新高考数学一轮复习教案第4章第7节 第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习教案第4章第7节 第1课时 系统知识牢基础——正弦定理、余弦定理及应用举例（含解析），共4页。
知识点一 正弦定理、余弦定理
1．正、余弦定理及变形
[提醒] 若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．谨记常用结论
(1)在三角形ABC中，A＋B＋C＝π，则
①sin A＝sin(B＋C)，cs A＝－cs(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)．
②sin eq \f(A,2)＝cs eq \f(B＋C,2)，cs eq \f(A,2)＝sin eq \f(B＋C,2).
③sin A＝sin B⇔A＝B；
sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
④A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs Ac，△ABC的面积为5eq \r(3)，则c＝________.
解析：由三角形面积公式，得eq \f(1,2)×4×5sin C＝5eq \r(3)，
即sin C＝eq \f(\r(3),2).又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°.由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cs 60°，解得c＝eq \r(21).
答案：eq \r(21)
知识点二 解三角形应用举例
测量中几个术语的意义及图形表示
[提醒] (1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．
(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．
[重温经典]
1．(教材改编题)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.
答案：50eq \r(2)
2．海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________n mile.
答案：5eq \r(6)
3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km.
解析：由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcs 120°，
∵x>0，∴x＝eq \r(6)－1.
答案：eq \r(6)－1
4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m.
解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝eq \f(AB,cs 15°)，
所以AD＝eq \f(AEsin 45°,sin 30°)＝eq \f(\r(2)AB,cs 15°)，因此CD＝ADsin 60°＝eq \f(\r(2)×10,cs45°－30°)×sin 60°＝10(3－eq \r(3))．
答案：10(3－eq \r(3))定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝a2＋c2－2accs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形
形式
a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝eq \f(a,2R)；sin B＝eq \f(b,2R)；sin C＝eq \f(c,2R)；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
asin B＝bsin A，bsin C
＝csin B，asin C＝csin A；
eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
名称
意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线eq \a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目标视线在水平视线eq \a\vs4\al(下)方的叫做俯角
方位角
从某点的指eq \a\vs4\al(北)方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