重庆市沙坪坝区第八中学2023-2024学年九年级下学期数学开学考试模拟试题（解析版）

这是一份重庆市沙坪坝区第八中学2023-2024学年九年级下学期数学开学考试模拟试题（解析版），共30页。试卷主要包含了 的相反数是， 下列调查中，适合普查的是， 估计的值在， 有个依次排列的整式等内容，欢迎下载使用。

1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．根据相反数的概念解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：C．
2. 下列4个汉字中可以看成是轴对称图形是（ ）
A. 中B. 国C. 繁D. 华
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此即可求解．
【详解】解：选项B、C、D的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项A的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A
3. 下列调查中，适合普查的是（ ）
A. 调查全国中学生的视力情况B. 调查一批电池的使用寿命
C. 调查遭受积石山地震损坏的房屋数量D. 调查市场上某种饮料的质量情况
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A、调查全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B、调查一批电池的使用寿命，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
C、调查遭受积石山地震损坏的房屋数量，适合全面调查，故本选项符合题意；
D、调查市场上某种饮料的质量情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 估计的值在（ ）
A. 4到5之间B. 5到6之间C. 6到7之间D. 7到8之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式混合运算，无理数的估算；由二次根式混合运算法则运算得，再用逐步逼近法可得即可求解；掌握二次根式运算法则和逐步逼近法是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
，
，
故选：B．
5. 如图，已知是射线上的任意一点，于，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定义可得csα=即可得到答案．
【详解】解：∵PM⊥OA于M，且OM：OP=4：5，
∴csα==；
故选C．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．
6. 如图，与是位似图形，位似中心为O，，，则的面积为（ ）

A. 12B. 16C. 21D. 49
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案．
【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为O，，
∴，
∵，
∴的面积为：49．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出三角形面积比是解题关键．
7. 下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，则第6个图形中小正方形的个数是（ ）
A. 24B. 30C. 35D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，解题的关键是依次求出图形中小正方形的个数，并发现其规律．
根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图形中小正方形的个数为：；
第2个图形中小正方形的个数为：；
第3个图形中小正方形的个数为：；
…，
依次类推，第n个图形中小正方形的个数为个．
第6个图形中小正方形的个数是，
故选：D．
8. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，连接．由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则．
详解】解：如图，连接．
由圆周角定理可得，
，
，
，
，
．
是的切线，
，
．
．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，利用圆周角定理得出是解答本题的关键．
9. 如图，在正方形中，为上一点，连接于点，连接，设，若，则一定等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形性质及全等三角形判定与性质等知识点，过点C作于G，由四边形是正方形，利用证得，得出，结合，推出，即是等腰直角三角形，，再运用三角形外角性质即可得出答案，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
【详解】过点C作于G，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
10. 有个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：
①第5项为； ②；
③若，则； ④当时，第项的值为．
以上结论正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意表示出第n个整式及是解题的关键．
依次求出各整式及…，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
，
整式中的第2项为：，
，
整式中的第3项为：，
……
，
整式中的第n项为：（n为正整数），
所以整式中的第5项为：，
故①正确．
当时，
，
故②正确．
当时，
，
则，
故③正确．
当时，
令整式中的第k项的值为M，
则，
，
两式相减得：
，
，
故④正确；
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. 计算：________.
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查实数的运算．利用负整数指数幂，零指数幂计算即可．
【详解】解：，
故答案为：4．
12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形．
【答案】七
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为七．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
13. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴
∴，
故答案为：．
14. 有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意列表如下：
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以P（抽取的两张卡片上的字母相同）＝＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
15. 如图，在菱形中，，，连接，取中点O，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交边，于点E，F，则图中阴影部分面积是__________.

