新高考数学一轮复习百题刷过关专题40 导数压轴选择填空必刷100题（2份打包，原卷版+解析版）

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1．若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围.
【详解】
由不等式恒成立，可知对x>0恒成立.
设，则该函数为上的增函数，故，
故对任意的恒成立，
设，则，
当时，，故为上的增函数，
而当时，有，不合题意；
当时，对任意的恒成立，
当时，
若，则，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
故，
故
综上：的取值范围是.
故选：A
2．已知函数，的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据的图象与的图象关于对称，可求出的表达式，再根据为奇函数求出，从而可知其单调性，即可解出不等式．
【详解】
设是函数的图象上任意一点，其关于直线的对称点为在的图象上，所以，其定义域为，而为奇函数，所以，即，即，而易知函数，当且仅当时取等号，所以，即，故，易知函数在上递增，所以的解集为．
故选：D．
3．过曲线C：上一点作斜率为的直线，该直线与曲线C的另一交点为P，曲线C在点P处的切线交y轴于点N．若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义求出切线方程，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
设，，，
切线方程为：，令，，∴，
．
过P作x轴的垂线，垂足为M，
梯形PNOM面积，
∴，
即，∴，
显然是该方程的一个根，设，
由题意可知：，所以，此时函数单调递增，
故方程有唯一实根，
即，∴，
故选：B
4．已知函数.（为自然对数的底数），.若存在实数，使得，且，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】
根据可求得，利用得到，将问题转化为，的最大值的求解问题，利用导数求得，从而求得结果.
【详解】
，即，又且，
∴，
由，即，整理得：，
令，，则，
和在上均为减函数，
在上单调递减，
，即在上恒成立，
在上单调递减，
，即实数的最大值为.
故选：C.
5．设函数，定义在上的连续函数使得是奇函数，当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题设，应用导数可证在上递减，利用单调性解，即知：存在使，将问题转化为在上有解，再构造中间函数，利用导数研究单调性，并结合零点存在性定理求的取值范围.
【详解】
由题设，等价于，
∵当时，，即，
∴在上递减，又是奇函数，
∴在上递减，又连续，
∴在上递减，则，可得.
又的定义域为，且，即在定义域上递增，
∴题设条件为：存在使，即使，
∴在上有解，则在上有零点，
由，即递增，又，且时，
∴只需，即即可.
故选：B
6．已知若，则的最大值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用数形结合，画出的图像可得为定值，再将转化为关于x的函数，最后利用求导求出的最大值.
【详解】
如图作出的图象，
依题意，，注意到，且，
因此，其中，
设，当，时，当，时，
因此在上单调递增，在上单调递减，
则，
即的最大值为
故选：C.
7．已知函数，，若都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意转化为，先求出，再利用列出不等式即可求解.
【详解】
因为，，由得或，
又因为 ，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
，，所以，
若都有，则转化为恒成立，对于恒成立，对于恒成立，
设，
，，当时，，所以单调递减，，所以单调递减，
当时，，当时，，
所以时，单调递增，时，，单调递减，
所以，所以.
故选：B
8．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求得导函数且，根据极值点可得，关于的表达式及的范围，由此可得关于的函数式，构造，则只需恒成立，利用导数研究的最值，即可求的取值范围.
【详解】
由题设，且，由有两个极值点，
∴令，则在上有两个不等的实根，，
∴，，且，得.
又，且，
∴，，即，
∴，
令且，要使题设不等式恒成立，只需恒成立，
∴，即递增，故，
∴.
故选：B
9．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．eD．2e
【答案】C
【分析】
由题设得，构造并利用导数研究单调性，易知恒成立，进而构造只需即可求的最大值.
【详解】
由题设，，
若，则，即在上单调递增，而，
∴，要使，只需恒成立，
令，则：当时，即递减；当时，即递增；
∴，故只需，即.
故选：C
10．已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题设，求分段函数的解析式并画出图像，将方程有三个不同实根转化为和有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数的范围.
【详解】
∵当时，，
∴当时，，
综上，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
∵有三个不同的实数根，
∴的图像和直线有三个不同的交点，
作的大致图像如图所示，
当直线和的图像相切时，设切点为，
∴，可得，，代入，可得，
当过点时，，
由图知，实数的取值范围为.
