山东省日照市开发区献唐中学中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合的图形是中心对称图形；由此问题可求解．
【详解】A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，正确掌握定义是解题的关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
详解】解：，故A正确，C错误；
，故B、D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
3. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示，
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
4. 化简的结果是（ ）
A. 0B. 1C. aD.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
5. 在Rt中，是斜边上的中线，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．根据直角三角形斜边中线的性质求出AB，然后根据正弦的定义求解即可.
【详解】解：∵CD是斜边AB上的中线，，
∴，
∴，
故选B．
6. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以求得 OA和 AC的长，从而可以求得点 C的坐标，进而求得 k的
值，本题得以解决．
【详解】等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，CA⊥x轴，，
，
，，
点的坐标为，
点在函数的图象上，
，
故选．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7. 关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查根据一元一次不等式组的解集求解参数范围，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．
【详解】解：∵，
由①得：，
由②得：，
∴关于的一元一次不等式组可得：，
∵不等式组有解，
∴，
解得：；
故选A．
8. 下列所给四对三角形中，根据条件不能判断△ABC与△DEF相似的是 ( )
A. AB. BC. CD. D
【答案】B
【解析】
【分析】相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据判定定理分别对各选项判断即可．
【详解】选项A：在中，由，可得，则和分别与 中和相对应，故能判断两个三角形相似．
选项B：在两个三角形中，虽然都有一个角等于 ，但对应边不成比例，故不能判断两个三角形相似．
选项C：在两个三角形中，三条边对应成比例，故能判断两个三角形相似．
选项D：在两个三角形中 故能判断两个三角形相似．
故选B．
9. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵点都在反比例图象上，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
故选A．
10. 如图，已知是圆的直径，在圆上有一点，求圆的半径（ ）
A. 6B. 8C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据圆的性质，则，再根据，根据勾股定理，求出，设，则，最后根据，即可．
【详解】∵AB是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
解得：x=2，
∴，
∴半径，
故选：D．
11. 如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点C，连接，，给出以下结论：；；；，其中所有正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，，再抓住是等腰三角形，而显然不是等腰三角形，判断④的正确性．
【详解】解：由折叠可知，，，
，
在和中，，，
，故①正确；
∵正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
解得：，
，，， ，故②、③正确；
，是等腰三角形，易知不是等腰三角形，故④错误；
故选C．
【点睛】本题考查了图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定的难度．理解折叠图形的性质以及勾股定理的使用是解决这个问题的关键．
12. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 若则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，由题意得到，然后代入化简是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若的顶点均是格点，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】延长到，连接，由网格可得，即得，可求出答案．
【详解】解：延长到，连接，如图：
，，，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
15. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，圆锥的母线长为扇形的半径，圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长求解即可．
【详解】解：这个圆锥的侧面展开图中的长为．
故答案为：．
16. 如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为___________．

【答案】6
【解析】
【分析】延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值．
【详解】解：延长交x轴于点F，如图，
由点D在反比例函数的图象上，则设，
∵矩形的边平行于轴，，，
∴轴，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．
三、解答题（共72分）
17. （1）计算：．
（2）解方程：
【答案】（1），（2），
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，一元二次方程的解法；
（1）根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
（2）把方程化为，再解方程即可．
【详解】解：（1）
＝
；
（2），
∴，
∴或，
解得：，
18. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为，雪道长为．求该滑雪场的高度；
【答案】该滑雪场的高度h为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．过B作，过A过，两直线交于F，过B作垂直地面交地面于E，根据题知，可得，由的坡度，设，则，，即可得；
【详解】解：过B作，过A过，两直线交于F，过B作垂直地面交地面于E，如图：
根据题知，
∴，
∵的坡度，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，（负值已舍去），
∴，
答：该滑雪场的高度h为；
19. 今年是中国共产党主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）______，______，并将直方图补充完整；
（2）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数：
（3）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
【答案】（1）30%，16%，补全统计图见解析
（2）估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据良好的人数和人数占比求出总人数，用优秀的人数除以总人数即可求出y，进而求出x，再求出一般的人数补全统计图即可；
（2）用1200乘以样本中优秀的人数占比即可得到答案；
（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：被调查的总人数为人，
∴优秀对应的百分比，
则一般对应的人数为 人，
∴其对应的百分比，
补全图形如下：
故答案为：30%，16%；
【小问2详解】
解：解：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为人，
答：估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人．
【小问3详解】
解：画树状图为：
由树状图可知共有12种等可能情况，其中被抽取2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图信息相关联、用样本估计总体等知识，正确读懂统计图和用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
20. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．

特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）的形状不改变，见解析
【解析】
【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可；
（2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；
（3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：连接，，，如图，

∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）的形状不改变，
延长至点M，使，连接，

∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键．
21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答．
【小问1详解】
证明：如图：连接

∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
小问2详解】
解：如图：连接
∵是的直径，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
22. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．

（1）直接写出点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）点，的最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【小问1详解】
解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
【小问2详解】
当时，，
∴，
连接，

∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
【小问3详解】
过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，

∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．