新高考数学一轮复习学案第3章第1讲 函数及其表示（含解析）

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一、知识梳理
1．函数的概念
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
[注意] 函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
[注意] 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
常用结论
几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
二、教材衍化
1．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝(eq \r(x＋1))2 B．y＝eq \r(3,x3)＋1
C．y＝eq \f(x2,x)＋1 D．y＝eq \r(x2)＋1
答案：B
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．
答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]
3．函数y＝eq \r(x－2)·eq \r(x＋2)的定义域是________．
解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2≥0，,x＋2≥0，))⇒x≥2.
答案：[2，＋∞)
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,x2，x0，))则f(x＋1)－9≤0的解集为________．
解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＋1，x≤0，,－\r(x)，x>0，))
所以当x＋1≤0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤－1，,2－（x＋1）－8≤0，))
解得－4≤x≤－1；
当x＋1>0时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>－1，,－\r(x＋1)－9≤0，))
解得x>－1.
综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．
答案：[－4，＋∞)
4．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝eq \f(1,x－1)；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的序号有________．
解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
答案：②③
函数
两集合A，B
A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
方法
解读
适合题型
直接法
构造使解析式有意义的不等式(组)求解
已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域
转移法
若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a