故选：D.
11．已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
分析可知函数在上有一个零点，则函数在上没有零点，由可得出，则直线与函数的图象无交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
当时，为增函数，为减函数，此时函数为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数在上有一个零点，故函数在上只有一个零点，
由题意可知，函数在上没有零点.
当时，由可得，即，即，
设，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，作出函数的图象如下图所示：
因为，则，故当时，即当时，
直线与函数的图象没有交点.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
12．若，恒成立，则a的最大值为（ ）
A．B．1C．eD．
【答案】C
【分析】
根据题设可得、，当易知，当时构造，利用导数研究单调性可得，即可知在上恒成立，构造并研究求其最小值即可得a的最大值.
【详解】
由，，
由，
①若，，此时满足；
②若，令，在恒成立，
∴在单调递增，而，
∴在恒成立，
综上，在恒成立，，
令，，
在单调递减，单调递增，
∴，即有．
故选：C
13．设实数，若对任意的，不等于恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
将不等式转换为，进而构造函数，从而可转化为恒成立，即，参变分离即可求出结果.
【详解】
因为，不等式成立，即，转化为恒成立，构造函数（）.
所以，当，，单调递增，
所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，进而转化为恒成立.
设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当，函数取得最大值，
所以，即实数的取值范围是．
故选：B．
14．已知函数．则使不等式成立的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数表达式可得，函数为偶函数，当时，可通过求导判断函数的单调性，从而确定整个函数的单调性，根据单调性求解参数的取值范围
【详解】
因为，，所以为上的偶函数，且，易得单调递增且，所以，当时，恒成立，单调递增，根据偶函数的对称性得，时，单调递减，若，则有，两边同时平方得：，解得：
故选：C
15．若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.
【详解】
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
设公切线与函数切于点，
，切线的斜率为，
则切线方程为，即
所以有
因为，所以，可得，，即，
由可得：，
所以，
令，则，，
设，则，
所以在上为减函数，
则，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：B．
16．已知定义在上的函数满足（为常数）且，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先求出a的值，判断出y=f（x）的单调性，解不等式即可求出的取值范围.
【详解】
由，可得，．
又由，可得：，
所以．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因为，，，
所以，解得或．
故选：A
17．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，且，若在上有极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
令，结合已知易得，即可写出，进而得到，再由、确定关于的含参数的解析式，根据题设有在上有零点，进而求的范围.
【详解】
令，则，
∴，，故，
∴，又，
∴，即，则，
∵在上有极值点，
∴在上有零点，且，，
则，即.
故选：C
18．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．7D．
【答案】B
【分析】
设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.
【详解】
设t为在上的零点，则，
所以，即点在直线，
又表示点到原点距离的平方，
则，即，
令，可得，
因为，
所以，
可得在上为单调递增函数，
所以当t=1是，，
所以，即的最小值为.
故选：B
19．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，求导确定函数的单调性，然后不等式化为，由单调性解得不等式．
【详解】
解：令，∴，∵，
∴，在恒成立，∴在为增函数，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
故选：D.
20．定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由给定的不等式构造函数对求导，根据已知条件可判断非得单调性，将所求解不等式转化为有关的不等式，利用单调性脱去即可求解.
【详解】
令，则可得
所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，
是上单调递增，
所以是上单调递增，
因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
21．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据条件得到，然后将不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可
【详解】
解：因为，
所以，
所以，所以的图像关于点对称，
由，得
，
由，得，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，取得极大值，
所以恒成立，所以在上为减函数，
所以由，得，
所以，
所以原不等式的解集为，
故选：A
22．若存在，使得，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由已知可得，令，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到答案
【详解】
解：由，得，令，，
则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得极大值即最大值，
因为当时，，
所以，
所以，所以，
所以实数的最大值为，
故选：B
23．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
把不等式成立，转化为恒成立，设函数，进而转化为恒成立，得出恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
因为，不等式成立，即成立，即，
进而转化为恒成立，
构造函数，可得，
当，，单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，
进而转化为恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数m的取值范围是.
