新高考数学一轮复习学案第3章第4讲 二次函数与幂函数（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第3章第4讲 二次函数与幂函数（含解析），共14页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
常用结论
1．巧识幂函数的图象和性质
2．记牢一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,b2－4ac<0.))
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,b2－4ac<0.))
二、教材衍化
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α＝________．
解析：因为函数f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(α)＝eq \f(\r(2),2)，解得α＝eq \f(1,2)，则k＋α＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
2．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为________．
解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．
所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.
所以g(x)的值域为[－1，3]．
答案：[－1，3]
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2xeq \s\up6(\f(1,3))是幂函数．( )
(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )
(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
二、易错纠偏
常见误区eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)幂函数定义不清晰，导致出错；
(2)二次函数的性质理解不到位出错；
(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错．
1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．
解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，代入解析式得α＝－eq \f(1,2)，则y＝x－eq \f(1,2)，由性质可知函数y＝x－eq \f(1,2)在(0，＋∞)上递减．
答案：y＝x－eq \f(1,2) (0，＋∞)
2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．
解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝12－20a<0，))解得a>eq \f(1,20).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,20)，＋∞))
考点一 幂函数的图象及性质(基础型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))的图象，了解它们的变化情况．
核心素养：数学抽象
1．已知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
解析：选A．设f(x)＝xα，由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(α)＝eq \r(3)，解得α＝－1，
因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．
2．已知a＝3eq \s\up6(\f(4,5))，b＝4eq \s\up6(\f(2,5))，c＝12eq \s\up6(\f(1,5))，则a，b，c的大小关系为( )
A．bC．c解析：选C．因为a＝81eq \s\up6(\f(1,5))，b＝16eq \s\up6(\f(1,5))，c＝12eq \s\up6(\f(1,5))，由幂函数y＝xeq \s\up6(\f(1,5))在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C．
3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．－1B．－1C．－1D．－1解析：选D．幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以04．若(a＋1)eq \s\up6(\f(1,2))<(3－2a)eq \s\up6(\f(1,2))，则实数a的取值范围是________．
解析：易知函数y＝xeq \s\up6(\f(1,2))的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3)))
eq \a\vs4\al()
幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
考点二 二次函数的解析式(基础型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解二次函数的定义，图象及性质．能够求解简单的二次函数的解析式．
核心素养：数学运算
(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解】 法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x＝eq \f(2＋（－1）,2)＝eq \f(1,2).所以m＝eq \f(1,2).又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8.因为f(2)＝－1，
所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即eq \f(4a（－2a－1）－a2,4a)＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
eq \a\vs4\al()
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：

1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象过点P(－1，11)，且其对称轴是直线x＝1，则a＋b的值是( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：选A．因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5的图象的对称轴是直线x＝1，所以－eq \f(b,2a)＝1 ①.又f(－1)＝a－b＋5＝11，所以a－b＝6 ②.联立①②，解得a＝2，b＝－4，所以a＋b＝－2，故选A．
2．已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
解析：由二次函数f(x)有两个零点0和－2，可设f(x)＝a(x＋2)x，则f(x)＝a(x2＋2x)＝a(x＋1)2－a.
又f(x)有最小值－1，则a＝1.所以f(x)＝x2＋2x.
答案：x2＋2x
考点三 二次函数的图象与性质(综合型)
eq \a\vs4\al(复习,指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))研究二次函数的图象与性质时应明确抛物线的开口方向，对称轴的位置，定义区间三者之间的相互关系．
角度一 二次函数图象的识别问题
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
【解析】 因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－eq \f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a【答案】 B
eq \a\vs4\al()
确定二次函数图象应关注的三个要点
一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．
二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．
三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．
从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．
角度二 二次函数的单调性及最值问题
(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________．
(2)求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值．
【解】 (1)当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝eq \f(3－a,2a)，
由f(x)在[－1，＋∞)上递减知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0,\f(3－a,2a)≤－1，))
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．故填[－3，0]．
(2)f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，
所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.
①当－a－eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5.
②当－a≥eq \f(1,2)即a≤－eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，
综上，f(x)max＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a＋5，a>－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).))
eq \a\vs4\al()
二次函数的单调性及最值问题
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
角度三 一元二次不等式恒成立问题
(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为____________．
【解析】 (1)作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（m）<0，,f（m＋1）<0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1<0，,（m＋1）2＋m（m＋1）－1<0，))解得－eq \f(\r(2),2)(2)由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．
所以g(x)min＝g(－1)＝1.
