吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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满分150分 时间：120分值
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，，则
D 若，，则
3. 从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（ ）
A B. C. D.
4. 如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（ ）

A 1B. 3C. D.
5. 任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为，则，定义事件：，，，则（ ）
A. B.
C. D. 、相互独立
6. 已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ）
A. B. C. D.
7. 下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）
A. 千米B. 千米
C. 千米D. 千米
二、多选题（每题6分）
9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 与的夹角余弦值为D. 向量在向量上的投影向量为
10. 在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（ ）
A. 若，则有最小值8
B. 若，则A点轨迹是一个正方形
C. 若，则有最大值15
D. 若，则点A的轨迹所构成区域的面积为
11. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 直线与平面所成角的正弦值
D. 内切球的半径为
三、填空题（每题5分）
12. 已知，则直线：和直线：的位置关系为______．
13. 如图，四边形，都是边长为1正方形，,则，两点间的距离是______．
14. 在直三棱柱中，，底面是边长为6的正三角形，则三棱柱外接球的表面积为______；若是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为______．
四、解答题
15. 已知空间中三点，，，设，.
（1）已知，求的值；
（2）若，且∥，求的坐标.
16. 设直线l的方程为
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
（3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.
17. 2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知
（1）若 ，求此花卉布展区域总面积；
（2）求证： 为一个定值；
（3）在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围
18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；
（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
19. 如图，在四棱锥中，已知底面矩形，，平面平面.

（1）求证：平面；
（2）若，点在棱上，且二面角的大小为.
①求证：；
②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.