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，利用三角函数解直角三角形，与圆有关的计算等．先根据菱形的性质求出，，再解直角三角形求出，，进而求出，，再利用割补法即可求出阴影的面积．
【详解】解：连接，
∵，四边形是菱形，
，，
∵，
，，
∴，，
阴影部分的面积．
故答案为：
16. 若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据不等式解的情况确定字母的取值范围，解含参数的分数方程等知识，综合性强，难度较大．先求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多4个整数解，求得的取值范围；解分式方程得，根据其解为整数，结合求得所有符合条件的的值，将这些值相加即可．
【详解】解：由题意得关于x的一元一次不等式组得，
∵原不等式组有解且最多4个整数解，
．
解分式方程得解为，
∵当是原分式方程无解，
．
，且，
∵为整数，
或4，
当时，，
当时，，
∴．
故答案为：
17. 如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为 ________________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得，问题得解．此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定定理和折叠的性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图，延长和相交于点，

由翻折可知：
，，
∵是的角平分线，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18. 对于一个四位自然数，若满足，则称这个四位数为“等和数”，记．例如：是“等和数”，；则______；已知均为“等和数”，其中（其中、都是整数），如果能被5整除，则______．
【答案】 ①. 10 ②. 5645
【解析】
【分析】本题考查整式的加减，理解“等和数”的定义是解题的关键．理解题中“等和数”的定义，即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为，
所以2053是“等和数”，
则．
因为，均为“等和数”，且，，
所以，，
则．
因为的末尾数字是5，
所以能被5整除．
又因为能被5整除，
所以能被5整除，
即能被5整除．
又因为，且为整数，
所以．
所以．
又因为，
所以，．
故．
故答案为：10，5645
三．解答题（共8小题，满分78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的混合运算、整式的混合运算，等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先分别根据单项式乘以单项式，平方差公式进行计算，再去括号，合并同类项即可求解；．
（2）先计算括号内分式加减运算，再进行乘除运算即可求解
【小问1详解】
解：（1）原式；
【小问2详解】
原式．
20. 如图，在中，点E在线段上，，完成下列作图和填空．