所以k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．
【答案】 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0)) (2)(－∞，1)
eq \a\vs4\al()
不等式恒成立求参数取值范围的思路
一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．
1．函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )
A．a＝0 B．a<0
C．0解析：选D．当a＝0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－2x＋3图象的对称轴为x＝eq \f(1,a)，要使f(x)在区间[1，3]上为增函数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(1,a)≥3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,\f(1,a)≤1，))解得a≥1.故选D．
2．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(0)B．f(0)C．f(2)D．f(－2)解析：选A．由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)，而抛物线的开口向上，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝eq \f(3,2)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－2－\f(1,2)))＝eq \f(5,2)，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(－2)>f(2)>f(0)．故选A．
3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．
解析：因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，对称轴x＝1，
因为f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
所以当1≤a时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1(舍去)或a＝3，
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，解得a＝1(舍去)或a＝－3，
当a<1故a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3，3)).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3，3))
[基础题组练]
1．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．cC．b解析：选D．根据幂函数的性质，可知选D．
2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A．在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增
B．在(－∞，3)上递增
C．在[1，3]上递增
D．单调性不能确定
解析：选A．由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2)上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
3．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－2
解析：选D．函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.
4．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )
A．在x轴上截得的线段的长度是2
B．与y轴交于点(0，3)
C．顶点是(－2，－2)
D．过点(3，0)
解析：选ABD．由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD．
5．(多选)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( )
A．f(－1) B．f(1)
C．f(2) D．f(5)
解析：选ACD．因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．
6．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)．则它的解析式为________．
解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，
所以3＝9a，即a＝eq \f(1,3).
所以y＝eq \f(1,3)(x－3)2＝eq \f(1,3)x2－2x＋3.
答案：y＝eq \f(1,3)x2－2x＋3
7．(2020·甘肃兰州一中月考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．
解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，
所以m＝2.
答案：2
8．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈R，f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是____________．
解析：当m＝0时，f(x)＝－1<0，符合题意．当m≠0时，f(x)为二次函数，则由f(x)<0恒成立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m<0，,（－m）2－4m×（－1）<0，))解得－4故实数m的取值范围是(－4，0]．
答案：(－4，0]
9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－5，5)).
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，
因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，
所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
10．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
则g(x)在区间[－1，1]上单调递减，
所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，
由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
[综合题组练]
1．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(11,3)，－3)) B．[－6，－4]
C．[－3，－2eq \r(2)] D．[－4，－3]
解析：选B．由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－eq \f(a,2)∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．
2．(2020·福建连城一模)已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)解析：选C．由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为x＝eq \f(1,4)，因为x1＋x2＝0，所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，由x13．(综合型)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)，若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，则f(x)的表达式为f(x)＝________；若当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，f(－1)＝a－b＋1＝0，所以a＝b－1，①
又因为f(x)＝aeq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x2＋\f(b,a)x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2a)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2a)))\s\up12(2)))＋1＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))eq \s\up12(2)＋1－eq \f(b2,4a)，所以a>0且f(x)min＝1－eq \f(b2,4a)＝0，②
联立①②解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1.
因为g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2－k,2)))eq \s\up12(2)＋1－eq \f(（2－k）2,4)，所以当eq \f(k－2,2)≥2或eq \f(k－2,2)≤－2时，函数g(x)在[－2，2]上是单调函数，故实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
答案：x2＋2x＋1 (－∞，－2]∪[6，＋∞)
4．(创新型)定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以eq \f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝m＝f(x0)，
即关于x0的方程－xeq \\al(2,0)＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，
解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1所以实数m的取值范围是(0，2)．
答案：(0，2)
5．(2020·江西赣州五校协作体联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)画出函数f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，当a>1时，求函数g(x)的最小值．
解：(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示．
若x>0，则－x<0，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，
所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x（x≤0），,x2－2x（x>0）.))
(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－2ax＋2，其图象的对称轴方程为x＝a＋1，
当a>1时，a＋1>2，g(x)＝x2－2x－2ax＋2在[1，2]上单调递减，
则g(x)在[1，2]上的最小值为g(2)＝2－4a.
6．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上为减函数，
所以f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在[1，a]上单调递减，
即f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(a)＝1，所以a＝2或a＝－2(舍去)．即实数a的值为2.
(2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.
所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
又函数f(x)的对称轴为直线x＝a，所以f(x)min＝f(a)＝5－a2，f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}，
又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
所以f(x)max＝f(1)＝6－2a.
因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
所以f(x)max－f(x)min≤4，即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，所以2≤a≤3.即实数a的取值范围为[2，3]
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
奇偶性
当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
对称性
图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)成轴对称图形