天津市红桥区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份天津市红桥区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（解析版），共13页。
参考公式：
柱体的体积公式 ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
锥体的体积公式 ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
球的体积公式 ，其中表示球的半径．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9题，每小题4分，共36分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知 ，为虚数单位，若为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得，又，求解即可.
【详解】由于，
因为，则，解得.
故选：C.
2. 设向量，若，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，由，得，
所以.
故选：C
3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C 若，，则
D. 若，，则，
【答案】A
【解析】
【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案.
【详解】对于A，由，得，当时，，A正确；
对于B，若，则或相交，B错误；
对于C，若，，则或异面，C错误；
对于D，若，可以在或内，当时，， D错误.
故选：A
4. 已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.
【详解】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积.
故选：B.
5. 已知平面截球的球面所得圆的面积为，到的距离为，则球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆的性质求出球半径即可.
【详解】依题意，球的截面小圆半径为1，而球心到截面距离为1，则球半径，
所以球的表面积为.
故选：C
6. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，再作出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积.
【详解】因为直观图是等腰直角三角形且，所以，
由直观图可得如下平面图形：
则，，所以.
故选：C
7. 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.
【详解】向量，且，
所以，解得，
故选：B.
8. 在中， 是中点，，，， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先转化向量，再根据数量积公式，即可求解.
【详解】由余弦定理可知，，
，
.
故选：B
9. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
所以，
故选：D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
10. 已知为虚数单位，则__________
【答案】
【解析】
【分析】用复数的除法及乘法法则即可求解.
【详解】，.
故答案为：.
11. 化简=_______
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】利用平面向量的线性运算法则，=+（+）==.
12. 一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是__________
【答案】##
【解析】
【分析】求出正方体的棱长，进而求出其内切球的半径即可得解.
【详解】正方体的表面积为6，则该正方体的棱长为1，内切球半径为，
所以所求球的体积为.
故答案为：
13. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得.
【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高，
所以圆锥的体积.
故答案为：
14. 已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意结合余弦定理求得，进而可得两两垂直，可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，利用正方体的性质求外接球的半径.
【详解】设，则，
因为，则，
在中，因为，则，
由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
可知，即，同理可得，，所以两两垂直，
可以把三棱锥转化为边长为1的正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
正方体的体对角线即为外接球的直径，即.
故答案为：.
15. 已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值．
【详解】如图，令，则：
三点共线；
与共线反向，；
；-
解得．

故答案为：.
三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 在中，内角所对的边分别是，已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
（2）利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式计算即得.
【小问1详解】
在中，由，令，
由余弦定理得.
【小问2详解】
在中，由及，得，
则， ，
所以.
17. 在中，内角所对的边分别是，已知, ，.
（1）求：的值；
（2）求：的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得.
（2）先求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.
【小问1详解】
已知，由正弦定理得，
由于，所以，
因为，
所以；
【小问2详解】
由于，所以是锐角，
所以，
则.
18. 如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1） 根据空间向量法结合线面平行判定定理证明；
（2）应用空间向量法求出线面角正弦值.
【小问1详解】

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得，，，，，.
因为，
若，，
设为平面的法向量，
则即，
不妨令x=1，可得为平面的一个法向量，
，则，又平面，
则平面；
【小问2详解】
因为，，，
设为平面的法向量，
则即，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
（3）设为线段上的点，，，，，，求出，由平面的法向量，且直线和平面所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果．
【详解】解：（1）证明：∵四棱锥中，平面ABCD，
，，，，，.
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
∴，∴
（2）解：，，，
设平面APC的法向量，
则，
取，得，
平面PCD的法向量，
设二面角的平面角为，
则.
∴二面角的余弦值为.
（3）解：设Q为线段PD上的点，，
，
则，
解得，，，
∴，，
∵平面PAC的法向量，
且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，
∴，
解得或（舍），
∴.
【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．