2025年高考数学一轮复习-4.3.1-对数的概念-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-4.3.1-对数的概念-专项训练【含解析】，共10页。

A. lg2x B. 12x C. lg12x D. 2x−2
2. 若15a=3 ,则a−lg51515= ( )
A. −1 B. 1 C. 15 D. 3
3. 已知函数fx=lgaxa>0,a≠1 ，则y=fx−1 的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知偶函数fx 在[0,+∞) 上单调递减，若a=flg32 ，b=f20.2 ，c=f−lne ，则( )
A. c>a>b B. b>c>a C. a>c>b D. b>a>c
5. （多选）已知函数fx 的图象与gx=2x 的图象关于直线y=x 对称，令ℎx=f1−x ，则关于函数ℎx ，下列说法正确的是( )
A. ℎx 的图象关于原点对称B. ℎx 的图象关于y 轴对称
C. ℎx 的最大值为0D. ℎx 在区间−1,1 上单调递增
6.已知函数fx 满足：①定义域为−∞,0∪0,+∞ ；②值域为R ；③f−x=fx ，则一个满足上述条件的函数fx= .
7.已知函数fx=lgmx−1+1m>0,m≠1 的图象恒过定点P ，且点P 在直线ax+by=1a>0,b>0 上，则ab 的最大值为 .
8. 设函数fx 是定义在R 上的偶函数，当x≥0 时，fx=lg3x+1−1 ，则不等式fx>0 的解集为 .
9. 已知fx=lgax+lga4−x （a>0 ，且a≠1 ），且f2=2 .
（1） 求a 的值及fx 的定义域；
（2） 求fx 在[1,72] 上的值域.
[B级 综合运用]
10.已知定义在R 上的奇函数fx 在(−∞,0] 上单调递增，且f−2=−2 ，则不等式flgx−flg1x>4 的解集为( )
A. 0,1100 B. 1100,+∞ C. 0,100 D. 100,+∞
11. 若函数fx=lgax2+32x （a>0 ，且a≠1 ）在区间12,+∞ 内恒有fx>0 ，则fx 的单调递增区间为( )
A. 0,+∞ B. 2,+∞ C. 1,+∞ D. 12,+∞
12. 定义：区间[x1,x2]x11 的定义域为[m,n]m13. 已知函数fx=lga8−ax （a>0 ，且a≠1 ），若fx>1 在区间[1,2] 上恒成立，则实数a 的取值范围是 .
14. 已知函数fx=lg212x+a .
（1） 若函数fx 是R 上的奇函数，求a 的值；
（2） 若函数fx 在区间[0,1] 上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.
[C级 素养提升]
15. （多选）若2a+1=3 ,2b=83 ,则下列结论正确的是( )
A. a+b=3 B. b−a<1 C. 1a+1b>2 D. 3416.设函数gx=lg3x ，且函数y=fx 的图象与y=gx 的图象关于y=x 对称.
（1） 求函数y=fx 的解析式；
（2） 是否存在实数m>0 ，使得对∀x∈R ，不等式2m−3
2025年高考数学一轮复习-对数的概念-专项训练【解析版】
[A级 基础达标]
1. 若函数y=fx 是函数y=ax （a>0 ，且a≠1 ）的反函数，且f2=1 ,则fx= ( A )
A. lg2x B. 12x C. lg12x D. 2x−2
[解析]选A.由题意知fx=lgaxx>0 .因为f2=1 ,所以lga2=1 .所以a=2 .所以fx=lg2x .
2. 若15a=3 ,则a−lg51515= ( B )
A. −1 B. 1 C. 15 D. 3
[解析]选B.因为15a=3 ,所以−a=lg53 ，
所以a−lg51515=a−−12lg53+112lg55=a+−a+1=1 .故选B.
3. 已知函数fx=lgaxa>0,a≠1 ，则y=fx−1 的图象可能是( B )
A.
B.
C.
D.