（1）利用尺规作的角平分线交线段于点F，连接，（只保留作图痕迹，不写作法）；
（2）证明：．
证明：
①
又平分
②
又
且
③
又
四边形为菱形
（ ④ ）
【答案】（1）见详解；
（2）见详解；
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
【小问1详解】
【小问2详解】
证明：，
，
又平分，
，
，
，
又，
且，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，
（菱形对角线互相垂直）；
故答案为：；；四边形为平行四边形；菱形对角线互相垂直；
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型.
21. 文明和卫生是一座城市最亮的底色，也是一座城市最好的名片．万州区正全力争创全国文明城区、国家卫生城区．某校开展“双创”的知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为，，三个等级：．下面给出了部分信息：八年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；九年级10名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：81，82，84，88，88．抽取的九年级学生竞赛成绩扇形统计图：
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有1050名学生，九年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1）86，84，30
（2）九年级学生的成绩更好，因为九年级学生成绩的中位数86大于八年级学生成绩的中位数85，所以九年级学生成绩更好
（3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为645人
【解析】
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，根据等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
九年级共10人，A等级占20%则为2人，中位数位于是第五个和第六个的平均数，故；
八年级中出现次数最多的数是84，故；
，故；
故答案为：86；84；30；
【小问2详解】
九年级学生的成绩更好，因为九年级学生成绩的中位数86大于八年级学生成绩的中位数85，所以九年级学生成绩更好
【小问3详解】
（人）
故答案为：人
【点睛】本题考查中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
22. 博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．
（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；
（2）该博物馆参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？
【答案】（1）15人 （2）3千米
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．
（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，根据“实际的人均费用只为原来的人均费用的”列方程求解即可；
（2）设“经典讲解”部分参观路线的长度为y千米，则“特色数字化体验”分参观路线的长度为千米，根据参观“经典讲解”、 在“特色数字化体验”部分排队的时间、参观“特色数字化体验”的时间共1.5小时，即可列方程求解．
【小问1详解】
解：设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人；
【小问2详解】
解：1米/秒米/时，
设“经典讲解”部分参观路线的长度为y千米，则“特色数字化体验”分参观路线的长度为千米，
根据题意，得，
解得，
答：“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米．
23. 如图1，在中，，，为边上的中线，点为的中点， 交于点，动点以每秒1个单位长度的速度沿的路径运动（包含起点和终点），过点作交于点，设运动时间为秒，记，请回答下列问题：
（1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】（1）
（2）画图见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）分点M，两种情况讨论即可；
（2）列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可；
（3）分，两种情况，分别列出关于t的不等式求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，为边上的中线，
∴，，
∴，
∵点为的中点，，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
当时，M在上，此时，，
∴，
综上，；
【小问2详解】
解：列表
函数图形如图，
当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，当时，．
24. 冬季是滑雪的最佳时节，亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图，其中的两条初级滑雪道的线路为：①；②．点A是雪道起点，点D是雪道终点，点B、C、E是三个休息区．经勘测，点B在点A的南偏东方向1800米处，点C在点B的正南方向2000米处，点D在C的西南方向，点E在点A的西南方向1300米处，点E在点D的正北方向．（参考数据：，）
（1）求的长度；（精确到1米）
（2）小外一家周末去亚布力滑雪，小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪，且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟，以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程，且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．
【答案】（1）约2573米
（2）小外先到达终点D
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角的问题，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由三角函数定义求出、的长．
（1）过作于交于，过作于，过作于，由等腰直角三角形的性质求出米，由，，得到米，由矩形的性质，，，，求出米，得到米，由等腰直角三角形的性质米；
（2）求出滑雪道线路①②的路程，求出两人所滑行的时间，即可解决问题．
【小问1详解】
解：过作于交于，过作于，过作于，
点在点的西南方向，
，
是等腰直角三角形，
（米），
，，
（米），
，，，，，
四边形，是矩形，
，，，，
（米），
米，
，
是等腰直角三角形，
（米）；
【小问2详解】
解：滑雪道线路①全程（米），
小外滑行的时间是（秒）（分钟），
小外途经的每个休息区都各休息了5分钟，
小外在滑雪道线路①共用时（分钟），
（米），
（米），
米，
（米），
是等腰直角三角形，
米，
滑雪道线路②全程（米），
小外的爸爸滑行的时间是（秒）（分钟），
小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟，
小外先到达终点．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上位于直线下方一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点D，过点P作的平行线交y轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点N是抛物线上一点，连接，当线段的中点F恰好在y轴上时，探究抛物线上是否存在点M，使．若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）有最大值为，此时点
（3）存在，点M的坐标为：或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明，即可求解；
（3）当时，则，即可求解．
【小问1详解】
解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：过点作轴于点，如图1，
、，
，
，
，
，则，
则，
设直线的表达式为：y=mx+n，
则，解得，
直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
，
则有最大值为，此时点；
【小问3详解】
解：存在，理由：
如图2，当线段的中点恰好在轴上时，
由中点坐标公式得：，即点，
设直线交于点，
设点，
当时，
则，
即，
解得：，
即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立直线和抛物线的表达式得：
解得：（舍去）或，
当和平行时，直线的解析式为：，
与抛物线解析式联立方程组，
解得或（舍去），
的坐标为：．
即点的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的性质、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中．
26. 在中，把线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接．
（1）如图1，已知，，，求的长；
（2）如图2，已知，点F和点E分别为和的中点，连接，求证：；
（3）如图3，已知且，把线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求解即可得；
（2）作，交延长线于点，连接，并延长至，连接，先得出，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；
（3）分别作和的外角的角平分线，交直线于点，则，先求出，，，从而可得点在以的中点为圆心、4为半径的上运动，连接，分别将和绕点和点顺时针和逆时针旋转至和，则点在以为圆心、为半径的上运动，点在以为圆心、为半径的上运动，连接，交于点，交于点，从而得出当点与点、点与点重合时，的值最小，最小值为，作于点，利用勾股定理求出，由此即可得．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，
解得，
由旋转的性质得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
则在中，．
【小问2详解】
证明：如图，作，交延长线于点，连接，并延长至，连接，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵点和点分别为和的中点，
∴，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图，分别作和的外角的角平分线，交直线于点，
∴，
设点到的距离为，点到两边的距离分别为，则，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，，
∴，
∴点在以的中点为圆心、4为半径的上运动，
连接，分别将和绕点和点顺时针和逆时针旋转至和，
∴，
∴，，，，
∴点在以为圆心、为半径的上运动，点在以为圆心、为半径的上运动，
连接，交于点，交于点，
∴当点与点、点与点重合时，的值最小，最小值为，此时点在的点处，
作于点，
∵，，
∴，
∴，
所以的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
86
85
56
九年级
86
88
62.4
x
0
3
4
y
3
1
3