黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

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试卷满分:150分 考试时间：8:00—10:00
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知随机变量的分布列如下:
设，则的数学期望的值是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与变量y呈正相关B. 变量x与变量y的相关性变强
C. 残差平方和变大D. 样本相关系数r变大
3. 函数y=fx的图象如图所示，f'x是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A 30种B. 60种C. 120种D. 24种
5. 已知随机变量.若，设事件“”，事件“”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ）
附:，
A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
7. 如图，由观测数据 的散点图可知， 与的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于的回归方程 . 已知 ，，则 （ ）

A B. C. 1D.
8. 当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

若在的展开式中，的系数为，则实数a的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A. B.
C D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 回归分析中，线性相关系数的取值范围为
B. 回归分析中，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好
D. 在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）
11. 某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ）
A.
B. 小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和
C. 小王入职后第20个月的工资为4550元
D. 小王入职后前15个月的工资之和是55350元
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数在处的切线方程为，则________．
13. 设是等比数列an的前项和，若，，则= ______.
14. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
16. 某大学组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
（1）从这9天的数据中任选2天的数据，以X表示2天中普及人数不少于200人的天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程.
参考数据：，，.附：对于一组数据（，），（，），……，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
17. 已知数列an满足：，且 .
（1）证明：数列bn是等比数列，并求数列an的通项公式；
（2）若，求的值.
18. 如图，四棱锥中，底面，，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的余弦值为，求.
19. 甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
（1）求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率；
（2）经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分，规定第一次由甲掷．记两人累计积分之和为的概率为
（i）证明：为等比数列；
（ⅱ）求 通项公式.
0
1
男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
时间x（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310