[解析]选 B.令y=gx=fx−1=lgax−1 ,因为g−x=lga−x−1=gx ,所以gx 为偶函数，排除A ，D ；当x=3 时，y=g3=lga3−1=lga2 ，当x=32 时，y=g32=lga32−1=−lga2 ,所以x=3 与x=32 对应的函数值异号，排除
C.故选 B.
4.已知偶函数fx 在[0,+∞) 上单调递减，若a=flg32 ，b=f20.2 ，c=f−lne ，则( C )
A. c>a>b B. b>c>a C. a>c>b D. b>a>c
[解析]选C.因为0flne>f20.2 .又f−lne=flne ，即flg32>f−lne>f20.2 ，所以a>c>b .故选C.
5. （多选）已知函数fx 的图象与gx=2x 的图象关于直线y=x 对称，令ℎx=f1−x ，则关于函数ℎx ，下列说法正确的是( BC )
A. ℎx 的图象关于原点对称B. ℎx 的图象关于y 轴对称
C. ℎx 的最大值为0D. ℎx 在区间−1,1 上单调递增
[解析]选BC.由题意得fx=lg2x ,则ℎx=lg21−x ，为偶函数，故A错误，B正确；
根据偶函数性质可知D错误；
因为1−x≤1 ,所以ℎx≤lg21=0 ，故C正确.
6.已知函数fx 满足：①定义域为−∞,0∪0,+∞ ；②值域为R ；③f−x=fx ，则一个满足上述条件的函数fx= lnx （答案不唯一）.
[解析]fx=lnx 的定义域为−∞,0∪0,+∞ ，值域为R ，且f−x=ln−x=lnx=fx ，因此fx=lnx 符合题意.
7.已知函数fx=lgmx−1+1m>0,m≠1 的图象恒过定点P ，且点P 在直线ax+by=1a>0,b>0 上，则ab 的最大值为18 .
[解析]由题意，得fx 恒过点P2,1 ，又点P 在直线ax+by=1a>0,b>0 上，
所以2a+b=1≥22ab ，则ab≤18 ，当且仅当2a=b=12 时等号成立，所以ab 的最大值为18 .
8. 设函数fx 是定义在R 上的偶函数，当x≥0 时，fx=lg3x+1−1 ，则不等式fx>0 的解集为−∞,−3∪3,+∞ .
[解析]当x≥0 时，由fx=lg3x+1−1>0 ，得x>3 .又因为函数fx 为偶函数，所以不等式fx>0 的解集为−∞,−3∪3,+∞ .
9. 已知fx=lgax+lga4−x （a>0 ，且a≠1 ），且f2=2 .
（1） 求a 的值及fx 的定义域；
[答案]解：由f2=2 得，lga2+lga4−2=2 ，解得a=2 ，所以fx=lg2x+lg24−x .
由x>0，4−x>0， 解得0（2） 求fx 在[1,72] 上的值域.
[答案]由（1）及条件知fx=lg2x+lg24−x=lg2[x4−x]=lg2[−x−22+4] ，
设tx=−x−22+4 ，x∈[1,72] ，则当x=2 时，txmax=4 ；
当x=1 时，tx=3 ；当x=72 时，tx=74 ，
所以当x∈[1,72] 时，tx∈[74,4] ，
所以fxmax=lg24=2 ，fxmin=lg274=lg27−2 ，
所以fx 在[1,72] 上的值域为[lg27−2,2] .
[B级 综合运用]
10.已知定义在R 上的奇函数fx 在(−∞,0] 上单调递增，且f−2=−2 ，则不等式flgx−flg1x>4 的解集为( D )
A. 0,1100 B. 1100,+∞ C. 0,100 D. 100,+∞
[解析]选D.因为函数fx 为奇函数，所以f−x=−fx ，又f−2=−2 ，所以f2=2 ，所以不等式flgx−flg1x>4 ，可化为2flgx>4=2f2 ，即flgx>f2 ，
又因为fx 在(−∞,0] 上单调递增，所以fx 在R 上单调递增，所以lgx>2 ，解得x>100 .故选D.
