新高考数学一轮复习题型归纳讲义专题14计数原理 14.2二项式定理（2份打包，原卷版+解析版）

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知识梳理.二项式定理
1.二项式定理的概念:
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋ Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.展开式中二项式系数的性质:
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
3．赋值法求展开式系数和
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
4．二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n＋1,2)项与第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等并最大．
题型一. 二项式展开后的某项
1．二项式的展开式中，常数项为 112 （用数字作答）
【解答】解：依题意，二项式的展开式的第k+1项为：Tk+1•，
由80解得，k＝6，
所以常数项为：112，
故答案为：112．
2．二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有（ ）
A．4项B．7项C．5项D．6项
【解答】解：二项式的展开式的通项为
．
∵0≤r≤40，且r∈N，
∴当r＝0、6、12、18、24、30、36时，∈Z．
∴二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．
故选：B．
3．展开式中二项式系数最大的项为 ．（求出具体的项）
【解答】解：当n＝8时，展开式中二项式系数最大的项是T5，
∴T5的项
＝C84（ ）4（）4
．
展开式中二项式系数最大的项是．
故答案为
4．（x）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第 4 项．
【解答】解：由题意可得，∁n2﹣∁n1＝44，可求n＝11，故（x）n的展开式的通项公式为Tr+1•，
令 0，求得r＝3，可得展开式中的常数项是第第四项，
故答案为：4．
题型二. 多项展开式中项的问题
1．（1﹣x）（1+x+x2）2展开式中，x2项的系数为 1 ．
【解答】解：（1﹣x）（1+x+x2）2＝（1﹣x3）（1+x+x2），
故x2项的系数为1，
故答案为：1．
2．（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（ ）
A．10B．20C．30D．60
【解答】解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式Tr+1y5﹣r（x2+x）r，
令5﹣r＝3，解得r＝2．
（x2+x）2＝x4+2x3+x2，
∴x3y3的系数为220，
故选：B．
3．（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为（ ）
A．﹣30B．120C．240D．420
【解答】解：（x+2y+z）6的展开式的通项公式：Tr+1（2y）6﹣r（x+z）r＝26﹣ry6﹣r（x+z）r，
（x+z）r的展开式的通项公式：Tk+1xr﹣kzk．
可得两个通项公式相乘可得展开式的通项形式：26﹣ry6﹣r•xr﹣kzk．
令r﹣k+1＝2，6﹣r＝3，k＝2，或r﹣k＝2，6﹣r+1＝3，k＝2．
解得k＝2，r＝3．或k＝2，r＝4．
∴x2y3z2的系数为120．
故选：B．
4．已知（x+1）4+（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a8（x﹣1）8，则a3＝（ ）
A．64B．48C．﹣48D．﹣64
【解答】解：由（x+1）4+（x﹣2）8＝[（x﹣1）+2]4+[（x﹣1）﹣1]8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2…+a8（x﹣1）8，
得，
∴．
故选：C．
题型三. 二项式系数和、展开式系数和
1．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝ 4 ，展开式中的常数项是 24 ．
【解答】解：由题意知：得2n＝16，∴n＝4；
展开式的通项为Tr+1，令4﹣2r＝0得r＝2
∴展开式中的常数项为24
故答案为：4，24
2．已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 512 ．
【解答】解：∵（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
∴，∴n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n﹣1＝29＝512，
故答案为：512．
3．若（x﹣m）5（m为常数）展开式中的所有项系数和为1024，则实数m的值为 ﹣2 ，展开式中的常数项为 252 ．
【解答】解：令x＝1得：
（2﹣m）5＝1024，
所以m＝﹣2，
则（x2）5展开式中的常数项为25••23••21＝252，
故答案为：252．
4．已知二项式（x+y）n的展开式的二项式项的系数和为64，（2x+3）n＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，则a2＝（ ）
A．20B．30C．60D．80
【解答】解：由二项式（x+y）n的展开式中的二项式系数和为64可知2n＝64，n＝6，
则（2x+3）n＝（2x+3）6＝[2（x+1）+1]6＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，
则a2•22•14＝60．
故选：C．
题型四. 二项式定理综合
