新高考数学一轮复习讲练测专题4.5《导数》单元测试卷（2份打包，原卷版+解析版）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·全国高二课时练习）已知f(x)＝sinx－csx，则 SKIPIF 1 < 0 ＝（ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】C
【解析】
根据求导公式直接求导即可.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ＝csx＋sinx，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝cs SKIPIF 1 < 0 ＋sin SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2．（2021·全国高三其他模拟（文））函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
求出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处导数值即可.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，积切线斜率为0.
故选：C.
3．（2021·江西抚州市·临川一中高三其他模拟（理））曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
根据导数的几何意义求出直线的斜率，再求出切点坐标，最后运用直线的点斜式方程就可以求出切线方程.
【详解】
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4．（2021·江苏高三其他模拟）函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
判断函数的奇偶性，通过求导判断函数的单调性，利用排除法即可得解．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
从而 SKIPIF 1 < 0 的图像关于原点对称.故排除B和C.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是增函数，故排除D.
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益，假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 SKIPIF 1 < 0 （单位：贝克）与时间 SKIPIF 1 < 0 （单位：天）满足函数关系 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为初始时该放射性同位素的含量，已知 SKIPIF 1 < 0 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 SKIPIF 1 < 0 ，则该放射性同位素含量为9贝克时衰变所需时间为（ ）．
A．20天B．30天C．45天D．60天
【答案】B
【解析】
求导 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 求解.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当该放射性同位素含量为9贝克时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
6．（2020·全国高二课时练习）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
先求解出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立求解出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
又函数在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 显然成立，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意．
故选：D.
7．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）若函数 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为0，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
先根据分段函数的形式确定出 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 时函数解析式的特点和导数的符号确定出 SKIPIF 1 < 0 图象的“局部对称性”以及单调性，结合 SKIPIF 1 < 0 所有零点的和为0可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到参数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时，易得 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 上关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.
又 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的所有零点之和为0，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有2个不同的零点，
且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
8．（2020·云南丽江市·高二期末（文））已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 满足：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
由已知条件构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在R上为奇函数，且单调递增，而由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 化简，再利用 SKIPIF 1 < 0 的单调性可解得不等式
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在R上为奇函数，且单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
把题中条件 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，根据条件构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数的单调性即可比较大小.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项D正确；选项B，C无法推出.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
10．（2021·辽宁高三其他模拟）已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的两个极值点，且函数 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个不同零点，则 SKIPIF 1 < 0 值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．0
【答案】BD
【解析】
依题意解得 SKIPIF 1 < 0 ，然后求得 SKIPIF 1 < 0 的极值. 要使函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 的极大值为0或 SKIPIF 1 < 0 的极小值为0，进而可得结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .
易求得函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 和极小值为 SKIPIF 1 < 0 .
要使函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点，则 SKIPIF 1 < 0 极大值 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 极小值 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：BD.
11．（2021·济南市·山东师范大学附中高二期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的极值点
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立
【答案】AC
【解析】
对于 SKIPIF 1 < 0 ，依题意转化可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，令 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可；对于 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入，判断函数的单调性，进而得出极值情况；对于 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入，利用零点存在性定理判断即可；对于 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入，由 SKIPIF 1 < 0 即可判断．
【详解】
对于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，易知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 （1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，无极值点，选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 （0） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，则 SKIPIF 1 < 0 仅有一个零点 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在性定理可知， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2021·福建上杭一中高三其他模拟）函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 存在唯一极小值点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
C．存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且只有一个零点
D．对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均存在零点
【答案】ABC
【解析】
直接法，逐一验证选项，选项 SKIPIF 1 < 0 ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项 SKIPIF 1 < 0 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点问题．
【详解】
解：直接法，逐一验证．
选项 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故切点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以切线斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即切线方程为： SKIPIF 1 < 0 选项 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
选项 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 存在唯一极值点，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以极小值 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 显然没有零点，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 则令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，有极大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，有极小值 SKIPIF 1 < 0
故选项 SKIPIF 1 < 0 ，任意 SKIPIF 1 < 0 均有零点，不符合，选项 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，有且只有唯一零点，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2021·浙江高二期末）曲线 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
求出导数，可得导函数的值域即为倾斜角的正切值取值范围，即可得出倾斜角范围.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设点P处切线的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））若函数 SKIPIF 1 < 0 在上有两个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
采用分离参数法，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 ，对函数 SKIPIF 1 < 0 求导，利用函数单调性，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，利用数形结合，即可求出结果.
