新高考数学一轮复习学案第10章第7讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案第10章第7讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布（含解析），共17页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。


一、知识梳理
1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝eq \a\vs4\al(\i\su(i＝1,n, ))(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根eq \r(D(X))为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
4．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π)) .
(4)曲线与x轴之间的面积为1．
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
常用结论
均值与方差的七个常用性质
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
(6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
二、教材衍化
1．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________．
解析：E(X)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3).
答案：eq \f(7,3)
2．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，
因为E(Y)＜E(X)．所以乙技术好．
答案：乙
3．已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________．
解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，
且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，
所以2c－1＋c＋3＝3×2，所以c＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( )
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )
(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)期望、方差的性质不熟导致错误；
(2)二项分布的数学期望公式用法不当；
(3)求错分布列，导致E(ξ)出错．
1．已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1，22)，则E(Y)，D(Y)依次是________．
解析：由X～N(1，22)得E(X)＝1，D(X)＝4.又X＋2Y＝4，所以Y＝2－eq \f(X,2)，所以E(Y)＝2－eq \f(1,2)E(X)＝eq \f(3,2)，D(Y)＝eq \f(1,4)D(X)＝1.
答案：eq \f(3,2)，1
2．在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为eq \f(2,3)，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为________．
解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且Y～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(2,3)))，则E(Y)＝3×eq \f(2,3)＝2.
答案：2
3．一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时就放对了，否则就放错了．设放对个数记为ξ，则ξ的期望值为________．
解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有Aeq \\al(4,4)种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0，1，2，4，其中P(ξ＝0)＝eq \f(9,Aeq \\al(4,4))＝eq \f(3,8)，
P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,4)×2,Aeq \\al(4,4))＝eq \f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Aeq \\al(4,4))＝eq \f(1,4)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,Aeq \\al(4,4))＝eq \f(1,24)，E(ξ)＝0×eq \f(3,8)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,4)＋4×eq \f(1,24)＝1.
答案：1
考点一 均值与方差的计算(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念．
核心素养：数学运算
1．已知某离散型随机变量X服从的分布列如表，则随机变量X的方差D(X)等于( )
A．eq \f(1,9) B．eq \f(2,9)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
解析：选B．法一：由m＋2m＝1得m＝eq \f(1,3)，
所以E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9).
法二：由m＋2m＝1得m＝eq \f(1,3)，
根据两点分布的期望和方差公式可得E(X)＝eq \f(2,3)，D(X)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,9).
2．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( )
A．7.8 B．8
C．16 D．15.6
解析：选A．X的取值为6，9，12，相应的概率
P(X＝6)＝eq \f(Ceq \\al(3,8),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝9)＝eq \f(Ceq \\al(2,8)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝12)＝eq \f(Ceq \\al(1,8)Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,15).
E(X)＝6×eq \f(7,15)＋9×eq \f(7,15)＋12×eq \f(1,15)＝7.8.
3．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，这两个同学各猜1次，则他们的得分之和X的数学期望为( )
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
解析：选A．由题意，X＝0，1，2，则P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，
所以E(X)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
eq \a\vs4\al()
求均值与方差的方法技巧
考点二 二项分布的均值与方差(应用型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能计算二项分布的均值与方差．
核心素养：数学建模
雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实情况抽查．
(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；
(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为eq \f(1,2)，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．
【解】 (1)随机选取，共有34＝81种不同方法，
恰有一个城市没有专家组选取的有Ceq \\al(1,3)(Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,4))＝42种不同方法，
故恰有一个城市没有专家组选取的概率为eq \f(42,81)＝eq \f(14,27).
(2)设事件A：“一个城市需复检”，则P(A)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(4)＝eq \f(15,16)，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,4 096)，P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))eq \s\up12(2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,16)))eq \s\up12(1)＝eq \f(45,4 096)，P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))eq \s\up12(1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,16)))eq \s\up12(2)＝eq \f(675,4 096)，P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,16)))eq \s\up12(3)＝eq \f(3 375,4 096).