故选：A.
24．已知函数，若f(x)在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先求函数的导函数，由在R上单调，可知恒成立或恒成立，构造函数，分类讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解.
【详解】
求导，令，
由在R上单调，可知恒成立或恒成立，分类讨论：
（1）当时，，令，得
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
，即恒成立，符合题意；
（2）当时，，令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
，即恒成立，符合题意；
（3）当时，令，得或，
研究内的情况即可：
当时，，函数单调递减；当时， ，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
当时，函数取得极小值，且满足；当时，函数取得极小值，且满足
，且
同理，且
又，当时，；当时，，故不符合；
所以a的取值范围是
故选：A
25．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据函数的值域可以确定，然后换元令，进而根据讨论得出，代入可得，解出m，转化为用导数求值域的问题.
【详解】
由题意，曲线上存在点，使得，所以．记，若，则，所以，不满足，同理也不满足，所以，所以，所以，所以
记，则，记，因为，所以在上单调递减，因为，所以时，，因为，所以，所以的最大值为
故选：D.
26．若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
构造函数，将原不等式转化为求解函数的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到，再利用基本不等式进行求解即可．
【详解】
解：设，则对一切正实数恒成立，即，
由，令，则恒成立，
所以在上为增函数，
当时，，当时，，
则在上，存在使得，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在，上单调递增，
所以函数在处取得最小值为，
因为，即，
所以恒成立，即，
又，当且仅当，即时取等号，
故，所以．
故选：C．
27．已知函数，，又当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
首先根据求出，进而参变分离解决恒成立的问题即可.
【详解】
因为，所以，即，
所以当时，恒成立，即，
即，
当时，恒成立，符合题意；
当时，有，即，
令，则，所以在上单调递增，而，所以，
故选：A.
28．设函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使得成立，则实数值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
将问题转化为在上有解，由均值不等式可得，设，求出其导数，得出单调区间，从而得出，由等号成立的条件得出，从而得出答案.
【详解】
由题意当时有解
即在上有解.
即在上有解.
由, 当且仅当，即时取得等号.
设，
则
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在 上单调递减.
所以
要使得在上有解.
则时成立，即
故选：D
29．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
原不等式化为，函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称，要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，利用导数求出函数的最小值即可得结果.
【详解】
函数的定义域为，由，得，
因为函数与函数互为反函数，所以其图象关于直线对称，
所以要使得恒成立，只需恒成立，即恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在递增，
可知当时，取得最小值，
所以，又因为，所以的取值范围是，
故选：B．
30．已知函数在上有两个零点，则a的取值范是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据解析式可得，原题转化为求在上有一个零点，当时，求导可得的单调性，分析不符合题意；当时，令，解得，分别讨论、和三种情况下的单调性，结合题意，即可求得a的范围.
【详解】
由题意得：，，
所以原题转化为求在上有一个零点，
，
当时，，则在上单调递减，且，不符合题意，
当时，令，解得，
当，即时，，此时在上单调递减，且，不符合题意，
当，即时，，此时在上单调递增，且，不符合题意，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上有一个零点，
所以，解得，所以.
综上：a的取值范是
故选：C
31．若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
函数的定义域为，
则，
令，则，
所以，函数在上为增函数，且.
①当时，即当时，对任意的恒成立，
所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；
②当时，即当时，则存在使得，
当时，，此时，则函数在上单调递减，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
由于函数有两个零点，
当时，；当时，.
可得，
可得，解得.
故选：D.
32．定义在上的连续函数的导函数为，且成立，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
设，由条件可得，即在上单调递减，且，由此卡判断选项A，B， C， 将代入条件可得，可判断选项D.
【详解】
由题可得，
所以，
设则，
所以在上单调递减，且
由可得，
所以，，所以选项A､B错误，选项C正确.
把代入，可得，所以选项D错误，
故选：C.
