新高考数学三轮冲刺小题必练1 集合与简易逻辑（2份打包，原卷版+教师版）

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1．集合的概念与表示
①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系．
②针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．
③在具体情境中，了解全集与空集的含义．
2．集合的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
4．必要条件、充分条件、充要条件
①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．
②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．
③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
5．全称量词与存在量词
通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．
6．全称量词命题与存在量词命题的否定
①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．
②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．
1．【2020全国I卷理科】设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】含参的交集运算，是高考的常规考查．
2．【2020北京卷】已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】考查三角函数和充分条件与必要条件，利用诱导公式即可得，属于常规考查．
一、单选题．
1．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
2．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，
可知“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数”的充分条件；
当 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
可知“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数”的必要条件，
综上所述，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数”的充要条件．
3．命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，注意到要否定结论，
所以：命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
4．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两条不同的直线， SKIPIF 1 < 0 是两个不同的平面，则命题 SKIPIF 1 < 0 : SKIPIF 1 < 0 的一个充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 的充分条件是 SKIPIF 1 < 0 ，则需要满足 SKIPIF 1 < 0 ．
对于选项A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以满足 SKIPIF 1 < 0 ，故选项A正确；
对于选项B，由命题 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选项B错误；
对于选项C，由命题 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置关系是平行或相交或异面， SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
对于选项D，由命题 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的位置关系是平行或相交或异面， SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误，
故选A．
5．若命题 SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是真命题，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】命题 SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是真命题，则需满足 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”
C．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件
D．对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 不成立，故A错误；
B．命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”故B错误；
C．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，故C正确；
D．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不成立，故D错误．
7．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 都可以，
∴“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件．
8．设 SKIPIF 1 < 0 ，若“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分而不必要条件，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分而不必要条件，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
二、多选题．
9．下面命题正确的是（ ）
A．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件
B．命题“任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”
C．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要而不充分条件
D．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，故A对；
对于B，全称量词命题的否定是存在量词命题，“任意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ”，故B对；
对于C，“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”，“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分条件，故C错；
对于D， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件，故D对，
故选ABD．
10．下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B．“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”
C．直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0
D．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
对于B，“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 ，故C不正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由于大边对大角，故 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选BD．
11．下列四种说法中正确的有（ ）
A．命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”；
B．若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
C．复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】选项A：命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的否定应该是“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”，故选项A错误；
选项B：因为不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项B正确；
选项C：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以满足 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故选项D正确，
故选BCD．
12．下列选项中说法正确的是（ ）
A．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角
B．若命题 SKIPIF 1 < 0 ：存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的否定是：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
C．已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的可导函数，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点”的必要不充分条件
D．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件
【答案】CD
【解析】对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同向时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 度，不是锐角，故A不正确；
对于B，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的否定为：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对于C，已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的可导函数，则“ SKIPIF 1 < 0 ”时，函数不一定有极值，
若“ SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点”，则一定有“ SKIPIF 1 < 0 ”，
所以已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的可导函数，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点”的必要不充分条件，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时单调递减，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故D正确，
故选CD．
三、填空题．
13．已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，且若下列三个关系：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ，有且只有一个正确，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 的取值情况如下：
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时不满足条件；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 此时不满足条件；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 此时不满足条件；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 此时满足条件；
综上得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ．
14．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，命题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
15．设有两个命题：（1）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】①∵不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 表示数轴上的 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离之和，最小值等于 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
②∵函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，①不正确，而②正确，两个命题有且只有一个正确，
实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
16．用列举法表示集合 SKIPIF 1 < 0 是 ；用描述法表示“所有被 SKIPIF 1 < 0 除余 SKIPIF 1 < 0 的整数组成的集合”是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
所有被 SKIPIF 1 < 0 除余 SKIPIF 1 < 0 的整数组成的集合为 SKIPIF 1 < 0 ．