北师大版（2024）八年级上册第四章 一次函数1 函数精品精练

这是一份北师大版（2024）八年级上册第四章 一次函数1 函数精品精练，文件包含专题44一次函数与方程不等式之间的关系十大题型举一反三北师大版原卷版docx、专题44一次函数与方程不等式之间的关系十大题型举一反三北师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18062" 【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc18062 \h 1
\l "_Tc22384" 【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 PAGEREF _Tc22384 \h 2
\l "_Tc31177" 【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc31177 \h 3
\l "_Tc29806" 【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc29806 \h 4
\l "_Tc32100" 【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 PAGEREF _Tc32100 \h 4
\l "_Tc24069" 【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 PAGEREF _Tc24069 \h 6
\l "_Tc22276" 【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 PAGEREF _Tc22276 \h 6
\l "_Tc13073" 【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】 PAGEREF _Tc13073 \h 8
\l "_Tc17086" 【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 PAGEREF _Tc17086 \h 9
\l "_Tc32109" 【题型10 绝对值函数与不等式】 PAGEREF _Tc32109 \h 11
【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】
【例1】（2023春·天津·八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=− 32，则一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标为( )
A．(3,0)B．(− 23 ,0)C．(−2,0)D．(− 32 ,0)
【变式1-1】（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b=3的解为 ．
【变式1-2】（2023春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ．
【变式1-3】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程ax+b=4的解是 ．
【题型2 两个一次函数与方程组、不等式组】
方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】
【例2】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数y1=k1x+b与y2=k2x的图象交于点A，则关于x的方程k1x+b=k2x的解x= ．

【变式2-1】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2k+bx=mx+m的解为x= ．
【变式2-2】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知直线y=−x与y=kx+b交于点Pa,1，则方程kx+b=−x的解是x= ．

【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象．

（1）关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为 ．
（2）若x=m，x=n分别为方程k1x+b1=3和k2x+b2=3的解，则m，n的大小关系是m n．
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】
【例3】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）若关于x的一次函数y=kx+b的图象经过点A−1,0，则方程kx+2+b=0的解为 ．
【变式3-1】（2023春·福建福州·八年级校联考期中）如图，一次函数y=ax+b的图象为直线l，则关于x的方程ax−3+b=0的解为 ．
【变式3-2】（2023秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 ．
【变式3-3】（2023秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝ 2 ，m＝ ﹣6 ．
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】
【例4】（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数y=2x−1与y=kx+k的图象的交点是整点，则k的值有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式4-1】（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A．x+y=2x−2y=1B．x=y+22x+y=−1C．x−y=22x−y=−1D．x−y=−2x+2y=1
【变式4-2】（2023•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，则常数b的值为（ ）
A．12B．1C．﹣1D．2
【变式4-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P，若二元一次方程组y=kxy=ax+b的解为x、y，则关于x+y= ．
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】
【例5】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）【活动回顾】：
八年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y=5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=−x+5的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

示例：如图1，我们在画方程x−y=0的图象时，可以取点A(−1,−1)和B(2,2)，作出直线AB．
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组x−y=12x+3y=12中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程ax+by=7的图象经过两点A(1,2)和B(4,1)，试求a+b的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3图象l1和一次函数y=x−1的图象l2，如图3所示．请根据图象，判断方程组x−y=−3x−y=1的解的情况，并说明理由．
【变式5-1】（2023秋·广东清远·八年级统考期末）函数y=ax+b与函数y=cx+d的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y=ax+by=cx+d 有（ ）
A．无数解B．无解C．唯一解D．不能确定
【变式5-2】（2023秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
【变式5-3】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组y=x+1y=mx+n，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】
【例6】（2023秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点(−2，0)，则不等式ax>b的解集为 ．
【变式6-1】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是( )
A．x<0B．x>0C．x<1D．x>1
【变式6-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b（a、b是常数，a≠0）函数图象经过(-1，4)，(2，-2)两点，下面说法中：（1）a=2，b=2；（2）函数图象经过(1，0)；（3）不等式ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
【变式6-3】（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,0)，则关于x的不等式k(x−3)+b>0的解集为 ．
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】
【例7】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b−x+a>0的解集是（ ）