33．若函数与函数的图象在区间上有且仅有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由已知在区间上有且仅有一个解令在上有且仅有一个零点当时，在区间上单调递增
结果
【详解】
解：由题意知方程，即在区间上有且仅有一个解．令，则在上有且仅有一个零点，
，当时，，所以，所以，故函数在区间上单调递增，又函数在区间上只有一个零点，所以结合零点存在定理可
解得，即的取值范围是，
故选：D．
34．已知定义在上的图象连续的函数的导数是，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题设，易知，构造，利用导数研究其在上的单调性，并确定对称轴，进而得到的单调性，由等价于，即可求解集.
【详解】
当时，，即有．
令，则当时，，故在上单调递增．
∵，
∴关于直线对称，故在上单调递减，
由等价于，则，得．
∴的解集为．
故选：A.
35．已知函数，.若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先根据绝对值将原不等式转化为，进而分别讨论每个函数与的大小关系，通过导函数的单调性讨论得到当时，，所以必须有时，，分离参数求得的取值范围.
【详解】
∵，
∴，即，
∴对任意的，或，
当时，两式均成立；
当时，有或，
令，，，
，
，，
∴在单调递减，在上单调递增，
而，且，
∴当时，单调递减，，即，
当时，单调递减，，即，
当时，单调递增，，即，
当时，单调递增，，即
故只有当时，，所以此时必须有，
即，，
∴.
故选：B.
36．已知曲线上一点，曲线上一点，当时，对任意，，都有恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件，得到，，推出，；证明，得到，推出，分离参数得，构造函数求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
因为当时，对于任意，都有恒成立，
所以有：，，
，
，
令，则，
所以当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
因此，即显然恒成立；
因为，所以，即；
为使恒成立，只需恒成立；即恒成立；
令，则，
由解得；由解得；
所以在上单调递增；在上单调递减；
所以；
，因此的最小值为.
故选：
37．已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
经过恒等变形，原问题变成当时，恒成立，构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】
由，
当时，上式可变形为：，问题转化为：
当时，恒成立，
设，，
，
因为，，所以，因此，
所以当时，单调递减，
当时，单调增，故，要想
当时，恒成立，只需，
设，，
，
当时，，所以函数单调递增，而，
显然当，成立，
故选：B
38．已知函数的导函数为，对任意的实数都有，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求出结果.
【详解】
由可得，
即，所以（其中为常数），
因此，，由可得，故.
显然，是上的偶函数.
当时，，
所以，在上是增函数. 故
故选：C.
39．已知函数，若函数有三个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
要使有三个极值点，则有三个变号实根，转化为方程有两个不等于1的变号实根，令，通过研究的最小值可得的取值范围.
【详解】
，求导，得，
令，得，或.
要使有三个极值点，则有三个变号实根，
即方程有两个不等于1的变号实根.
，令，
则，令，得.
易知，且，；，.
所以，当时，方程即有两个变号实根，
又，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
40．已知直线分别与和的图象交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先分析得出函数和的图象关于直线对称，从而得出,结合零点存在定理得出的范围.选项A.结合基本不等式得出，设，求出单数得出其单调性可判断;选项B. 由可判断;选项C. 由，可得可判断;选项D. 由对称性有，结合函数解析式得到，从而可判断.
【详解】
在函数的图像上任取一点，则，即
由，两边取以为底的对数，得到 即点 满足函数表达式.
所以在函数的图像上任取一点，都有点在函数的图像上.
故函数及函数的图象关于直线对称，
又直线与直线垂直，且相交于点.
从而直线与函数及函数的图象的交点，也关于直线对称，
，，又在上，
即有，故，
则，由于，所以．
对于，令，，，
所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，
所以，所以，故错误．
由图象易知，故错误．
，，
又，，错误．
由，可得，即，
又由，可得 ，故正确.
故选：D
41．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为，即，再利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
，
令，则，可得是奇函数，
又，
又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；
当且仅当，即时等号成立；
故，可得是单调增函数，
由得，
即，即对恒成立.
当时显然成立；当时，需，得，
综上可得，
故选：D.
42．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.
【详解】
令，则，，
∴，，即，
若，则，
∴，有，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
∴，即的最小值为.
故选：D.
43．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题设可知且，令即总存在在上有两个不同的解，则，利用基本不等式求的范围即可.