所以X的分布列为
X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,16)))，E(X)＝3×eq \f(15,16)＝eq \f(45,16).
eq \a\vs4\al()
(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值；
②求ξ取每个值的概率；
③写出ξ的分布列；
④由均值的定义求E(ξ)；
⑤由方差的定义求D(ξ)．
(2)二项分布的期望与方差
如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
[提醒] 均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均水平．
电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择．某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供您选择(其中有1种为草莓口味)．小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖)．
(1)小王花10元钱买三瓶，请问小王收到货的组合方式共有多少种？
(2)小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差．
解：(1)若三瓶口味均不一样，有Ceq \\al(3,8)＝56(种)；
若其中两瓶口味一样，有Ceq \\al(1,8)Ceq \\al(1,7)＝56(种)；
若三瓶口味一样，有8种．
故小王收到货的组合方式共有56＋56＋8＝120(种)．
(2)ξ所有可能的取值为0，1，2，3.
因为各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为eq \f(1,8)，
即随机变量ξ服从二项分布，即ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,8))).
P(ξ＝0)＝Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(0)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,8)))eq \s\up12(3)＝eq \f(343,512)，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,8)))eq \s\up12(2)＝eq \f(147,512)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,8)))eq \s\up12(1)＝eq \f(21,512)，
P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,8)))eq \s\up12(0)＝eq \f(1,512).
所以ξ的分布列为
数学期望E(ξ)＝np＝3×eq \f(1,8)＝eq \f(3,8)，
方差D(ξ)＝np(1－p)＝3×eq \f(1,8)×eq \f(7,8)＝eq \f(21,64).
考点三 均值与方差的实际应用(应用型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
核心素养：数学建模
某种产品的质量以其质量指标值衡量，并按照质量指标值划分等级如下：
现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值，得到了如下频率分布直方图．
现给出三个条件：
①y＝0.02.
②质量指标值不超过95的有65件．
③质量指标值的中位数是eq \f(605,6).
从①②③中选一个填入下面的横线上，并回答问题．若________．
(1)在样品中，按照产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中任取4件，求4件产品中三等品、二等品、一等品都有的概率；
(2)若将频率视为概率，已知该企业每销售一件此产品中的一等品的利润为10元，销售一件二等品和三等品的利润都是6元，那么销售600件此种产品，所获利润的期望值是多少元？
【解】 若选①y＝0.02.则有(0.002 5＋0.009＋0.01＋0.02＋0.026＋0.002 5＋x)×10＝1，解得x＝0.03.
(1)由频率分布直方图可知，样品中三等品、二等品、一等品的频率分别为(0.002 5＋0.01)×10＝0.125，(0.02＋0.03)×10＝0.5，(0.026＋0.009＋0.002 5)×10＝0.375，
所以样品中三等品、二等品、一等品的件数分别为25，100，75.若按照产品等级用分层抽样的方法抽取8件产品，那么应抽取的三等品、二等品、一等品的件数分别为1，4，3.
从这8件产品中任取4件，共有Ceq \\al(4,8)种等可能的取法，其中三等品、二等品、一等品都有的取法有Ceq \\al(1,1)(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3))种．
故4件产品中三等品、二等品、一等品都有的概率P＝eq \f(Ceq \\al(1,1)(Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)),Ceq \\al(4,8))＝eq \f(3,7).
(2)由(1)知，从该企业此产品中任取一件，其中是一等品的概率为0.375，是二等品或三等品的概率为0.625.
设从此产品中任取一件并销售所得的利润为η，则η的分布列为
因此E(η)＝10×0.375＋6×0.625＝7.5(元)．
故销售600件此种产品，所获利润的期望值为600E(η)＝600×7.5＝4 500(元)．
若选②，
质量指标值不超过95的有65件．则有(0.002 5＋0.01＋y)×10×200＝65.
解得y＝0.02.下与选①相同．
若选③，质量指标值的中位数是eq \f(605,6)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(105－\f(605,6)))×x＋(0.026＋0.009＋0.002 5)×10＝0.5.解得x＝0.03.下与选①相同．
eq \a\vs4\al()
均值与方差的实际应用
(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用eq \r(D(X))来描述X的分散程度．
(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
(2020·湖北武汉模拟)某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000，6 000，2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：
已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；
(2)现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．
解：(1)设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为
所以E(X)＝25×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,105)))＋(25－100×104)×eq \f(1,105)＝15，
E(Y)＝25×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,105)))＋(25－100×104)×eq \f(2,105)＝5，
E(Z)＝40×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,104)))＋(40－50×104)×eq \f(1,104)＝－10，
保险公司所获利润的期望值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000，
所以保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．
(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为12 000×100×104×eq \f(1,105)＋6 000×100×104×eq \f(2,105)＋2 000×50×104×eq \f(1,104)＋12×104＝46×104；
方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)×0.7＝37.1×104.
