2025年高考数学一轮复习-1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-专项训练【含解析】

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一、选择题
1．已知命题p：∀x≥0，cs x≤ex，则¬p为( )
A．∀x≥0，cs x>ex
B．∃x0<0，cs x0>ex0
C．∀x<0，cs x>ex
D．∃x0≥0，cs x0>ex0
2．已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，x－sin x>0；命题q：∀a∈R，f(x)＝lg(a2＋2)x在定义域上是增函数．则下列命题中的真命题是( )
A．p∧q B．¬p∧q
C．p∧¬q D．¬(p∨q)
3. 已知命题p：∀x∈N，x2<2x；命题q：∃x∈R，sin x＋cs x>1，下列命题中为假命题的是( )
A．p∨q B．(¬p)∧q
C．(¬p)∨(¬q) D．p∨(¬q)
4．下列结论错误的是( )
A．若“p∧q”为真命题，则p、q均为真命题
B．“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件
C．命题“若x＝4，则x2－2x－8＝0”的否命题是“若x≠4，则x2－2x－8≠0”
D．命题“∀x≥0，都有3x≥1”的否定是“∃x<0，使得3x<1”
5．已知命题p：∃x0∈R，sin x0<1；命题q：当α，β∈R时，“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件．则下列命题中的真命题是( )
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．¬(p∨q)
6．已知命题p：∃x，y∈R，sin (x＋y)＝sin x＋sin y；命题q：∀x，y∈R，sin x·sin y≤1，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．¬p∧q
C．p∧(¬q) D．¬(p∨q)
7．下列结论错误的是( )
A．“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的充要条件
B．若m∈R，则方程x2＋x－m＝0一定有实根是假命题
C．在△ABC中，若“A>B”则“sin A>sin B”
D．命题p：“∃x0∈R，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －2x0＋4>0”，则¬p：“∀x∈R，x2－2x＋4<0”
8．已知命题p：∃x0∈R，ln x0＝1.命题q：某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等．下列命题中的假命题是( )
A．p∧(¬q) B．p∨q
C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)
9．已知命题p：在△ABC中，若cs A＝cs B, 则A＝B；命题q：向量a与向量b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.下列四个命题是真命题的是( )
A．p∧(¬q) B．(¬p)∧(¬q)
C．(¬p)∧(¬q) D．p∧q
二、填空题
10．命题“∃x∈(0， eq \f(π,2) )，tan x>sin x”的否定是________．
11．若命题“∃x0∈R，使得3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋2ax0＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
12．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，则实数m的取值范围是________．
[能力提升]
13．已知不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y≥0，,x＋y－1≤0,x≥0)) ，构成的平面区域为D.命题p：对∀(x，y)∈D，都有3x－y≥0；命题q：∃(x，y)∈D，使得2x－y>2.下列命题中，为真命题的是( )
A．(¬p)∧(¬q) B．p∧q
C．(¬p)∧q D．p∧(¬q)
14．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD(其中 eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) )中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧的长度分别为l，m，n，给出以下两个命题：p：l＝m＋n，q：m2＝l·n.则下列选项为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(¬q)
C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)
15．若“∃x0∈[－1，1]，x0＋2－a>0”为假命题，则实数a的最小值为________．
16．命题“∃x∈R，ex＋1参考答案与解析
1．D 由否定的定义可知，¬p为∃x0≥0，cs x0>ex0.