1．若二项式（2﹣x）n（n∈N*）的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a，所有项的二项式系数之和是b，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：取x＝﹣1，得a＝3n，
又b＝2n，∴，
∴．
故选：B．
2．已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，系数最大的项为20000，则x＝ 10，或 ．
【解答】解：由题意可得，末三项的二项式系数分别为，，，∴22，
即 22，求得n＝6．
故通项公式为 Tr+1•x（6﹣r）lgx，显然当r＝3时，系数最大为20，
故有 •（xlgx）3＝20000，∴x3lgx＝1000，∴3（lgx）2＝3，
求得 lgx＝±1，可得x＝10，或 x，
故答案为：10，或．
3．在二项式（x﹣1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 ﹣462 （结果用数值表示）
【解答】解：在二项式（x﹣1）11的展开式中，通项公式为Tr+1•x11﹣r•（﹣1）r，要使此项的系数最小，需r为奇数，且最大．
根据二项式系数的性质可得，当r＝5或6时，最大，故系数最小的项为第6项（r＝5），
等于462，
故答案为﹣462．
4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|＝（ ）
A．0B．1C．32D．﹣1
【解答】解：Tr+1（﹣1）rxr，
当r为奇数时，0．当r为偶数时，0．
∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|＝a0+a1+a2+a3+a4+a5．
对，
令x＝1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5＝（1﹣1）2＝0．
故选：A．
题型五. 杨辉三角
1．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
1 2 3 4 5 …2013 2014 2015 2016
3 5 7 9 …4027 4029 4031
8 12 16 …8056 8060
20 28 …16116
该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014
【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，
故第1行的第一个数为：2×2﹣1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…
第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，
第2016行只有M，
则M＝（1+2016）•22014＝2017×22014，
故选：B．
2．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第9行第4个数（从左往右数）为 ．
【解答】解：设第n行第m个数为a（n，m），
由题意知a（6，1），a（7，1），a（8，1），a（9，1）
∴a（7，2）＝a（6，1）﹣a（7，1），a（8，2）＝a（7，1）﹣a（8，1），a（9，2）＝a（8，1）﹣a（9，1），
a（8，3）＝a（7，2）﹣a（8，2），a（9，3）＝a（8，2）﹣a（9，2）
a（9，4）＝a（8，3）﹣a（9，3）
故答案为：．
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课后作业. 二项式定理
1．在二项式（x）9展开式中，常数项是 16 ，系数为有理数的项的个数是 5 ．
【解答】解：二项式的展开式的通项为．
由r＝0，得常数项是；
当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，
∴系数为有理数的项的个数是5个．
故答案为：，5．
2．已知二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，则x2项的系数为（ ）
A．28B．36C．56D．84
【解答】解：二项式（1+x）n展开式中系数最大的只有第5项，∴n＝8．
通项公式T2+1x2＝28x2．
则x2项的系数为28．
故选：A．
3．已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是 ﹣4 ．
【解答】解：因为的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，
所以，所以n＝12，
则展开式的通项公式为：Tr+1•x12﹣r•（）r＝（）r••x12﹣2r，
令12﹣2r＝10，可得r＝1，
所以含x10项的系数是：（）4．
故答案为：﹣4．
4．的展开式中，x3y3的系数为 5 ．
【解答】解：∵（x）（x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5），
故它的展开式中，x3y3的系为10﹣5＝5，
故答案为：5．
5．（x2﹣3x）（1）5的展开式中常数项为（ ）
A．﹣30B．30C．﹣25D．25
【解答】解：∵（x2﹣3x）（1）5＝（x2﹣3x）•（1），
∴其展开式中常数项为x2•3•25．
故选：C．
6．已知（1+x）6＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a6（1﹣x）6，则下列选项正确的有（ ）
A．a0＝1B．a6＝1
C．a0+a1+…+a6＝64D．a1+a3+a5＝﹣364
【解答】解：∵（1+x）6＝[﹣2+（1﹣x）]6＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a6（1﹣x）6，
令x＝1，可得a0＝64，故A错误；
a61，故B正确；
令x＝0，可得a0+a1+…+a6＝1 ①，故C错误；
令x＝2，可得a0﹣a1+…+a6＝36②，
用①②，并除以2，可得a1+a3+a5364，故D正确，
故选：BD．
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