【详解】
由题设，且，令，
要使上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，
∴若，，
∴在上总存在有两个解分别为、，而的对称轴，
故，而，
∴，整理得，上，
∴即可.
故选：B
44．，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.
【详解】
令，则，，，
而且，即时单调增，时单调减，又，
∴，.
若有两个解，则，，
即，，
令，则，即在上递增，
∴，即在上，，若即，故，有
∴当时，，故，
综上：.
故选：A
45．当x>1时，函数y=(lnx)2+alnx+1的图象在直线y=x的下方，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，e)B．(-∞，)
C．(-∞，)D．(-∞，e-2)
【答案】D
【分析】
分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到的取值范围.
【详解】
由题意知，构造函数，
令则故当时单调递减当时单调递增，所以所以
故选：D.
46．已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
将存在唯一的正整数，使得转化为存在唯一的正整数，使得，然后构造函数，然后利用导数研究函数的性质，进而数形结合即可得出结果.
【详解】
因为存在唯一的正整数，使得，则因为存在唯一的正整数，使得，令，所以存在唯一的正整数，使得，，所以，，所以单调递减；，，所以单调递增，所以，恒过定点，所以当时，有无穷多个整数，使得，当时，函数单调递增，作出函数图象：
记上，所以，所以
实数a的取值范围是，
故选：C.
47．已知、，且，对任意均有，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】
推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项.
【详解】
，故与的符号相同，
当时，；当时，.
所以，与的符号相同.
，
令，所以，当时，恒成立，
令，可得，，.
，分以下四种情况讨论：
对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误；
对于B选项，当，时，则，
若，若、、均为正数，
①若，则，当时，，不合乎题意；
②若，则，当时，，不合乎题意.
③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意.
由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示，

所以，当，时，且，时，当时，恒成立；
对于C选项，当，时，则，
①若时，则当时，，不合乎题意；
②当时，构造函数，其中，，
函数在上单调递增，则，.
当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误；
对于D选项，当，时，则，此时、、为正数.
①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意；
②若，则，当时，，不合乎题意；
③当时，，当时，， 不合乎题意.
所以，D选项错误.
故选：B.
48．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
化简方程，令，得到．构造函数，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，（），结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后求解即可．
【详解】
由方程，可得.
令，则有，即.
令函数，则，
由，解得，，解得
所以在上单调递增，在上单调递减，且
作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，，，.
所以，解得或
若，则,解得，则
此时只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.
若，则，可得，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意.
要使原方程有3个不等实数根，则
所以，，解得.
所以，
故.
故选：A
49．已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
令，可得，令，利用导数可判断的单调性，求得的极值，令，，根据的图象，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求得答案.
【详解】
令，可得，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，图象如下图所示：
所以，令，，因为函数有三个零点，
设的两根分别为，，，解得或
则，有下列三种情况，
（1）当，时，将带入方程，即，
解得，带入方程，即，
解得，故舍去；
（2）当，时，将带入方程，则，，不满足，故舍去；
（3）当，时，解得，
所以
故选：C
50．已知函数有且仅有两个不同的零点，且函数满足：，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
问题可转化为有两个不同的零点，利用导数作出的大致图象，转化为，通过数形结合求得的取值范围.
【详解】
令函数，则有，
即有两个不同的零点，
∴，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴当时，取得最小值，且，
显然，.
由此可以画出函数的大致图象，如下图所示，
于是可得，当时，恒成立.
由图象可得，要使函数有且仅有两个不同的零点，
只需，即.
而此时，∴
即为，又，，
∴.
故选：A.
类型二:填空题51-100题
51．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】
运用常变量分离法，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
因此由，可得
构造函数，当，单调递增，当时，单调递减，因此有，
即，当且仅当时取等号，
所以有，当且仅当存在，使得即可，设，，即，因此当时，必存在一个零点，因此成立，故，即实数的取值范围是．
故答案为：
52．已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
把函数有两个极值点，转化为有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点.利用导数研究的单调性与极值，即可求出m的取值范围.
【详解】
的定义域为，.
要使函数有两个极值点，
只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.
由得，.
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.
，令得：x>1；令得：0