因为46×104＞37.1×104，
所以建议企业选择方案2.
考点四 正态分布(基础型)
eq \a\vs4\al(复习指导)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
核心素养：数学抽象
1．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X＞4)＝P(X＜0)，则μ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B．正态曲线关于直线x＝μ对称，若P(X＞4)＝P(X＜0)，则μ＝eq \f(4＋0,2)＝2.
2．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2＜X＜4)＝( )
A．0.682 6 B．0.341 3
C．0.460 3 D．0.920 7
解析：选A．因为随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(x≥4)＝0.158 7，所以P(X≤2)＝0.158 7，所以P(2＜X＜4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝0.682 6，故选A．
3．某校在一次月考中有900人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X～N(90，a2)(a＞0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的eq \f(3,5)，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．
解析：因为成绩服从正态分布X～N(90，a2)，
所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称，
又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的eq \f(3,5)，
由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＝eq \f(1,5)，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有eq \f(1,5)×900＝180(人)．
答案：180
eq \a\vs4\al()
服从N(μ，σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法
(1)利用P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值直接求；
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解．
[基础题组练]
1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析：选A．由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．2 D．eq \f(8,3)
解析：选D．因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝eq \f(1,Ceq \\al(2,3))＝eq \f(1,3)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,1),Ceq \\al(2,3))＝eq \f(2,3)，所以E(X)＝2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).
3．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σeq \\al(2,1))，N(μ2，σeq \\al(2,2))，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
解析：选ABC．由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1＜μ2，故A正确，C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即eq \f(1,\r(2π)σ2)＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．
4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )
A．6，2.4 B．2，2.4
C．2，5.6 D．6，5.6
解析：选B．由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.
因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，
D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为eq \f(2,3).如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A．3 B．eq \f(8,3)
C．2 D．eq \f(5,3)
解析：选B．在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝eq \f(8,9)，未通过的概率为eq \f(1,9).由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(3)＝eq \f(1,729)，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))eq \s\up12(1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(2)＝eq \f(24,729)＝eq \f(8,243)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(1)＝eq \f(192,729)＝eq \f(64,243)，
P(X＝3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,9)))eq \s\up12(3)＝eq \f(512,729).
所以随机变量X的分布列为
数学期望E(X)＝0×eq \f(1,729)＋1×eq \f(8,243)＋2×eq \f(64,243)＋3×eq \f(512,729)＝eq \f(8,3).
6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________．
解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案：－0.2
7．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有________件．
(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ＝0.954 5)
解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.682 7＋eq \f(0.954 5－0.682 7,2)＝0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8 186(件)．
答案：8 186
8．(2020·浙江浙北四校模拟)已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．
解析：从袋中3个球中任取2个球，共有Ceq \\al(2,3)种取法，则其中ξ的可能取值为0，1，且ξ服从超几何分布，所以P(ξ＝0)＝eq \f(Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,3))＝eq \f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(1,2),Ceq \\al(2,3))＝eq \f(2,3)，所以E(ξ)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9).
答案：eq \f(2,3) eq \f(2,9)
9．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq \\al(3,9)＝84，随机变量X可能的取值为0，－1，1，因此P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,8),Ceq \\al(3,9))＝eq \f(2,3)，P(X＝－1)＝eq \f(Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,9))＝eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝1－eq \f(1,14)－eq \f(2,3)＝eq \f(11,42)，
所以X的分布列为
则E(X)＝0×eq \f(2,3)＋(－1)×eq \f(1,14)＋1×eq \f(11,42)＝eq \f(4,21).
10．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．
(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；
(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．
解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种情况的概率为eq \f(Ceq \\al(3,5),Ceq \\al(3,6))×eq \f(1,Ceq \\al(1,3))＝eq \f(1,6)；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为eq \f(Ceq \\al(2,5),Ceq \\al(3,6))×eq \f(1,Ceq \\al(1,3))＝eq \f(1,6).
