新高考数学一轮复习学案第5章阅读与欣赏(四)三角函数中ω值的求法（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第5章阅读与欣赏(四)三角函数中ω值的求法（含解析），共3页。学案主要包含了利用三角函数的周期T求解，利用三角函数的对称性求解，利用三角函数的最值求解等内容，欢迎下载使用。

一、利用三角函数的周期T求解
为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A．98π B．eq \f(197,2)π
C．eq \f(199,2)π D．100π
【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需要49eq \f(1,4)个周期，所以eq \f(197,4)T＝eq \f(197,4)·eq \f(2π,ω)≤1，所以ω≥eq \f(197,2)π.
【答案】 B
eq \a\vs4\al()
解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝eq \f(2π,ω)与所给区间的关系，从而建立不等关系．
二、利用三角函数的对称性求解
若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω的取值范围是________．
【解析】 令eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq \f(3,2)π＋2kπ(k∈Z)，得eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(3π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)，因为f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)≤\f(π,3)，,\f(π,2)≤\f(3π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，))得6k＋eq \f(3,2)≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋eq \f(3,2)<4k＋3，得0≤k【答案】 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
eq \a\vs4\al()
根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．
三、利用三角函数的对称性求解
(1)已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的一条对称轴为x＝eq \f(π,3)，一个对称中心为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))，则ω有( )
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
(2)若函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω∈N*)图象的一个对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，则ω的最小值为________．
【解析】 (1)因为函数的中心到对称轴的最短距离是eq \f(T,4)，两条对称轴间的最短距离是eq \f(T,2)，所以中心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))到对称轴x＝eq \f(π,3)间的距离用周期可表示为eq \f(π,3)－eq \f(π,12)＝eq \f(T,4)＋eq \f(kT,2)(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝eq \f(2π,ω)，所以(2k＋1)·eq \f(2π,ω)＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A．
(2)依题意得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πω,6)＋\f(π,6)))＝0，则eq \f(πω,6)＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ω的最小值为＝2.
【答案】 (1)A (2)2
eq \a\vs4\al()
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,2)，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为eq \f(T,4)，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．
四、利用三角函数的最值求解
已知函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
【解析】 显然ω≠0.
若ω>0，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时，－eq \f(π,3)ω≤ωx≤eq \f(π,4)ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，所以－eq \f(π,3)ω≤－eq \f(π,2)，解得ω≥eq \f(3,2).
若ω<0，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时，eq \f(π,4)ω≤ωx≤－eq \f(π,3)ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2.所以eq \f(π,4)ω≤－eq \f(π,2)，解得ω≤－2.
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)).
【答案】 (－∞，－2]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
eq \a\vs4\al()
利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．