新高考数学一轮复习教案第5章第3节 第1课时 系统知识牢基础——平面向量的数量积（含解析）

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知识点一 平面向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OB,\s\up7(―→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cs θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积．
[提醒] (1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cs θ的乘积，这两个投影是不同的．
(2)a在b方向上的投影也可以写成eq \f(a·b,|b|)，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围．
3．向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：
(1)e·a＝a·e＝|a||e|cs α＝|a|cs α.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)a，b同向⇔a·b＝|a||b|；
a，b反向⇔a·b＝－|a||b|.
特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5) |a·b|≤|a|·|b|.
4．谨记常用结论
(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
以上结论可作为公式使用．
5．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[提醒] 对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
[重温经典]
1．(教材改编题)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cs θ＝|a|·|b|，所以cs θ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.
当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，
所以a·b＝|a|·|b|cs θ＝±|a|·|b|，
所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分不必要条件．
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角的余弦值为sineq \f(17π,3)，则b·(2a－b)等于( )
A．2 B．－1
C．－6 D．－18
解析：选D ∵a与b的夹角的余弦值为sineq \f(17π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.
3．已知a·b＝－12eq \r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|的值为( )
A．12 B．6
C．3eq \r(3) D．3
解析：选B 因为a·b＝|a||b|cs 135°＝－12eq \r(2)，
所以|b|＝eq \f(－12\r(2),4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))＝6.
4．(易错题)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cs θ＝4×cs 120°＝－2.
答案：－2
5．已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2.其中|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cs eq \f(π,3)＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，所以b1·b2＝－6.
答案：－6
6.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝________.
解析：eq \(AD,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))·(－eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up7(―→))2＋eq \(AC,\s\up7(―→))2)＝－eq \f(5,2).
答案：－eq \f(5,2)
知识点二 平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
[重温经典]
1．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则( )
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为eq \f(π,4)
解析：选CD 因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝eq \r(2)，所以|a|≠|b|，故A错误；因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)与b不平行，故B错误；又(a－b)·b＝1－1＝0，故C正确；又cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以a与b的夹角为eq \f(π,4)，故D正确．
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案：12
3．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq \r(10)，则a·b＝________.
解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝eq \r(－22＋－62)＝2eq \r(10)，又|b|＝eq \r(10)，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cs 60°＝2eq \r(10)×eq \r(10)×eq \f(1,2)＝10.
答案：10
4．(易错题)向量a＝(3,4)在b＝(1，－1)方向上的投影为________．
解析：a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝－eq \f(\r(2),2).
答案：－eq \f(\r(2),2)
5．(教材改编题)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于________．
解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝12，))故b＝(－5,12)，所以csa，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(16,65).
答案：eq \f(16,65)
6．(易错题)已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为____________________．
解析：由a·b＝2x－21<0，得x答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(6,7)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,7)，\f(21,2)))
7．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________．
解析：∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k＝－2.
答案：－2结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝eq \r(a·a)
|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))
夹角
cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))·\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))