云南省云南师范大学实验中学昆明湖校区2023-2024学年九年级下学期数学开学考试试题（解析版）

这是一份云南省云南师范大学实验中学昆明湖校区2023-2024学年九年级下学期数学开学考试试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣60元表示（ ）
A 收入60元B. 收入20元C. 支出60元D. 支出20元
【答案】C
【解析】
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】根据题意，若收入80元记作+80元，则-60元表示支出60元．
故选C．
【点睛】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2. 2023年12月24日，一年一度的昆明红嘴鸥“人口普查”在全市64个统计点同步进行．据统计，2023年度，共有40700只红嘴鸥来昆明过冬．将40700用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将40700用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 下列几何体中，同一个几何体从正面和上面看到的图形不相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的形状即俯视图，结合图形找出各图形的俯视图以及主视图，然后进行判断即可．
【详解】解：A、主视图为正方形，俯视图为正方形，不符合题意；
B、主视图为三角形，俯视图为中间有点的正方形，符合题意；
C、主视图为长方形，俯视图为长方形，不符合题意；
D、主视图为圆形，俯视图为圆形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，注意从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的图形即为俯视图．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：C．
5. 下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A. 三叶玫瑰线B. 四叶玫瑰线
C. 心形线D. 笛卡尔叶形线
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
6. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
7. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形一个内角的大小为（ ）

A 135°B. 140°C. 145°D. 150°
【答案】B
【解析】
【分析】根据正多边形的性质和内角和公式求解即可．
【详解】解：正九边形的内角和为，且每个内角都相等，
该正九边形的一个内角的大小为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
8. 如图，显示某网球俱乐部甲、乙两组各六名会员的身高情况，则下列说法错误的是（ ）
A. 乙组的平均数为B. 甲组的众数为
C. 乙组的中位数为D. 甲组的方差小于乙组的方差
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是折线统计图、平均数、众数、中位数和方差．分别根据平均数、众数、中位数和方差的定义判断即可．
【详解】解：A、乙组的平均数为，故本选项正确，不符合题意；
B、甲组中的出现了2次，次数最多，则众数为，故本选项正确，不符合题意；
C、乙组的数据从小到大排列为，则中位数为，故本选项正确，不符合题意；
D、由折线统计图可以看出，甲组的身高波动大，所以甲组的方差大于乙组的方差，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
9. 在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底圆周长求解即可．
【详解】解：由题意可知：
扇形的弧长
设底面圆半径为r,
∵扇形的弧长等于圆锥的底圆周长
∴，解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥的底圆周长．
10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第n个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察单项式的系数和字母的指数，找到一般规律是解题的关键．通过观察发现：系数的规律是：，字母部分都是，即可求解．
【详解】解：，，，，，，，
系数的规律是：，字母部分都是，
第个单项式是：．
故答案为：D
11. 如图，点D、E分别在的边、上，且，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选∶A．
12. 小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：
设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，则2021年观测鸟类种，2022年观测鸟类种，据此列出方程即可．
【详解】解：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为，
由题意得，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（ ）
A. 10B. 5C. 8D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求出AC，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，若DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC边上的中线，
∴BF=AC=10，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14. 如图，已知点A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为1，则k的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，然后去绝对值即可得．
【详解】解：由反比例函数的图象可知，，
的面积为1，点为反比例函数的图象上一点，且轴，
，
解得或（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，熟记反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．
15. 如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是（ ）

A. πB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD=60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
【详解】如图，连接OC、OD．

∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
又∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=∠AOC=60°，OC=CD=6，
∴CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形OCD==6π．
故选D．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16. 二次根式中，x的取值范围是 ___．
【答案】x≥-3
【解析】
【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【详解】∵是二次根式，
∴x+3≥0,
即x≥-3，
故答案为：x≥-3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数建立不等式是解题的关键．
17. 分解因式：＝________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
18. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E做交于点D．若，，则的周长为________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，平行线的性质，等腰三角形的判定．根据题意得 平分，再根据平行线的性质求解．掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
故的周长为．
故答案为：．
19. 已知，是一元二次方程的两根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数关系分别求得和，根据整体代入求值即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两根
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
21. 已知：如图，，且，；证明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明是解题的关键．先证明，由全等三角形的性质得出，由平行线的判定可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∵，
∴．
22. 为了深刻践行习近平总书记的“绿水青山就是金山银山”重要思想，某校积极开展植树活动，准备购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗便宜6元．求甲、乙两种树苗每棵的价格．
【答案】每棵甲种树苗的价格为40元，每棵乙种树苗的价格为34元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．设每棵乙种树苗的价格为元，则每棵甲种树苗的价格为元，利用数量总价单价，结合用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵树相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出每棵乙种树苗的价格，再将其代入中即可求出每棵甲种树苗的价格．
【详解】解：设每棵乙种树苗的价格为元，则每棵甲种树苗的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：每棵甲种树苗的价格为40元，每棵乙种树苗的价格为34元．
23. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
（2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：共有4张卡片，
从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；
小问2详解】
解：根据题意画图如下：
共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4，
所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．
24. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识．
（1）由矩形的性质得，则，由垂直平分得，而，即可证明，得，因为，所以，即可证明四边形是菱形；
（2）由勾股定理得，而，，所以，求得，则．
【小问1详解】
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴菱形的面积为20．
25. 扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧去有风的地方的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用元购进甲、乙两种布料共件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料件，第二次销售完后获得的利润为元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件
（2）第二次购进甲种布料件，乙种布料40件时获利最大，最大利润为元
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
（1）设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，根据题意列出二元一次方程组计算即可；
（2）根据题意得到，求出即可得到答案．
【小问1详解】
解：设扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件，
根据题意得，，
解得，
答：扎染坊第一次购进甲种布料件，购进乙种布料件．
【小问2详解】
解：由题知：，
解得，，
，
即，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进甲种布料件，乙种布料40件时获利最大，最大利润为元．
26. 如图，内接于，AB是的直径，点D在AB的延长线上，且，点E为AC的中点，连接OE并延长与DC的延长线交于点F．
（1）求证：CD是的切线；
（2）若，，求CF的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）根据AB是的直径，可得，由得，结合已知条件，根据可得，即可得证；
（2）证明，得出，根据，可得，从而求得的长，进而求得的长，由点E为AC的中点，根据垂径定理以及，证明，根据平行线分线段成比例即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
AB是的直径，
,
，
，
即，
是半径，
CD是的切线；
【小问2详解】
，，
，
，
，可得，
，
，
，
点E为AC的中点，
，
又，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，正切，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
27. 若关于x的函数y，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数，当时，求函数y“共同体函数”h的值；
②若函数（，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数，求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②时，，时，
（2）
（3）时，存在
【解析】
【分析】（1）①根据新定义结合正比例函数的性质即可求解；②根据新定义结合一次函数的性质即可求解；
（2）根据新定义结合反比例函数的性质列出，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据新定义结合二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：①当时，则，即，
，，随的增大而增大，
，
②若函数，当时，，
，
，
当时，则，
，
综上所述，时，，时，，
【小问2详解】
解：对于函数，
，，函数在第一象限内，随的增大而减小，
，
解得，
当时，
，
，
∵当时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时取得最大值，
最大值为；
【小问3详解】
对于函数，
，抛物线开口向下，
时，随的增大而增大，
时，随的增大而减小，
当时，函数y的最大值等于，
在时，
①当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去；
②当时，即时，，，
，
的最小值为（当时），
若，
解得，
但，故不合题意，故舍去
③当时，即32≤t≤52时，，
i)当时，即时
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，
解得
ii)当 时，即时，，
，
，
对称轴为，，抛物线开口向上，在上，
当2时，有最小值，
∵，
∴在上h无最小值，
综上所述，时，存在．
【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，反比例数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，的取值范围的取舍．
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
单价
类别
成本价(元件)
销售价(元件)
甲种布料
乙种布料