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 知，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图像，如下图所示：
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15．（2021·陕西咸阳市·高三其他模拟）已知函数 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数m的取值范围是_______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据已知条件解方程得 SKIPIF 1 < 0 ，进而将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，再构造函数，求函数最值即可.
【详解】
∵函数 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 均有 SKIPIF 1 < 0 ①，
∴将 SKIPIF 1 < 0 换为x，得 SKIPIF 1 < 0 ②，
∴由①②，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴只需 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．（2021·辽宁大连市·高三二模）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则称数列 SKIPIF 1 < 0 为牛顿数列.如果函数 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为牛顿数列，设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ________；数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
根据题意，求得 SKIPIF 1 < 0 表达式，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表达式，可求得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列定义及通项、求和公式，即可得答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·河南洛阳市·高二月考（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 的极值．
【答案】（1）单调增区间为： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调减区间为： SKIPIF 1 < 0 ；（2）极大值40，极小值8．
【解析】
（1）对 SKIPIF 1 < 0 求导，令导函数大于0，得单增区间；令导函数小于0，得单减区间，
（2）由（1）中 SKIPIF 1 < 0 的即可得单调区间.
【详解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或2，
故 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为： SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，单调减区间为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）得：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有极大值40，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有极小值8．
18．（2021·江苏高二月考）设函数 SKIPIF 1 < 0
（1）若 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，求a，b的值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
（1）根据导数的几何意义求出a，再把切点坐标代入切线方程求出b；
（2）求出导函数 SKIPIF 1 < 0 ，对a分类讨论，利用导函数的正负与原函数的单调性的关系即可求出单调区间.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；所以 SKIPIF 1 < 0
把点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 .
即a，b的值为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
列表得：
所以， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
19．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，判断 SKIPIF 1 < 0 的单调性；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，利用导数证明函数的导数恒大于0，即可得到答案；
（2）利用参变分离将问题转化为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实根，讨论 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案；
【详解】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增.
（2）问题转化为方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不相等的实根，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不成立；
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
又当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
SKIPIF 1 < 0 实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
20．（2021·河南郑州市·高二期末（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
（1）求导，根据 SKIPIF 1 < 0 ，代入求得参数a；
（2）将不等式 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，从而问题变成函数值大小比较即为 SKIPIF 1 < 0 ．通过导数求得函数单调区间，进而转化为自变量大小比较，因含参数，后面利用分离参数，对新函数，利用导数研究其最值情况即可得到参数取值范围.
【详解】
解：（1）依题可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题设知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则上式即为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减．
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 只需 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
（2）若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）证明见解析．
【解析】
（1）求出函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数 SKIPIF 1 < 0 的增区间和减区间；
（2）利用（1）中的结论，数形结合可得出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）构造函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用导数证得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可证得所证不等式成立.
【详解】
（1）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调减区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
如下图所示：
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）证明：欲证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ）转化为证明 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ），进而构造辅助函数 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f（x）＝1+lnx+ SKIPIF 1 < 0 ln2x﹣x.
（1）若g（x）＝f′（x），求g（x）的极大值.
（2）当x≥a（a∈R）时，f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值.
（3）当x∈（0，1）时，证明：xex+3sinx＞4x+x2.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）1；（3）证明见解析.
【解析】
（1）首先求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后求导判断单调区间即可求出极大值；
（2）借助第一问的结论可以求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，进而求得最小值；
（3）放缩后构造函数，求出其最值，即可得证.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极大值，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的极大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故实数a的最小值为1；
（3）由（2）知： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，
即证 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即原不等式成立.
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
2
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
单调递增
40
单调递减
8
单调递增
x
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
-
0
+
SKIPIF 1 < 0
↗
↘