2025高考数学一轮复习-概率统计与数列、函数的交汇问题-专项训练【含解析】

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1．小张准备在某市开一家文具店，为经营需要，小张对该市另一家文具店中的某种水笔在某周周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示．
(1)根据表格中的数据，求出y关于x的经验回归方程；
(2)请由(1)所得的经验回归方程预测销售量为18支时，单支售价应定价为多少元？如果一支水笔的进价为0．56元，为达到日利润(日销售量×单支售价－日销售量×单支进价)最大，在(1)的前提下应该如何定价？
参考数据与公式：经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x，其中，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))，eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝67，eq \i\su(i＝1,5,x)eq \\al(2,i)＝16．6．
2．袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn．
(1)求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；
(2)求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
3．某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k(k∈N*，2≤k(1)假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中的k(k∈N*,2≤k①若k＝4，且E(ξ1)＝E(ξ2)，试运用概率与统计的知识，求p的值；
②若p＝1－eq \f(1,\r(e))，证明：E(ξ1)4．某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日大礼包一份．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．
(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶，求概率P(E5)及P(F4)；
(2)该柜台采用限量出售甲、乙两个系列盲盒的销售方式，即每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为eq \f(2,3)，购买乙系列的概率为eq \f(1,3)；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为eq \f(1,4)，购买乙系列的概率为eq \f(3,4)，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为eq \f(1,2)，购买乙系列的概率为eq \f(1,2)；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn．
①求{Qn}的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
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概率统计与数列、函数的交汇问题【解析版】
1．小张准备在某市开一家文具店，为经营需要，小张对该市另一家文具店中的某种水笔在某周周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如下表所示．
(1)根据表格中的数据，求出y关于x的经验回归方程；
(2)请由(1)所得的经验回归方程预测销售量为18支时，单支售价应定价为多少元？如果一支水笔的进价为0．56元，为达到日利润(日销售量×单支售价－日销售量×单支进价)最大，在(1)的前提下应该如何定价？
参考数据与公式：经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x，其中，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))，eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝67，eq \i\su(i＝1,5,x)eq \\al(2,i)＝16．6．
解：(1)因为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(1．4＋1．6＋1．8＋2＋2．2)＝1．8，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(13＋11＋7＋6＋3)＝8，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\(x,\s\up6(－)) \(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\\al(2,i)－5\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(67－5×1.8×8,16.6－5×1.82)＝－12．5，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝8－(－12．5)×1．8＝30．5，
所以所求经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－12．5x＋30．5．
(2)当eq \(y,\s\up6(^))＝18时，18＝－12．5x＋30．5，解得x＝1．
假设日利润为L(x)元，则L(x)＝(x－0．56)(30．5－12．5x)＝－12．5x2＋37．5x－17．08．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0.56，,－12.5x＋30.5>0，))解得0．56根据二次函数的性质，可知当x＝1．5时，L(x)取最大值，
所以当单支售价为1元时，销售量为18件．为使日利润最大，单支售价应定为1．5元．
2．袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn．
(1)求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；
(2)求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
解：(1)由题意可知X2＝3,4,5．
当X2＝3时，即两次摸球均摸到红球，其概率是P(X2＝3)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,8))×eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,8))＝eq \f(9,64)，
当X2＝4时，即两次摸球恰好摸到一红球，一白球，其概率P(X2＝4)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＋eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＝eq \f(35,64)，
当X2＝5时，即两次摸球均摸到白球，其概率是P(X2＝5)＝eq \f(C\\al(1,5)C\\al(1,4),C\\al(1,8)C\\al(1,8))＝eq \f(5,16)，
所以随机变量X2的概率分布如下表所示：
故数学期望E(X2)＝3×eq \f(9,64)＋4×eq \f(35,64)＋5×eq \f(5,16)＝eq \f(267,64)．
(2)设P(Xn＝3＋k)＝pk，k＝0,1,2,3,4,5，则p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，
E(Xn)＝3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5．
P(Xn＋1＝3)＝eq \f(3,8)p0，P(Xn＋1＝4)＝eq \f(5,8)p0＋eq \f(4,8)p1，P(Xn＋1＝5)＝eq \f(4,8)p1＋eq \f(5,8)p2，P(Xn＋1＝6)＝eq \f(3,8)p2＋eq \f(6,8)p3，P(Xn＋1＝7)＝eq \f(2,8)p3＋eq \f(7,8)p4，P(Xn＋1＝8)＝eq \f(1,8)p4＋eq \f(8,8)p5，
