2025高考数学一轮复习-第7章-计数原理-专项训练【含解析】

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A．21种 B．315种
C．143种D．153种
2．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( )
A．56B．54
C．53D．52
3．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )
A．6种B．12种
C．18种D．24种
4．4人站成一排，重新站队时，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A．4种B．8种
C．12种D．24种
5．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．48B．72
C．90D．96
6．(多选)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有( )
A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法
7．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________．
8．如图所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
9．某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
10．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
11．某校毕业典礼上有6个节目，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A．120种B．156种
C．188种D．240种
12．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________．
13．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．
2025高考数学一轮复习-第7章-计数原理-专项训练【解析版】
1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有( )
A．21种 B．315种
C．143种D．153种
解析：C 选出不属于同一学科的书2本，可分三类：一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63(种)；第二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45(种)；第三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35(种)，因此共有63＋45＋35＝143(种)不同选法．
2．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( )
A．56B．54
C．53D．52
解析：D 在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56(个)对数值，但在这56个数值中，lg24＝lg39，lg42＝lg93，lg23＝lg49，lg32＝lg94重复了4个数值，要减去4，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．
3．将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )
A．6种B．12种
C．18种D．24种
解析：A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A或B处，若8放在B处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A处，也有3种方法，所以共有6种方法．
4．4人站成一排，重新站队时，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A．4种B．8种
C．12种D．24种
解析：B 将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有Ceq \\al(1,4)种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有Ceq \\al(1,4)×2＝8(种)站法．
5．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为( )
A．48B．72
C．90D．96
解析：D 由于甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场竞赛或甲不参加任何竞赛．①当甲参加另外3场竞赛时，共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,4)＝72(种)选择方案；②当甲学生不参加任何竞赛时，共有Aeq \\al(4,4)＝24(种)选择方案．综上所述，所有参赛方案有72＋24＝96(种)．
6．(多选)现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有( )
A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法
B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法
C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法
D．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法
解析：ABC 对于A：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，A正确；对于B：分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法，B正确；对于C：分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，C正确；对于D：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数N＝3×2＝6．D错误，故选A、B、C．
7．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为________．
解析：将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．
答案：24
8．如图所示的几何体是由一个三棱锥PABC与三棱柱ABCA1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
解析：先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有Ceq \\al(1,3)×Ceq \\al(1,2)×Ceq \\al(1,1)×Ceq \\al(1,2)＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．
答案：12
9．某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
解析：甲、乙中裁一人的方案有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,8)种，甲、乙都不裁的方案有Ceq \\al(4,8)种，故不同的裁员方案共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,8)＋Ceq \\al(4,8)＝182(种)．
答案：182
10．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，可知共有3×2＝6(个)偶函数．
答案：18 6
11．某校毕业典礼上有6个节目，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A．120种B．156种
C．188种D．240种
解析：A 记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类：①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．
12．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为顶点的三角形个数为________．
解析：法一：先从这8个点中任取3个点，最多构成Ceq \\al(3,8)个三角形，再减去三点共线的情形即可．共有Ceq \\al(3,8)－Ceq \\al(3,5)－Ceq \\al(3,4)＝42(个)．
法二：分三类，用分类加法计数原理解得Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,3)＝18＋12＋12＝42(个)．
答案：42
13．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．
解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300．
答案：300
3
4
1
2
D
3
4
A
C
B
9
3
4
1
2
D
3
4
A
C
B
9