2024年高考数学真题完全解读（新高考Ⅰ卷）

这是一份2024年高考数学真题完全解读（新高考Ⅰ卷），共29页。试卷主要包含了加强考教衔接,引导中学教学，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024年高考数学全国卷,考主干、考能力、考素养,重思维、重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方法和创新能力.创设全新的试卷结构,减少题量,给学生充足的思考时间,加强思维考查,强化素养导向,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,助力教育强国建设.
一、依托高考评价体系,创新试卷结构设计
2024年数学新课标卷调减了题量,同时增加了解答题的总分值,优化了多选题的赋分方式,强化了考查思维过程和思维能力的功能.试卷题量减少能够增加用于思考的时间,学生不必过多地关注做题的进度和速度,可以更专注、更深入地思考,更从容地试错,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥了高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养.
新课标卷打破以往的模式,灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序,有助于打破学生机械应试的套路,打破教学中僵化、固定的训练模式,防止猜题押题,同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力,灵活地整合知识解决问题.如新课标Ⅰ卷将解析几何试题安排在解答题的第2题,数列内容则结合新情境,安排在最后压轴题的位置.
试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养,引导中学教学遵循教育规律,突出数学教学本质,回归课标,重视教材,重视概念教学,夯实学生学习基础,给学生留出思考和深度学习的空间.避免超纲学、超量学,助力减轻学生学业负担.如新课标Ⅰ卷第10题以基本求导公式及求导法则、利用导数判断函数单调性的方法为素材,考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力,以及学生的逻辑推理能力、运算求解能力.
二、突出思维能力考查,助力拔尖创新人才选拔
数学作为一门重要的基础学科,也是唯一一门理科性质的统考科目,在服务人才选拔、服务国家发展战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用.2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判性思维、创新思维等关键能力,助力拔尖创新人才选拔,引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力.
试卷贯彻改革要求,注重整体设计,很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系,统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量.优化题量设置、合理控制试题的计算量,尽量避免繁难运算,保证学生在分析问题的过程中有充裕的时间进行思考,强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.如新课标Ⅰ卷第12题,通过应用双曲线的定义和性质,可以避免较为复杂的坐标计算以及联立方程求解,从而有效地减少计算量,节省考试时间.
试题突出创新导向,新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况,创新能力考查策略,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,加强解答题部分对基本能力的考查,提升压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.如新课标Ⅰ卷第19题以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题.试题强化综合性考查,强调对原理、方法的深入理解和综合应用,考查知识之间的内在联系,引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握,引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学,培养学生形成完整的知识体系和网络结构.如新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算,第18题在函数导数试题中考查了曲线的对称性的这一几何性质.
三、加强考教衔接,引导中学教学
2024年高考数学试卷立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容,注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用,强调知识的整体性和连贯性,引导教学以课程目标和核心素养为指引,避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性,避免盲目钻研套路和机械训练.
高考数学通过创新试卷结构设计和题目风格,深化基础性考查,强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.增加基础题比例、降低初始题起点,增强试题的灵活性和开放性.如新课标Ⅰ卷第14题,不是考查学生记住了哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力,使得一些套路无用、模板失效,让死记硬背的教学方式不能适应现在高考的新要求.
1.总题量由22题减少为19题,多选题由4题减少为3题,填空题由4题减少为3题,解答题由6道减少为5题.
2.多选题分值由每题5分调整为每题6分,解答题分值增加,由原来的70分增加到77分.
3.增加新定义问题,全国卷 = 1 \* ROMAN I为数列新定义问题压轴,解答题中少了单调考查概率统计的试题,导数题目增加为3道,立体几何题由3道减少为2道,导数解答题中出现对“纯”函数内容的考查.
4.大部分题目都比较简单,考查基础知识与基本技能题占100分左右,难题数量少,但更难,难在数学上思维上.减少题量,体现“多想少算”,加强思维考查,强化素养导向,容易题占多数,难题更难,给不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,不考死记硬背、不出偏题怪题,引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.
1．重视“双基”复习,首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）过一下,做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理； 熟悉并运用常见的基本技能和方法.
2.一轮复习要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.
3.对复习资料要处理,删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目,对基本运算能力、空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求
4. 第一轮复习结束后,要做好以下几个方面的工作：抓住每一专题（板块）的宏观主线,提纲挈领,将板块知识及题型和解题方法等高度系统化,条理化.把高考试题进行专题整合,采对重要知识、方法和技能通过高考试题的链式分析,体会“突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵,真正明白高考到底考什么、怎么考,对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脉络.
5. 对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多,可以说会做做不对是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,同时再找几道类似的题进行巩固,做到以例及类、题不二错.
2024年高考数学真题完全解读（新高考 = 1 \* ROMAN I卷）
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ,,则=（ ）
A．B．C．D．
【命题意图】本题考查集合的交集运算及简单不等式的解法,考查数学运算的核心素养.难度：易.
【解析】由得,因为,,所以,故选A.
【快解】因为,排除BCD,故选A.
【点评】集合是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系,所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集,这种考查方式多年来保持稳定.
【知识链接】
1.求解集合的运算问题的三个步骤：
(1)看元素构成,集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键,即辨清是数集、点集还是图形集等,如{x|y＝f(x)},{y|y＝f(x)},{(x,y)|y＝f(x)}三者是不同的；
(2)对集合化简,有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决；
(3)应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).
