \f(\r(2),2) B．1＋eq \f(\r(2),2)
C．1－eq \r(2) D．1＋eq \r(2)
解析：C 由离散型随机变量分布列的性质，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤1－2q≤1，,q2≤1，,\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，))解得q＝1－eq \f(\r(2),2)，∴E(ξ)＝(－1)×eq \f(1,2)＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－eq \f(1,2)＝1－eq \r(2)．
3．已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(2,3)
C．eq \f(8,3)D．eq \f(4,3)
解析：B 因为取出小球上的数字X的数学期望是2，且个数依次成等差数列，设标有数字1,2,3的小球依次为a－d，a，a＋d个，则P(X＝1)＝eq \f(a－d,3a)，P(X＝2)＝eq \f(a,3a)＝eq \f(1,3)，P(X＝3)＝eq \f(a＋d,3a)，所以E(X)＝eq \f(a－d,3a)＋eq \f(2,3)＋eq \f(a＋d,3a)×3＝2⇒d＝0，a∈N*．故袋中标有数字1,2,3的小球个数相同．不妨设标有数字1,2,3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球的概率皆为eq \f(1,3)，方差为eq \f(1,3)×(1－2)2＋eq \f(1,3)×(2－2)2＋eq \f(1,3)×(3－2)2＝eq \f(2,3)，故选B．
4．(多选)对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是( )
A．E(X)是反映随机变量的平均取值
B．D(X)越小，说明X越集中于E(X)
C．E(aX＋b)＝aE(X)＋b
D．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b
解析：ABC 离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即A、B正确；由期望和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正确，D错误．故选A、B、C．
5．(多选)设0A．E(ξ)减小B．E(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小
解析：BD 由分布列可得：E(ξ)＝0×eq \f(1－p,2)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(p,2)＝p＋eq \f(1,2)，所以当p在(0,1)内增大时，E(ξ)增大，故选项B正确；D(ξ)＝eq \f(1－p,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－p－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－p－\f(1,2)))2＋eq \f(p,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－p－\f(1,2)))2＝－p2＋p＋eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)，所以D(ξ)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递减，先增后减，故选项D正确，故选B、D．
6．已知随机变量X的分布列为
若E(X)＝1，则E(aX＋b)＝________．
解析：由概率分布列的性质知a＋b＝eq \f(2,3)．E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝a＋b＝eq \f(2,3)．
答案：eq \f(2,3)
7．现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的数学期望是________．
解析：依题意，X的所有可能值是0,1,2，P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,7),C\\al(2,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,7)C\\al(1,3),C\\al(2,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,10))＝eq \f(1,15)，E(X)＝0×eq \f(7,15)＋1×eq \f(7,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5)，所以X的数学期望是eq \f(3,5)．
答案：eq \f(3,5)
8．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________．
解析：ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(ξ＝0)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)．随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝1)＝eq \f(2,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq \f(2,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，所以E(ξ)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,3)＝1．
答案：eq \f(1,3) 1
9．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组．该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率；
(2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差．
解：(1)由题意可得，抽取了高二年级男生4人，女生2人，高三年级男生1人，女生3人．
所以P(A)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,1)C\\al(2,5),C\\al(4,10))＝eq \f(40,210)＝eq \f(4,21)．
(2)X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(4,7)C\\al(0,3),C\\al(4,10))＝eq \f(1,6)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(3,7)C\\al(1,3),C\\al(4,10))＝eq \f(1,2)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,7)C\\al(2,3),C\\al(4,10))＝eq \f(3,10)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,7)C\\al(3,3),C\\al(4,10))＝eq \f(1,30)，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5)，
所以D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(6,5)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(6,5)))2×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(6,5)))2×eq \f(3,10)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(6,5)))2×eq \f(1,30)＝eq \f(14,25)．
