2025高考数学一轮复习-函数的奇偶性与周期性-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-函数的奇偶性与周期性-专项训练【含解析】，共7页。


1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x)D．y＝f(x)＋f(－x)
2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21B．－21
C．26D．－26
3．已知f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，则“m<－eq \f(1,2)”是“f(m)>0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋x
6．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则( )
A．f(0)＝1B．f(x)是周期函数
C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋5)为偶函数
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
8．已知实数a，b满足(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，则a＋b＝________．
9．设函数y＝f(x)的定义域为R，则下列命题：
①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x－2)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．
其中正确命题的序号为________．
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
11．已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式eq \f(fx＋2＋f－x－2,x)>0的解集为( )
A．(－5，－2)∪(0，＋∞)B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－5,0)∪(1，＋∞)
12．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x＋1)都为奇函数，则( )
A．f(x－1)为奇函数
B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数
D．f(x＋2)为偶函数
13．已知函数f(x)满足：①f(0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f(1＋x)＝f(1－x)．请写出一个满足以上条件的f(x)＝________．
14．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
15．(1)已知函数f(x)，x∈R，若∀a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若∀x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
课时过关检测(七)
函数的奇偶性与周期性【解析版】
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )
A．y＝－|f(x)| B．y＝xf(x2)
C．y＝－f(－x)D．y＝f(x)＋f(－x)
解析：B 对A，y＝－|f(x)|中，－|f(－x)|与|f(x)|不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对B，y＝g(x)＝xf(x2)中，因为g(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，所以函数为奇函数，故正确；对C，y＝－f(－x)中，－f(x)与f(－x)不一定相等，故不一定为奇函数，故错误；对D，y＝f(x)＋f(－x)为偶函数，故错误．故选B．
2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21B．－21
C．26D．－26
解析：B 设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13．又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．
3．已知f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，则“m<－eq \f(1,2)”是“f(m)>0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B 因为f(x)＝ax－2x(a≠2)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，ax－2x＋a－x－2－x＝0，(ax－2x)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2ax)))＝0恒成立，(2a)x＝1，a＝eq \f(1,2)，f(x)＝2－x－2x为R上的减函数，且f(0)＝0，所以f(m)>0时，m<0，因此“m<－eq \f(1,2)”是“f(m)>0”的充分不必要条件．故选B．
4．已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：A 根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1．由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以2≥2x≥－2，解得－1≤x≤1，故选A．
5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋x
解析：BD 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确．
6．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则( )
A．f(0)＝1B．f(x)是周期函数
C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋5)为偶函数
解析：BD 因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x)，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确．故选B、D．
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________．
解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2－x－1，则当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1，故f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1．
答案：－x2－x＋1
8．已知实数a，b满足(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，则a＋b＝________．
解析：因为(a－1)5＋(b－3)5＝2 020(1－a)3＋2 020(3－b)3，所以(a－1)5＋2 020(a－1)3＝(3－b)5＋2 020(3－b)3，令f(x)＝x5＋2 020x3，则f(x)在R上为单调递增的奇函数，又f(a－1)＝f(3－b)，所以a－1＝3－b，所以a＋b＝4．
答案：4
9．设函数y＝f(x)的定义域为R，则下列命题：
①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x－2)＝f(2－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．
其中正确命题的序号为________．
解析：y＝f(x＋2)是将函数y＝f(x)的图象向左平移两个单位长度得到的，故y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，①错误，②正确；若f(x－2)＝f(2－x)，由eq \f(x－2＋2－x,2)＝0得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，③错误，④正确．
答案：②④
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8．
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．
11．已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式eq \f(fx＋2＋f－x－2,x)>0的解集为( )
A．(－5，－2)∪(0，＋∞)B．(－∞，－5)∪(0,1)
C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－5,0)∪(1，＋∞)
解析：D 因为定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)内单调递增，所以f(x)满足在(－∞，0)内单调递减，又f(3)＝0，所以f(－3)＝f(3)＝0．作出函数f(x)的草图如图，由eq \f(fx＋2＋f－x－2,x)>0，得eq \f(fx＋2＋f[－x＋2],x)>0，得eq \f(2fx＋2,x)>0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,fx＋2>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,fx＋2<0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,x＋2>3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0，,－31或－50的解集为(－5,0)∪(1，＋∞)．故选D．
12．(多选)函数f(x)的定义域为R，且f(x)与f(x＋1)都为奇函数，则( )
A．f(x－1)为奇函数
B．f(x)为周期函数
C．f(x＋3)为奇函数
D．f(x＋2)为偶函数
解析：ABC 由题意知：f(－x－1)＋f(x＋1)＝0且f(－x＋1)＋f(x＋1)＝0，∴f(1－x)＝f(－1－x)，即f(x－1)＝f(x＋1)，可得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，且f(x－1)，f(x＋2)为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f(x＋1)＝f(x＋3)，即f(x＋3)为奇函数，C正确．故选A、B、C．
13．已知函数f(x)满足：①f(0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f(1＋x)＝f(1－x)．请写出一个满足以上条件的f(x)＝________．
解析：由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x)关于直线x＝1对称，所以开口向下，对称轴为x＝1，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件．
答案：－x2＋2x(答案不唯一)
14．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x．
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，又f(x)为奇函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4．
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4．
15．(1)已知函数f(x)，x∈R，若∀a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数；
(2)已知函数f(x)，x∈R，若∀x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；
(3)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．
证明：(1)令a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0．
令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②
由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．
可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．
设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，
则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．
∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，
∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．