所以E(Xn＋1)＝3×eq \f(3,8)p0＋4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)p0＋\f(4,8)p1))＋5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,8)p1＋\f(5,8)p2))＋6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)p2＋\f(6,8)p3))＋7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,8)p3＋\f(7,8)p4))＋8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)p4＋\f(8,8)p5))＝eq \f(29,8)p0＋eq \f(36,8)p1＋eq \f(43,8)p2＋eq \f(50,8)p3＋eq \f(57,8)p4＋eq \f(64,8)p5＝eq \f(7,8)(3p0＋4p1＋5p2＋6p3＋7p4＋8p5)＋p0＋p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝eq \f(7,8)E(Xn)＋1．
由此可知，E(Xn＋1)－8＝eq \f(7,8)[E(Xn)－8]．因为E(X1)＝3×eq \f(3,8)＋4×eq \f(5,8)＝eq \f(29,8) ，
又E(X1)－8＝－eq \f(35,8)，所以数列{E(Xn)－8}是以－eq \f(35,8)为首项，eq \f(7,8)为公比的等比数列，
所以E(Xn)－8＝－eq \f(35,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n－1＝－5·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n，
即E(Xn)＝8－5·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n．
3．某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n(n∈N*)份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k(k∈N*，2≤k(1)假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中的k(k∈N*,2≤k①若k＝4，且E(ξ1)＝E(ξ2)，试运用概率与统计的知识，求p的值；
②若p＝1－eq \f(1,\r(e))，证明：E(ξ1)解：(1)设“恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，
则P(A)＝eq \f(A\\al(3,3)＋C\\al(1,3)A\\al(2,2)C\\al(1,2),A\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
即恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为eq \f(3,10)．
(2)①由题意知E(ξ1)＝4，ξ2的取值可能取值为1,5，
P(ξ2＝1)＝(1－p)4，P(ξ2＝5)＝1－(1－p)4，
所以E(ξ2)＝(1－p)4＋5[1－(1－p)4]＝5－4(1－p)4，
由E(ξ1)＝E(ξ2)，得4＝5－4(1－p)4，即(1－p)4＝eq \f(1,4)，
因为0②证明：由题意易知E(ξ1)＝k，E(ξ2)＝(1＋k)－k(1－p)k，
要证明E(ξ1)(1－p)k，又p＝1－eq \f(1,\r(e))，即证明eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e\a\vs4\al(－\f(1,2))))k两边同时取自然对数，即证明－eq \f(k,2)<－ln k，即证明ln k－eq \f(k,2)<0，
设f(x)＝ln x－eq \f(x,2)(x≥2)，则f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,2)＝eq \f(2－x,2x)≤0在[2，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
又因为f(2)＝ln 2－1<0，所以f(x)＝ln x－eq \f(x,2)≤f(2)<0，
即ln k－eq \f(k,2)<0(k≥2)，所以E(ξ1)4．某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日大礼包一份．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．
(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶，求概率P(E5)及P(F4)；
(2)该柜台采用限量出售甲、乙两个系列盲盒的销售方式，即每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为eq \f(2,3)，购买乙系列的概率为eq \f(1,3)；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为eq \f(1,4)，购买乙系列的概率为eq \f(3,4)，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为eq \f(1,2)，购买乙系列的概率为eq \f(1,2)；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn．
①求{Qn}的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
解：(1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A1，A2，A3玩偶，则有两种情况：
若其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,2)种结果；
若其中两个玩偶各2个，另外两个玩偶1个，则共有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)种结果，
故P(E5)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(3,5)A\\al(2,2)＋C\\al(1,3)C\\al(1,5)C\\al(2,4),35)＝eq \f(60＋90,243)＝eq \f(150,243)＝eq \f(50,81)；
若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为eq \f(1,24)，
故P(F4)＝1－eq \f(1,24)－eq \f(1,24)＝eq \f(7,8)．
(2)①由题可知Q1＝eq \f(2,3)，
当n≥2时，Qn＝eq \f(1,4)Qn－1＋eq \f(1,2)(1－Qn－1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)Qn－1，则Qn－eq \f(2,5)＝－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Qn－1－\f(2,5)))，Q1－eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Qn－\f(2,5)))是以eq \f(4,15)为首项，以－eq \f(1,4)为公比的等比数列．
所以Qn－eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))n－1，即Qn＝eq \f(2,5)＋eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))n－1．
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作n→＋∞，所以，其购买甲系列的概率近似于eq \f(2,5)，
假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100，\f(2,5)))，
所以E(ξ)＝100×eq \f(2,5)＝40，即购买甲系列的人数的期望为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．
周一
周二
周三
周四
周五
x
1．4
1．6
1．8
2
2．2
y
13
11
7
6
3
周一
周二
周三
周四
周五
x
1．4
1．6
1．8
2
2．2
y
13
11
7
6
3
X2
3
4
5
P
eq \f(9,64)
eq \f(35,64)
eq \f(5,16)