山东省日照市东港区新营中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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（120分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 年是龙年，本次春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”，请问的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数的概念：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，的相反数是．
【详解】且与符号相反
是的相反数．
故选：B．
2. 有理数4平方根是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，他们互为相反数即可得到结果，掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴4的平方根是．
故选：D．
3. 如图，小手盖住的坐标可能为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．
【详解】解：A．在第二象限，故不符合题意；
B．在第三象限，故符合题意；
C．在第四象限，故不符合题意；
D．在y轴上，故不符合题意；
故选B．
4. 截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】解：由图可知该几何体的主视图是 ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
5. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A. 两钉子固定木条B. 测量跳远成绩
C. 木板上弹墨线 D. 弯曲河道改直
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质,用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上是两点确定一条直线；木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，可用两点确定一条直线来解释的现象；测量跳远成绩是垂线段最短求脚后跟到起跳线的距离；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程是两点之间，线段最短；据此分别判断即可．
【详解】A．两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
B．测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
C．木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
D．把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
故选：B．
6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童人，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据竿的数量一定，列出方程即可．
【详解】解：设有牧童人，由题意，得：；
故选A．
7. 将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中与不相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查对顶角，同角的余角相等．分别求出每个选项中的关系，进行判断即可．
【详解】解：A、根据对顶角相等，得到，不符合题意；
B、由图可知：，故与不相等，符合题意；
C、由图可知：，不符合题意；
D、由图可知：，不符合题意；
；
故选B．
8. “中国结”寓意美满团圆，中间的图案是由小正方形按一定规律组成，其中第1个图形共有小正方形14个；第2个图形共有小正方形19个；第三个图形共有小正方形24个；……则第n个图形中小正方形的总个数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查图形类规律探究，根据已知数据，得到后一个图形比前一个图形多5个小正方形，列出代数式即可．
【详解】解：由题意，得：后一个图形比前一个图形多5个小正方形，
∴第n个图形中小正方形的总个数为：；
故选C．
9. 如果与互余，与互补，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据与互余，与互补，可得①，②，通过求差，可得与的关系．
【详解】解：∵与互余，与互补，
∴①，②，
②①得，，
变形为：，
故选：B．
【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行恒等变形，是寻找关系的一般方法．
10. 如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（ ）
甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系；
乙：我列的方程，找的是大长方形的长作相等关系．
A. 甲对乙不完全对B. 甲不完全对乙对
C. 甲乙都正确D. 甲乙都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据小长方形的长作为相等关系，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设，根据小长方形的长作为相等关系，得出，
根据大长方形的宽做相等关系可得，
∴甲对乙不完全对，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 2023年10月28日，巴蜀中学建校90周年办学成果展示活动当天，广大校友、各界宾朋与巴蜀师生齐聚一堂，共襄盛典，畅叙情谊，齐展宏图，同谱华章．据统计，当天参与活动的人数大约为人，将用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知的补角为，则的度数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了补角的定义，角度的计算，根据补角的定义：度数之和等于的两个角互补，即可进行解答，掌握补角的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
13. 2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考考查了钟面角度的计算和时针、分针的转动速度．熟练掌握钟面角度的计算和时针、分针的转动速度是解题的关键．钟面被平均分成了个大格，每个大格的角度是；时针每分钟转，分针每分钟转．
先求出2点时，时针与分针的初始夹角，再根据时针和分针的转动速度，计算分钟后它们的夹角即可．
【详解】解：2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数为：．
故答案为：．
14. 有理数在数轴上的位置如图所示，则将式子化简后的结果为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴，绝对值，由数轴得到，进一步判断出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握数轴的性质以及绝对值的化简是解题的关键．
【详解】由数轴得，，
∴，
∴
，
故答案为：．
15. 若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将一元一次方程变形可得是方程的解，即可得出答案，解题的关键是得出是方程的解．
【详解】解：将一元一次方程变形得：，
关于的一元一次方程的解为，
是方程的解，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题．
【详解】解：，
，
当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
第二卷
三、解答题：（共计72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了乘法运算、开方运算、绝对值的运算和四则混合运算的顺序．熟练掌握乘法运算、开方运算、绝对值的运算和四则混合运算的顺序是解题的关键．
（1）按照先乘方、开方，再乘除，最后加减的顺序进行计算，同时要注意绝对值的运算规则；
（2）按照先乘方、开方，再乘除，最后加减的顺序进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x=6或
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，利用平方根解方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解一元一次方程，平方根概念是解题的关键．
（1）移项后，利用平方根的概念进行求解即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解．
【小问1详解】
解：
移项得，
直接开方得，
∴，
∴x=6或；
【小问2详解】
解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
19. 如图，在平面直角坐标系中．
（1）确定点A、B的坐标；
（2）描出点C(﹣1，﹣2)，点D(2，﹣3)．

【答案】（1）A(﹣1，2)，B(2，0)；（2）答案见解析．
【解析】
分析】（1）直接利用平面直角坐标系得出A，B点坐标；
（2）直接利用C，D点坐标在坐标系中确定即可．
【详解】（1）A(﹣1，2)，B(2，0)；
（2）如图所示：C，D点即为所求．
【点睛】本题考查了位置与点的坐标的相关知识，理解坐标值的定义是解题的关键.
