甘肃省平凉市庄浪县集团校2023-2024学年下学期八年级开学考试数学试题（解析版）

这是一份甘肃省平凉市庄浪县集团校2023-2024学年下学期八年级开学考试数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 2022年10月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
根据轴对称图形的概念“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图象关于这条直线成轴对称”可直接排除选项．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、合并同类项定义、同底数幂的乘法法则依次解答．
【详解】解：A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. ，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查幂的运算，涉及积的乘方、幂的乘方、合并同类项定义、同底数幂的乘法法则等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3. 近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A. AB，BC两边垂直平分线的交点处B. AB，BC两边高线的交点处
C. AB，BC两边中线的交点处D. ∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可直接进行求解．
【详解】解：因为决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故选A．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4. 如图，在中，点D在AC上，点E在AB上，且，，，则等于（ ）
A 45°B. 30°C. 60°D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】设∠EBD＝x，多次利用等边对等角表示出∠A、∠ABC和∠C，然后根据三角形内角和定理求出x即可解决问题．
【详解】解：设∠EBD＝x，
∵，
∴∠EBD＝∠EDB＝x，
∴∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2x，
∵，
∴∠A＝∠AED＝2x，
∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝3x，
∵，
∴∠BDC＝∠C＝3x，
∵，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，则2x＋3x＋3x＝180°，
∴x＝225°，
∴∠A＝2x＝45°，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键．
5. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可，因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，等式右边不是多项式乘积形式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，原选项计算错误，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，公式法分解因式，掌握因式分解的定义以及公式法分解因式是解题的关键．
6. 如图所示，BC，AE是锐角的高，相交于点D，若，，，则BD的长为（ ）．

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据AAS证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案．
【详解】BC，AE是锐角的高
,
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7. 将分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 保持不变B. 缩小到原来的
C. 扩大为原来的2倍D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，把x，y的值同时扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可．
【详解】解：由题意得，
分式的值扩大为原来的2倍
故选：C．
【点睛】本题考查分式的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8. 观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，我们可以验证等式（ ）
A. （a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2
B. （a+b）（2a+b）=2a2+3ab+b2
C. （a+b）（a+2b）=2a2+3ab+b2
D. （a+b（2a+b）=a2+3ab+2b2
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形，大长方形面积等于三个小正方形面积加上三个小长方形的面积和，列出等式即可．
【详解】解：∵长方形的面积=（a+b）（a+2b）
长方形的面积=a2+ab+ab+ab+b2+b2= a2+3ab+2b2，
∴（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2
故选：A．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式的几何意义，通过几何图形之间的数量关系对多项式乘以多项式做出几何解释．
9. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的基本性质对各个选项进行判断．
【详解】解：A．分式的分子和分母同时乘上一个不为0的数时，分式的值不改变，可能等于0，故A错，不符合题意；
B．正确，分式的分子和分母同时除一个不为0的数时值不变，故B正确，符合题意；
C．分式的分子和分母同时加减一个相同的数，值可能会改变，故C错，不符合题意；
D．，故D错，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分子与分母同时乘上或除以相同的不为0的数，值不变．
10. 如图，等边的边长为8，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，则当取得最小值时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称性和等边三角形的性质，作于点，交于点，此时，最小，进而求解．
【详解】解：如图：
过点作于点，交于点，连接，
是等边三角形，边长为8，
若，
，
，
，
是等边的边上的中线，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点和的位置．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11. 已知正多边形的一个外角等于，那么这个正多边形的边数为________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的性质，熟练掌握多边形的外角和及正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质可知正多边形的外角都相等，根据多边形的外角和为，即可求得答案．
【详解】正多边形的内角都相等，
正多边形的外角都相等，
又多边形的外角和为，
这个正多边形的边数为．
故答案为：12．
12. 点与点关于y轴对称，则x的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
解得：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
13. 计算________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据积的乘方运算的逆运算把原式化为，从而可得答案．
【详解】解：