11. 若函数fx=lgax2+32x （a>0 ，且a≠1 ）在区间12,+∞ 内恒有fx>0 ，则fx 的单调递增区间为( A )
A. 0,+∞ B. 2,+∞ C. 1,+∞ D. 12,+∞
[解析]选A.令M=x2+32x ,当x∈12,+∞ 时，M∈1,+∞ ，恒有fx>0 ,所以a>1 ，所以函数y=lgaM 为增函数，又M=x+342−916 ,因为M 的单调递增区间为−34,+∞ .又x2+32x>0 ，所以x>0 或x<−32 ，所以函数fx 的单调递增区间为0,+∞ .
12. 定义：区间[x1,x2]x11 的定义域为[m,n]m[解析]由题意可作出函数y=lgaxa>1 的大致图象，如图所示，在区间[1a,1] 和区间[1,a] 上函数y=lgaxa>1 的值域都是[0,1] .因为a−1−1−1a=a+1a−2>0a>1 ，所以区间[1a,1] 的长度相对于区间[1,a] 来说较小，故1−1a=34 ,解得a=4 .
13. 已知函数fx=lga8−ax （a>0 ，且a≠1 ），若fx>1 在区间[1,2] 上恒成立，则实数a 的取值范围是1,83 .
[解析]当a>1 时，fx=lga8−ax 在[1,2] 上是减函数，由fx>1 在区间[1,2] 上恒成立，得fxmin=lga8−2a>1 ，解得11 在区间[1,2] 上恒成立，得fxmin=lga8−a>1 ，解得a>4 ,故a 不存在.综上可知，实数a 的取值范围是1,83 .
14. 已知函数fx=lg212x+a .
（1） 若函数fx 是R 上的奇函数，求a 的值；
[答案]解：若函数fx 是R 上的奇函数，则f0=0 ,
所以lg21+a=0 ,所以a=0 .
经检验，当a=0 时，fx=−x 是R 上的奇函数.
所以a=0 .
（2） 若函数fx 在区间[0,1] 上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.
[答案]由已知得函数fx 是减函数，故fx 在区间[0,1] 上的最大值是f0=lg21+a ，最小值是f1=lg212+a .
由题意得lg21+a−lg212+a≥2 ，
则lg21+a≥lg24a+2 .
所以1+a≥4a+2,4a+2>0,
解得−12故实数a 的取值范围是(−12,−13] .
[C级 素养提升]
15. （多选）若2a+1=3 ,2b=83 ,则下列结论正确的是( BCD )
A. a+b=3 B. b−a<1 C. 1a+1b>2 D. 34[解析]选BCD.由2a+1=3 ,2b=83 ,得2a+1⋅2b=8 ,所以a+1+b=3 ,则a+b=2 ,故A不正确；
因为2a+1=2⋅2a=3 ,所以2<2a=32<2 ,所以b>1>a>12 .
因为2b2a=2b−a=169<2 ，所以b−a<1 ，故B正确；
所以1a+1b=2ab>2 ,故C正确；
ab=a2−a=−a−12+1 ,
因为12所以−a−12+1∈34,1 ，
所以34综上所述，选BCD.
16.设函数gx=lg3x ，且函数y=fx 的图象与y=gx 的图象关于y=x 对称.
（1） 求函数y=fx 的解析式；
[答案]解：由题意得，fx 与gx 互为反函数.因为gx=lg3x ，所以fx=3x .
（2） 是否存在实数m>0 ，使得对∀x∈R ，不等式2m−3[答案]存在.不等式2m−3令t=3xt>0 ，则关于t 的不等式2m−30 在0,+∞ 上恒成立.
令ℎt=mt−2m+3 ，t∈0,+∞ ，因为m>0 ，所以ℎt 在0,+∞ 上单调递增，由题意知ℎ0=−2m+3≥0 ，解得m≤32 ，所以0所以实数m 的取值范围是(0,32] .