2．A 设y＝x－sin x，x>0，y′＝1－cs x≥0，
故y＝x－sin x，x>0为增函数，则x－sin x>0－sin 0＝0，故命题p：∀x∈(0，＋∞)，x－sin x>0为真命题，则¬p为假命题，因为a2＋2≥2>1 ，故命题q：∀a∈R，f(x)＝lg(a2＋2)x在定义域上是增函数为真命题，¬q为假命题，所以p∧q为真命题，¬p∧q为假命题，p∧¬q为假命题，p∨q为真命题，则¬(p∨q)为假命题．
3．D 当x＝2时，x2＝2x，所以命题p为假命题，则¬p为真命题，
所以x＝ eq \f(π,4) 时，sin eq \f(π,4) ＋cs eq \f(π,4) ＝ eq \r(2) >1，所以命题q为真命题，则¬q为假命题，所以p∨q为真命题，(¬p)∧q为真命题，(¬p)∨(¬q)为真命题，p∨(¬q)为假命题．
4．D 若“p∧q”为真命题，则p，q均为真命题，故A正确；由“ac2>bc2”可推出“a>b”，当c＝0时ac2＝bc2，此时由“a>b”不能推出“ac2>bc2”，所以“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件，故B正确；命题“若x＝4，则x2－2x－8＝0”的否命题是“若x≠4，则x2－2x－8≠0”．故C正确；命题“∀x≥0，都有3x≥1”的否命题是“∃x≥0，使得3x<1”，故D错误．
5．A 对于命题p，由于函数y＝sin x∈[－1，1]，故∃x0∈R，sin x0<1，是真命题；对于命题q：当“α＝β”时“sin α＝sin β”成立，反之不然，故“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，是真命题．故p∧q是真命题，(¬p)∧q，p∧(¬q)，¬(p∨q)均为假命题．
6．A 当x＝0，y＝ eq \f(π,2) 时，sin (x＋y)＝sin x＋sin y成立所以命题p为真命题，则¬p是假命题；因为∀x，y∈R，所以sin x≤1，sin y≤1，则sin x·sin y≤1，故命题q为真命题，则¬q是假命题；所以p∧q是真命题，(¬p)∧q是假命题，p∧(¬q)是假命题，¬(p∨q)是假命题．
7．D ∵x2－4x＋4＝(x－2)2，∴x＝2⇔x2－4x＋4＝0，
∴A正确﹔∵m∈R时，Δ＝1＋4m，不能确定方程x2＋x－m＝0是否有根，∴B正确；
在△ABC中，∵A>B⇒a>b⇒sin A>sin B，∴ C正确；对于D，¬p：∀x∈R，x2－2x＋4≤0，∴D错误．
8．C 对于命题p：∃x0∈R，ln x0＝1，取x0＝e，则ln e＝1，所以命题p为真命题．
对于命题q，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.0)与落在(10.2，10.3)的概率不相等，则该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率不相等，所以命题q为假命题．
则p∧(¬q)，p∨q，(¬p)∨(¬q)为真命题，(¬p)∧(¬q)为假命题．
9．A 命题p：在△ABC中，若cs A＝cs B，由于余弦函数在(0，π)上单调递减，则A＝B，故命题p为真命题；
命题q：向量a与向量b相等的充要条件是向量a与向量b大小相等，方向相同，则命题q是假命题，则p∧(¬q)为真命题．
10．∀x∈(0， eq \f(π,2) )，tan x≤sin x
11．[－ eq \r(3) ， eq \r(3) ]
解析：命题“∃x0∈R，使得3x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋2ax0＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－ eq \r(3) ≤a≤ eq \r(3) .
12．(－∞，－1)
解析：由“p或q”为真命题，得p为真命题或q为真命题．
当p为真命题时，设方程x2＋mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，
则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＝m2－4>0，,x1＋x2＝－m>0，,x1x2＝1>0，))
解得m<－2；
当q为真命题时，有Δ′＝16(m＋2)2－16<0，
解得－3综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1).
13．B 不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分(包含边界)所示．
根据不等式组表示的平面区域结合图形可知，命题p为真命题，命题q也为真命题，所以根据复合命题真假判断结论可得ACD错误，B选项正确．
14．A 根据题意可得圆弧对应的半径分别为AB，BC－AB，AB－DG，也即AB，BC－AB，2AB－BC，
则弧长l，m，n分别为 eq \f(π,2) AB， eq \f(π,2) (BC－AB)， eq \f(π,2) (2AB－BC)，
则m＋n＝ eq \f(π,2) (BC－AB)＋ eq \f(π,2) (2AB－BC)＝ eq \f(π,2) AB＝l，故命题p为真命题；
ln＝ eq \f(π2,4) (2AB2－AB×BC)＝ eq \f(π2,4BC2) (2× eq \f(AB2,BC2) － eq \f(AB,BC) )＝ eq \f(π2,8BC2) (7－3 eq \r(5) )，
而m2＝ eq \f(π2,4BC2) (1－ eq \f(AB,BC) )2＝ eq \f(π2,8BC2) (7－3 eq \r(5) )，故ln＝m2，命题q为真命题．
则p∧q为真命题，p∧(¬q)，(¬p)∧q，(¬p)∧(¬q)均为假命题．
15．3
解析：“∃x0∈[－1，1]，x0＋2－a>0”的否定为“∀x∈[－1，1]，都有x＋2－a≤0”，
因为“∃x0∈[－1，1]，x0＋2－a>0”为假命题，
所以“∀x∈[－1，1]，都有x＋2－a≤0”为真命题，
所以a≥x＋2在x∈[－1，1]上恒成立，所以a≥3，
所以实数a的最小值为3.
16．(－∞，3]
解析：若命题“∃x∈R，ex＋1则a≤(ex＋e－x＋1)min，
因为ex＋e－x＋1≥2 eq \r(ex·e－x) ＋1＝3，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，
所以(ex＋e－x＋1)min＝3，所以a≤3.