2025高考数学一轮复习-数学模型的构建与拟合-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-数学模型的构建与拟合-专项训练【含解析】，共6页。
1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
2．某区要从5名干部甲、乙、丙、丁、戊中随机选取2人，赴区属的某村进行驻村工作，则甲或乙被选中的概率是( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(3,5)D．eq \f(7,10)
3．已知函数t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,100)))的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是( )
A．144 hB．90 h
C．60 hD．40 h
4．一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，经过的路程是( )
A．100＋200(1－2－9)B．100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)
5．在某市2022年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A．1 500名B．1 700名
C．4 500名D．8 000名
6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷五中“商功”中的问题．意思为“现有城(如图，等腰梯形的直棱柱体)，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺(1丈＝10尺)”，则该问题中“城”的体积等于( )
A．1．897 5×106立方尺B．3．795 0×106立方尺
C．2．530 0×105立方尺D．1．897 5×105立方尺
7．(多选)若f(x)满足f′(x)＋f(x)＞0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是( )
A．f(a)＜f(2a)B．f(a)e2a＞f(－a)
C．f(a)＞f(0)D．f(a)＞eq \f(f0,ea)
8．某市出租车的计价标准为1．2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
9．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)＞3，且f(3)＝4，则不等式xf(x)＞3x2－5x的解集为________．
10．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
11．在一次抽样调查中测得5组成对数据，其数值及散点图如下：
(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，试建立y与x的经验回归方程；(计算结果保留整数)
(3)在(2)的条件下，设z＝y＋x且x∈[4，＋∞)，试求z的最小值．
课时过关检测(七十)
数学模型的构建与拟合【解析版】
1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )
解析：B v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B．
2．某区要从5名干部甲、乙、丙、丁、戊中随机选取2人，赴区属的某村进行驻村工作，则甲或乙被选中的概率是( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(3,5)D．eq \f(7,10)
解析：D 从5名干部中随机选取2人，共有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)这10种等可能方案，其中符合条件的有7种方案，∴所求概率为eq \f(7,10)．故选D．
3．已知函数t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,100)))的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是( )
A．144 hB．90 h
C．60 hD．40 h
解析：A 由N＝90可知，t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(90,100)))＝144 (h)．
4．一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时，经过的路程是( )
A．100＋200(1－2－9)B．100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)
解析：A 由题意，第10次着地时，经过的路程是100＋2×(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×eq \f(2－1×1－2－9,1－2－1)＝100＋200(1－2－9)，故选A．
5．在某市2022年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A．1 500名B．1 700名
C．4 500名D．8 000名
解析：A 因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，则P(X>108)＝eq \f(1,2)[1－P(88≤X≤108)]＝eq \f(1,2)[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq \f(1,2)×(1－0．682 7)＝0．158 65，而0．158 65×9 455≈1 500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1 500名．故选A．
6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷五中“商功”中的问题．意思为“现有城(如图，等腰梯形的直棱柱体)，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺(1丈＝10尺)”，则该问题中“城”的体积等于( )
A．1．897 5×106立方尺B．3．795 0×106立方尺
C．2．530 0×105立方尺D．1．897 5×105立方尺
解析：A V＝eq \f(40＋20×50,2)×1 265＝1 897 500＝1．897 5×106(立方尺)，故选A．
7．(多选)若f(x)满足f′(x)＋f(x)＞0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是( )
A．f(a)＜f(2a)B．f(a)e2a＞f(－a)
C．f(a)＞f(0)D．f(a)＞eq \f(f0,ea)
解析：BD 设h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]，因为f′(x)＋f(x)＞0，所以h′(x)＞0，h(x)在R上是增函数，因为a是正实数，所以a＜2a，所以eaf(a)＜e2af(2a)，即f(a)＜eaf(2a)，又ea＞1，故f(a)，f(2a)大小不确定，故A错误；因为－a＜a，所以e－af(－a)＜eaf(a)，即e2af(a)＞f(－a)，故B正确；因为a＞0，所以eaf(a)＞e0f(0)＝f(0)，即f(a)＞eq \f(f0,ea)，又ea＞1，所以f(a)，f(0)大小不确定，故C错误，D正确．故选B、D．
8．某市出租车的计价标准为1．2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1．2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11．2，表示4 km处的车费，公差d＝1．2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11．2＋(11－1)×1．2＝23．2(元)．
答案：23．2
9．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)＞3，且f(3)＝4，则不等式xf(x)＞3x2－5x的解集为________．
解析：构造函数g(x)＝f(x)－3x，x＞0，则g′(x)＝f′(x)－3＞0，故函数g(x)为(0，＋∞)上的增函数，则g(3)＝f(3)－9＝－5．当x＞0时，由xf(x)＞3x2－5x可得f(x)＞3x－5，即f(x)－3x＞－5，即g(x)＞g(3)，解得x＞3，所以不等式xf(x)＞3x2－5x的解集为(3，＋∞)．
答案：(3，＋∞)
10．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcs 120°，
解得x＝2．故AC＝28，BC＝20．
根据正弦定理得eq \f(BC,sin α)＝eq \f(AC,sin 120°)，
解得sin α＝eq \f(20sin 120°,28)＝eq \f(5\r(3),14)．
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为eq \f(5\r(3),14)．
11．在一次抽样调查中测得5组成对数据，其数值及散点图如下：
(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，试建立y与x的经验回归方程；(计算结果保留整数)
(3)在(2)的条件下，设z＝y＋x且x∈[4，＋∞)，试求z的最小值．
解：(1)由题中散点图可以判断，y＝c＋k·x－1更适宜作为y关于x的经验回归方程类型．
(2)令t＝x－1，则y＝c＋kt，构造新的成对数据，如下表：
易知y与t存在线性相关关系．
计算得eq \(t,\s\up6(－))＝1．55，eq \(y,\s\up6(－))＝7．2，eq \(k,\s\up6(^))≈4，eq \(c,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(k,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－))＝1，
所以y关于t的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝4t＋1．
所以y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(4,x)＋1．
(3)由(2)得z＝y＋x＝eq \f(4,x)＋x＋1，易得z＝eq \f(4,x)＋x＋1在x∈[4，＋∞)上单调递增函数，即最小值为6．
x
0．25
0．5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
x
0．25
0．5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
t
4
2
1
0．5
0．25
y
16
12
5
2
1