．
故答案为：
【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，掌握“”是解本题的关键．
14. 若分式有意义，则x的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于0．
15. 如图，点D、A、E在直线m上，，于点D，于点E，若，，则___________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据垂直得到直角三角形，利用等角的余角相等证得，再利用判定证明，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据判定证明是解题的关键．
16. 已知，是的两条边长，且，则的形状是__________．
【答案】等腰三角形
【解析】
【分析】由，可得出，结合a，b是的两条边长，即可得出为等腰三角形．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴．
又∵a，b是的两条边长，
∴为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非负性，因式分解，利用偶次方的非负性，找出三角形的两边相等是解题的关键．
17. 如图，已知点P是内任意一点，点M、P关于对称，点N、P关于对称．连接，分别交于C，D．连接．若，则的周长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得到，再根据三角形周长公式可得的周长．
【详解】解：由轴对称的性质可得，
∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，熟知关于某条直线对称的两点到该直线上任意一点的距离相等是解题的关键．
18. 为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了，结果提前11天完成任务，求实际每天施工多少平方米？设原计划平均每天施工平方米，则可列出方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】设原计划平均每天施工平方米，则实际平均每天施工平方米，由题意列出分式方程即可
【详解】设原计划平均每天施工平方米，则实际平均每天施工平方米，
根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
三、解答题一（共38分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，求一个数的立方根，零次幂，逐项计算即可求解；
（2）根据整式的混合运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：原式＝
；
【小问2详解】
解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解分式方程：
（1）先去分母化为整式方程，求出解后代入检验即可；
（2）先去分母化为整式方程，求出解后代入检验即可．
【小问1详解】
解：，
方程两边同乘，得：，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解是；
【小问2详解】
解：，
方程两边同乘，得
，
即 ，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解是．
21. 先化简，再求值：，其中x为﹣1，0，1，2中的一个合适的数值．
【答案】，4
【解析】
【分析】括号内先通分后计算，然后将除法转化为乘法计算，再选择合适的x代入求值即可．
【详解】解：原式

．
根据分式有意义的条件可得x＝2．
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则．
22. 如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中，，．
（1）在图中画出关于轴的对称图形，并分别写出对应点、，的坐标．
（2）在轴上是否存在一点，使得最小？若存在，请在图中描出点，若不存在请说明理由．
【答案】（1）关于轴的对称图形如图所示，，，
（2）存在，理由见详解
【解析】
【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则可得解．
【小问1详解】
解：如图所示，关于轴的对称图形，
∴，，．
【小问2详解】
解：存在，如图所示，
作点于轴的对称点，
∴，则，根据两点之间线段最短，
∴连接，则与轴的交点即是点的位置．
【点睛】本题考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
23. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接．
（1）求证：
（2）若，连接，平分，平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、平行线的判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键．
（1）先证明，由全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明结论；
（2）根据角平分线的定义以及可得，再根据三角形内角和定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵在和中，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
四、解答题二（共50分）
24 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若周长为，求长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案；
（2）根据已知能推出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：垂直平分，垂直平分，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
周长，，
，
即，
．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
25. 【阅读材料】
定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是______（填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
【答案】（1）①③④ （2）
【解析】
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义对①③④进行变形解答；
（2）由化简解答即可．
【小问1详解】
解：①，是“和谐分式”；②不是“和谐分式”；③，是“和谐分式”；④，是“和谐分式”
故答案为：①③④；
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查分式的化简求值及分式的定义，掌握分式的基本性质是解题关键．
26. 为响应习总书记“足球进校园”的号召，某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
(1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
(2）按照实际需要每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，购买的足球能够配备多少个班级？
【答案】(1）购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；(2）购买的足球能够配备20个班级．
【解析】
【分析】(1）设购买一个甲种足球需元，则购买一个乙种足球需 根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；
根据求出甲足球的数量，进行计算即可.
【详解】解：(1)设购买一个甲种足球需x元,则购买一个乙种足球需(x+20)，可得：
解得：x=50．
经检验x=50是原方程的解，
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；
由(1）可知该校购买甲种足球个，购买乙种足球20个，
∵每个班须配备甲足球2个，乙足球1个，
∴购买的足球能够配备20个班级．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，利用数量之间的关系建立分式方程是解题的关键．
27. 综合与实践
某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线，上．

【活动一】：
如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：______．（选填“能”或“不能”）
（2）设，求：的度数．
活动二】：
如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，求：用含的式子表示出的度数．
【答案】（1）能；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（3）本题需先根据，然后结合等腰直角三角形的性质分析计算；
【详解】解：（1）∵根据已知条件小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵，，
∴
∴
∵，
∴；
（3）∵，
∴
∴
同理可得：，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
28. 认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
①，②，
③，④
…
（1）请写出：算式⑤___________；算式⑥___________；
（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，请说明这个规律是成立的；
（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．
【答案】（1），
；
（2）见解析 （3）不成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得出⑤；⑥；
（2）由平方差公式得出，即可得出两个连续奇数的平方差能被8整除；
（3）举反例，如，即可判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法错误．
【小问1详解】
解：；
；
【小问2详解】
解：
，
为整数，
∴两个连续奇数的平方差能被8整除；
【小问3详解】
解：不成立，理由如下：
举反例，如，
∵12不是8的倍数，
∴这个说法不成立．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，将数进行合理的分解是解决整除问题的关键，对不成立的原因，举反例是行之有效的办法．