新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题07 三角函数 7.1任意角的三角函数（2份打包，原卷版+解析版）

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知识梳理.任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1．
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan_α(α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z)．
5．三角函数的诱导公式
题型一. 同角之间的关系
1．已知角α的终边经过点P（1，m），且sinα，则csα＝（ ）
A．±B．C．D．
【解答】解：因为角a的终边经过点P（1，m），所以OP
因为sinα，所以：；
所以m＝﹣3．（正值舍）
故csα；
故选：C．
2．已知a是第二象限角，，则csα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵α为第二象限角，tanα，
∴csα．
故选：B．
3．已知，，则sinα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，，
∴csα，即cs2α，
又∵sin2α+cs2α＝1，
∴sin2α1，即sin2α+sinα0，
解得sinα，负值舍去．
故选：C．
4．已知sinθ+csθ（0＜θ），则sinθ﹣csθ的值为 ．
【解答】解：∵sinθ+csθ0，0＜θ，
∴（sinθ+csθ）2＝sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ＝1+2sinθcsθ，sinθ﹣csθ＜0，
∴2sinθcsθ，
∴（sinθ﹣csθ）2＝sin2θ+cs2θ﹣2sinθcsθ＝1﹣2sinθcsθ，
则sinθ﹣csθ．
故答案为：．
题型二. 齐次式
1．已知tanα＝2，则的值为（ ）
A．9B．6C．﹣2D．﹣3
【解答】解：因为tanα＝2，
则9．
故选：A．
2．已知tanα，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：B．
3．已知tanα＝﹣1，则2sin2α﹣3cs2α＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为tanα＝﹣1，
则2sin2α﹣3cs2α．
故选：B．
4．已知2cs2α﹣3sin2α＝1，α∈（，﹣π），那么tanα的值为（ ）
A．2B．﹣2C．D．
【解答】解：因为2cs2α﹣3sin2α＝2（1﹣sin2α）﹣3sin2α＝1，
可得sin2α，cs2α，
因为α∈（，﹣π），
所以sinα，csα，可得tanα．
故选：D．
题型三.
1．已知csα﹣3sinα＝0，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为csα﹣3sinα＝0，
所以csα＝3sinα，
则．
故选：C．
2．已知sinα+csα，则sinα•csα＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：已知sinα+csα，
两边平方可得：sin2α+cs2α+2sinαcsα，整理得：1+2sinα•csα，
解得：sinα•csα．
故选：C．
3．已知，则（ ）
A．﹣6B．﹣7C．﹣8D．﹣9
【解答】解：由得到：，
得，
所以．
故选：C．
4．若α∈（，π），2sinα+csα，则tanα＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【解答】解：由2sinα+csα，
两边平方，可得：（2sinα+csα）2，即4sin2α+4sinαcsα+cs2α．
∴，
∴，则11tan2α+20tanα﹣4＝0．
解得：tanα＝﹣2或tanα．
∵α∈（，π），
∴tanα＝﹣2．
故选：A．
题型四. 诱导公式
1．已知sin（π+α），则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵sin（π+α）sinα，∴sinα，
∴sinα，
故选：C．
2．已知sin（α），则cs（π+α）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，
∴csα，
∴cs（π+α）＝﹣csα．
故选：A．
3．，则 ．
【解答】解：∵αα＝π，
∴α＝π﹣（α），
即sin（α）＝sin[π﹣（α）]＝sin（α），
故答案为：．
4．已知，则 0 ．
【解答】解：∵（θ）+（θ），
∴θ（θ），
∴cs（θ）+sin（θ）
＝cs（θ）+sin[（θ）]
＝cs（θ）﹣cs（θ）
＝0．
故答案为：0．
课后作业.任意角的三角函数
1．已知角θ的终边上有一点P（﹣4a，3a）（a≠0），则2sinθ+csθ的值是（ ）
A．B．C．或D．不确定
【解答】解：角α的终边经过点P（﹣4a，3a），故|OP|5|a|；
由三角函数的定义知
当a＞0时，sinα，csα，得2sinα+csα；
当a＜0时，sinα，csα，得2sinα+csα．
故选：C．
2．已知tanA＝2，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为tanA＝2，
所以．
故选：D．
3．已知A是三角形的内角，且sinA+csA，则tanA等于 4 ．
【解答】解：A是三角形的内角，sinA+csA，又因为sin2A+cs2A＝1，
所以2sinAcsA，A为锐角，
所以，
所以tan2A﹣8tanA+1＝0，
所以tanA＝4．
故答案为：4．
4．已知2sinθ﹣csθ＝1，则的值为（ ）
A．B．0C．2D．0或2
【解答】解：由题意可得2sinθ﹣1＝csθ，
两边同时平方可得，4sin2θ﹣4sinθ+1＝cs2θ＝1﹣sin2θ，
则5sin2θ﹣4sinθ＝0，
∴sinθ＝0，csθ＝﹣1或sin，cs，
当sinθ＝0，csθ＝﹣1时，则0，
或sin，cs，则2．
故选：D．
5．已知：，则的值为 ．
【解答】解：∵，
∴11，
故答案为 ．
6．已知，其中α是第三象限角，且，则f（α）＝ ．
【解答】解：∵tanα，
又∵，
∴sinα，
∵α是第三象限角，
∴csα，
∴f（α）＝﹣tanα．
故答案为：．
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180)rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs_α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限