所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为eq \f(1,6)＋eq \f(1,6)＝eq \f(1,3).
(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.
P(η＝10)＝eq \f(1,6)，
P(η＝18)＝eq \f(5,6)×eq \f(1,5)＝eq \f(1,6)，
P(η＝24)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,6)，
P(η＝30)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，
P(η＝36)＝eq \f(5,6)×eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
则化验费η的分布列为
所以E(η)＝10×eq \f(1,6)＋18×eq \f(1,6)＋24×eq \f(1,6)＋30×eq \f(1,6)＋36×eq \f(1,3)＝eq \f(77,3)(元)．
[综合题组练]
1．(2020·湖北部分重点中学测试)为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性，将它们各自量化为1，2，3三个等级，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定学生的数学核心素养，，若ω≥7，则数学核心素养为一级；若5≤ω≤6，则数学核心素养为二级；若3≤ω≤4，则数学核心素养为三级．为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
(1)从这10名学生中任取2人，求这2人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)从这10名学生中任取3人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
解：(1)
由题意可知，数学核心素养为三级的学生是A9；数学核心素养为二级的学生是A4，A7，A10；数学核心素养为一级的学生是A1，A2，A3，A5，A6，A8.
记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B，
则P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))＝eq \f(Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,2),Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,5))＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
(2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A1，A2，A3，A5，A6，A8.
非一级的学生为余下4人，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝eq \f(Ceq \\al(0,6)Ceq \\al(3,4),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,30)，P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,4),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(3,10)，
P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,2)，P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(0,4),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(1,6)，
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(1,30)＋1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(9,5).
2．(2020·云南昆明检测)某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．
(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)；
(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．
①求一棵B种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？
解：(1)由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝0.2(1－p)2，
P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×Ceq \\al(1,2)×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，
P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×Ceq \\al(1,2)×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，
P(X＝3)＝0.8p2.
X的分布列为
所以E(X)＝1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.
(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．
①一棵B树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.
②记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200 000，则有n≥699.3.
所以该农户至少种植700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
X
0
1
P
m
2m
技巧
方法
适用题型
巧用特殊分布列
利用相应公式直接求解
两点分布、二项分布
巧借性质
利用E(aX＋b)＝aE(X)＋b
D(aX＋b)＝a2D(X)
两随机变量有明确的线性关系
利用公式
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2
计算复杂的方差
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,4 096)
eq \f(45,4 096)
eq \f(675,4 096)
eq \f(3 375,4 096)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(343,512)
eq \f(147,512)
eq \f(21,512)
eq \f(1,512)
质量指标值m
m＜85
85≤m＜105
m≥105
等级
三等品
二等品
一等品
η
10
6
P
0.375
0.625
工种类别
A
B
C
赔付频率
eq \f(1,105)
eq \f(2,105)
eq \f(1,104)
X
25
25－100×104
P
1－eq \f(1,105)
eq \f(1,105)
Y
25
25－100×104
P
1－eq \f(2,105)
eq \f(2,105)
Z
40
40－50×104
P
1－eq \f(1,104)
eq \f(1,104)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,729)
eq \f(8,243)
eq \f(64,243)
eq \f(512,729)
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
X
0
－1
1
P
eq \f(2,3)
eq \f(1,14)
eq \f(11,42)
η
10
18
24
30
36
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
学生编号
A1
A2
A3
A4
A5
(x，y，z)
(2，2，3)
(3，2，3)
(3，3，3)
(1，2，2)
(2，3，2)
学生编号
A6
A7
A8
A9
A10
(x，y，z)
(2，3，3)
(2，2，2)
(2，3，3)
(2，1，1)
(2，2，2)
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
x
2
3
3
1
2
2
2
2
2
2
y
2
2
3
2
3
3
2
3
1
2
z
3
3
3
2
2
3
2
3
1
2
w
7
8
9
5
7
8
6
8
4
6
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,30)
eq \f(3,10)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
X
0
1
2
3
P
0.2p2－0.4p＋0.2
0.4p2－1.2p＋0.8
－1.4p2＋1.6p
0.8p2