10．如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X，则X的均值为( )
A．eq \f(126,125)B．eq \f(7,5)
C．eq \f(168,125)D．eq \f(6,5)
解析：D 根据题意正方体内部有3×3×3＝27个小正方体没有被涂上颜色，仅有一面被涂上颜色的有6×9＝54个，仅有两个面涂上颜色的有3×12＝36个，有三个面涂上共有8个，故随机变量X的可能取值为0,1,2,3．于是P(X＝0)＝eq \f(27,125)，P(X＝1)＝eq \f(54,125)，P(X＝2)＝eq \f(36,125)，P(X＝3)＝eq \f(8,125)．所以期望为E(X)＝0×eq \f(27,125)＋1×eq \f(54,125)＋2×eq \f(36,125)＋3×eq \f(8,125)＝eq \f(150,125)＝eq \f(6,5)．故选D．
11．(多选)eq \f(1,4)A．P(X＝2)的值最大
B．P(X＝0)C．E(X)随着p的增大而减小
D．E(X)随着p的增大而增大
解析：BD 当p＝eq \f(1,2)时，P(X＝2)＝eq \f(1,4)，P(X＝1)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)>eq \f(1,4)，A错误；因为eq \f(1,4)12．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是eq \f(2,5)；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq \f(7,9)，则白球的个数为________；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝__________．
解析：设白球的个数为y，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是eq \f(7,9)，则eq \f(C\\al(2,y)＋C\\al(1,y)C\\al(1,10－y),C\\al(2,10))＝eq \f(7,9) ，化简得y2－19y＋70＝0，解得y＝5或y＝14(舍)，由题设知ξ的所有取值是0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,12)．则随机变量ξ的分布列为
所以E(ξ)＝eq \f(5,12)＋eq \f(5,12)×2＋eq \f(1,12)×3＝eq \f(3,2)．
答案：5 eq \f(3,2)
13．某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq \f(7,9)和eq \f(2,9)；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,3)和eq \f(1,15)．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150．则X1的分布列为
∴E(X1)＝300×eq \f(7,9)＋(－150)×eq \f(2,9)＝200(万元)，
D(X1)＝(300－200)2×eq \f(7,9)＋(－150－200)2×eq \f(2,9)＝35 000．
若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300,0．则X2的分布列为
∴E(X2)＝500×eq \f(3,5)＋(－300)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,15)＝200(万元)，
D(X2)＝(500－200)2×eq \f(3,5)＋(－300－200)2×eq \f(1,3)＋(0－200)2×eq \f(1,15)＝140 000．
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
14．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，既未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当eq \f(10,a)＋eq \f(1,9b)取最小值时，c的值为________．
解析：由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，得10a＋9b＝9，所以eq \f(10,a)＋eq \f(1,9b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,a)＋\f(1,9b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10a,9)＋b))＝eq \f(101,9)＋10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,81b)))，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,81b)，即a＝9b时，eq \f(10,a)＋eq \f(1,9b)取得最小值，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(9,11)，,b＝\f(1,11)，))此时c＝1－a－b＝1－eq \f(9,11)－eq \f(1,11)＝eq \f(1,11)．
答案：eq \f(1,11)
15．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0(1)求方差D(ξ)的最大值；
(2)求eq \f(2Dξ－1,Eξ)的最大值．
解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，
从而E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2．
(1)D(ξ)＝p－p2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p2－p＋\f(1,4)))＋eq \f(1,4)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，∵0(2)eq \f(2Dξ－1,Eξ)＝eq \f(2p－p2－1,p)＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2p＋\f(1,p)))，
∵0当2p＝eq \f(1,p)，即p＝eq \f(\r(2),2)时，取等号．
因此，当p＝eq \f(\r(2),2)时，eq \f(2Dξ－1,Eξ)取得最大值2－2eq \r(2)．
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－2q
q2
ξ
0
1
2
P
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
X
0
1
2
P
eq \f(1,3)
a
b
X
0
1
2
P
p－p2
1－p
p2
ξ1
1
2
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,2)
ξ2
1
2
3
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－2q
q2
ξ
0
1
2
P
eq \f(1－p,2)
eq \f(1,2)
eq \f(p,2)
X
0
1
2
P
eq \f(1,3)
a
b
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
0
1
2
P
p－p2
1－p
p2
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(1,12)
eq \f(5,12)
eq \f(5,12)
eq \f(1,12)
X1
300
－150
P
eq \f(7,9)
eq \f(2,9)
X2
500
－300
0
P
eq \f(3,5)
eq \f(1,3)
eq \f(1,15)