2．若,则 （ ）
A．B．C．D．
【命题意图】本题考查复数的运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.
【答案】C
【解析】由得,,故选C.
【点评】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,新高考复数题单选题、多选题、填空题都可能出现,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数相等、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
【知识链接】
解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
3．已知向量,若,则（ ）
A． B．C．1D. 2
【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.
【答案】D
【解析】因为,所以,所以,故选D.
【点评】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积,可以是容易题,也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.
【知识链接】
1. 求平面向量数量积,当已知向量的模和夹角时,可利用a·b＝|a||b|cs〈a,b〉求解；当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a·b＝x1x2＋y1y2.
2.求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种,一是建立坐标系,把问题转化为代数问题利用函数思想或基本不等式求解,二是引进角作变量,把问题转化为三角函数求最值或范围.
4.已知,则
A． B．C． D.
【命题意图】本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系式,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.
【答案】A
【解析】因为.所以2,所以=,故选A.
【快解】因为,取,则=,=,故选A.
【点评】三角函数与解三角形在高考中通常有2-3道试题,若有3道题,通常是三角变换、三角函数图像与性质、解三角形各有1道题.
【知识链接】
1.使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征．
2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
3.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角,二看名,三看式子结构与特征；三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
4.给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法．
5． 已知圆柱与圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为
（ ）
A． B．C． D．
【命题意图】本题考查圆柱与圆锥的侧面积与体积,考查逻辑推理、直观想象等核心素养.难度：易
【答案】B
【解析】设圆柱与圆锥的底面半径相等为,由侧面积相等,且它们的高均为,得,解得,所以圆锥的体积为,故选B.
【点评】新课标高考数学立体几何客观题一般有两道（今年特殊,只有1到客观题）,一般分别涉及多面体与旋转体,表面积、体积计算及线面位置判断是考查热点.
【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解,对于不规则多面体的体积计算常采用割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积；对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”.
6.已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查分段函数的单调性,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.难度：中
【答案】B
【解析】当时单调递增,要使在R上单调递增,应满足,所以,故选B.
【点评】高考函数客观题一般有2道,考查热点是函数的奇偶性、单调性与周期性,利用函数单调性求参数取值范围更是热点中的热点.
【知识链接】
1.确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性．
2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值．
7．时,曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查数形结合思想,考查直观想象的核心素养.难度：中
【答案】C
【解析】作出曲线与在上的图象如图所示,由图象可得交点有6个,故选C.
【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题求解没有过多的技巧,关键是能熟练作出三角函数图像,高考中有不少题目都需要借助图形求解,在此提醒考生,做题时千万不要得“意”忘“形”.
【知识链接】
1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
2.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0,ω≠0),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点．
3.根据y＝Asin(ωx＋φ),x∈R的图象求解析式的步骤：
(1)首先确定振幅和周期,从而得到A与ω.
(Ⅰ)A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．
(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的eq \f(1,4)个周期(借助图象很好理解记忆)．
(2)求φ的值时最好选用最值点求．
峰点：ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ.
也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点．
升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)．
8．已知函数的定义域为R,,且当时,,则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查抽象函数求值,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难
【答案】C
【解析】由时,得,=3>5,,,不等式右侧恰好是裴波那契数列从第3项起的各项：3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,所以,故选B.
【点评】抽象函数是近两年高考考查热点,考查频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式的交汇问题.
【知识链接】
1.本题是由裴波那契数列改编而成,下面列出斐波那契数列 的一些基本性质,供有兴趣的同学参考：
(1)=；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7) ；
(8).
2.对称性与周期性是抽象函数考查的热点,下面列出一些基本结论,供参考：
(1)若,则的图象关于直线对称；
(2)的图象与的图象关于直线对称；
(3)若,则的图象关于点对称.
(4)若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(5)若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
(6)若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.
二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值,样本方差,已知该种植区以往的亩收入服从正态分布,假设推动出口后的亩收入服从正态分布,则（）（若随机变量Z服从正态分布,）
A．
B．
C．
D．
【命题意图】本题考查正态分布,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：易
【答案】BC
【解析】依题可知,,所以,
故,C正确,D错误；
因为,所以,因为,所以,
而,B正确,A错误,故选BC．
【点评】概率统计在新高考试卷中通常有2-3道题,由于概率统计知识点比较多,出题没有固定方向,但大多有实际背景.
【知识链接】
正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方,与x轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；④曲线与x轴之间的面积为1；
2.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
10．设函数,则（）
A．是的极小值点
B．当时,
C．当时,
D． 当时,
【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性,考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：中
【答案】ACD
【解析】解法一：对于A,因为,当时,,当或时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,是函数的极小值点,A正确；对于B,当时, ,由在上单调递增,可得,B错误；对于C,当时,,由在上单调递减,可得,即,C正确；对于D,当时,,所以,D正确；故选ACD.
解法二：对于A,由,且时,,当时,,得 是函数的极小值点,A正确；对于B, 取,则,,>,B错误；对于C,因为,,C正确；对于D,当时,,所以,D正确；故选ACD.
【点评】利用导数研究函数单调性是高考热点,客观题中此类问题常与数式大小比较、不等式等知识交汇.
【知识链接】
1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)