20. 如图，不在同一直线上的三点A，B，C．
（1）（尺规作图，保留作图痕迹）按下列要求作图；
①分别作直线BC，射线BA，线段AC；
②在线段BA的延长线上作．
（2）在你所作的图形中，若，求的度数．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）108°
【解析】
【分析】（1）①根据直线、射线、线段的定义，即可求解；
②在线段AC作AE=AB，然后在BA的延长线上作AD=CE，则即为所求，即可求解；
（2）设，再由，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：①根据题意画出图形如下图：
直线BC，射线BA，线段AC即为所求；
②在线段AC作AE=AB，然后在BA的延长线上作AD=CE，则即为所求，画出图形如下图：
【小问2详解】
解： ∵，
∴可设，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，作一条线段等于已知线段，邻补角的性质，熟练掌握直线、射线、线段的定义，作一条线段等于已知线段，邻补角的性质是解题的关键．
21. 完成下面推理过程，并在括号内填上推理依据．
已知：如图，
求证：
证明：（已知）
① （同旁内角互补，两直线平行）
（ ② ）
（已知）
（等量代换）
③ （ ④ ）
（两直线平行，内错角相等）
【答案】①；②两直线平行，同位角相等；③；④内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明得到，进而证明推出，由此即可证明．
【详解】证明：（已知）
（同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
故答案为：CD；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行．
22. 先化简，再求值：当代数式的值与字母的取值无关时，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算−化简求值，先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，最后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】∵代数式的值与字母x的取值无关，
，
，
，
当时，
原式．
23. 为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多元，两套队服与三个足球的费用相等．
（1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？
（2）甲商场优惠方案：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过套，则购买足球打八折．若该校购买套队服和个足球其中且为整数，请通过计算说明，学校采用哪种优惠方案更省钱？
①请用含的式子表示：
甲商城所花的费用______，乙商城所花的费用______；
②当购买的足球数为何值时在两家商场购买所花的费用一样？
【答案】（1）每套队服元，每个足球元
（2）①元；元；②购买的足球数为时在两家商场购买所花的费用一样
【解析】
【分析】（1）设每个足球的定价是元，则每套队服是元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可；
（2）①根据题意列式子即可；②根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解．
【小问1详解】
解：设每个足球的定价是元，则每套队服是元，根据题意得：
，
解得，
．
答：每套队服元，每个足球元；
【小问2详解】
①甲商场购买所花的费用为：元，
乙商场购买所花的费用为：元；
故答案为：元；元；
②两家商场购买所花的费用一样时，，
解得，
答：购买的足球数为时在两家商场购买所花的费用一样．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
24. 直角三角尺的直角顶点在直线上，平分．
（1）在图中，若，求的度数；
（2）在图中，若，直接写出的度数（用含的式子表示）；
（3）将图中的三角尺绕顶点旋转至图的位置，写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）；理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质以及角的计算．
（1）先求出和的度数，再根据求解即可；
（2）先用表示出和，再根据求解即可；
（3）先求出，再根据求解即可．
小问1详解】
解：，，
，，
又平分，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
又平分，
，
；
【小问3详解】
解：．理由如下：
点在直线上，
，
平分，
，
，
．