A． x>−1B． x>2C． x<−1D． x<2
【变式7-1】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）直线y1=kx+2k+3和直线y2=−2x−1，当x<−2时，总有y1【变式7-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，直线y1=kx+b与x轴交于点A1,0，直线y2=3x+m与x轴交于点B−4,0，两条直线交于点C．

(1)观察图象，直接写出不等式kx+b<0的解集；
(2)若不等式3x+m>kx+b的解集是x>−2，求点C的坐标．
【变式7-3】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=−12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2∶y2=12x交于点A．

(1)求出点A的坐标；
(2)根据图象，直接写出y2>y1时x的取值范围是
(3)若M是线段OA上的点，且△COM的面积为9，求直线CM的解析式．
【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】
【例8】（2023春·山东东营·八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线交于点C．已知点A−1,0，B2,0，C1,3，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：

(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是_______；关于x的方程k2x+b2=0的解是________；
(2)请直接写出关于x的不等式k1x+b1≥k2x+b2的解集；
(3)请直接写出关于x的不等式组k1x+b1>0k2x+b2>0的解集．
(4)求△ABC的面积．
【变式8-1】（2023秋·浙江·八年级期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)经过A(−1,−2)和B(−3,0)两点，则关于x的不等式组x+1【变式8-2】（2023秋·四川成都·八年级校联考期末）已知直线y1=kx+1(k<0)与直线y2=mx(m>0)的交点坐标为(12,12m)，则请求出不等式组mx−2【变式8-3】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组{2x+m＜−x−2−x−2＜0的解集为 ．
【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】
【例9】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组x=1,2x−y+1=0的解，所以这个方程组的解为x=1,y=3.

在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2；y≤2x+1，也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3．
回答下列问题：
（1）在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组x=−2,y=−2x+2.的解；
（2）用阴影表示x≥−2,y≤−2x+2,y≥0.所围成的区域．
【变式9-1】（2023•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（ ）
A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0B．2x+y≤53x+4y≤9y≥0
C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0D．2x+y≤53x+4y≥9x≥0
【变式9-2】（2023秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（ ）
A．x﹣y≤﹣5B．x+y≥﹣5C．x+y≤5D．x﹣y≤5
【变式9-3】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）阅读材料：
在平面直角坐标系中，二元一次方程x-y=0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x-y=0的图象称为直线x-y=0．
直线x-y=0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x-y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x-y=0的上方区域内．特别地，x=k（k为常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．
请根据以上材料，探索完成以下问题：
（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x-2y=4上的点有 ；请再写出直线3x-2y=4上一个点的坐标 ；
（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤4,0≤y≤3，则所有的点P组成的图形的面积是 ；
（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤22x−3y≥−1 ,请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并直接写出上述图形的面积 ．
【题型10 绝对值函数与不等式】
【例10】（2023春·河南新乡·八年级统考期末）小东根据学习函数的经验，对函数y＝2−x+x+22的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程．
（1）化简函数解析式，当x≤2时，y＝ ；当x>2时，y＝ ．
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝2−x+x+22的图象．
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
【变式10-1】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数y=x+1−3的图像和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；
(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
表格中m的值为__________，n的值为___________．
(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）
(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；
①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；
②方程x+1−3=2的解是x=____________；
③不等式x+1<4的解集为________．
【变式10-2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数y=x−1+a的图象与性质，探究过程如下．请补充完整．
(1)列表：
请根据表格中的信息，可得a=__________，b= __________．
(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．
②若点Ax1,y1，Bx2,y2在函数图象上，且x1并说明理由．
(3)结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程x−1+a=12x+m有且只有一个正数解和一个负数解，则满足条件的m取值范围是___________．
【变式10-3】（2023秋·江苏·八年级统考期末）在学习一次函数时，我们学习了列表、描点、连接画函数图像，并结合函数图像研究函数的性质．同时，在初一的时候我们学习了绝对值的意义：a=aa≥0−aa≤0．请你完成下列问题．
(1)【尝试】①当x=2时，y=−2x−2+3=3
②当x<2时，y=−2x−2+3=______．
③当x>2时，y=−2x−2+3=______．
(2)【探索】探究函数y=−2x−2+3的图像与性质．
①请完成以下列表：
②请根据①中的表格，在给出的平面直角坐标系中画出y=−2x−2+3的图像．
(3)【拓展应用】若关于x的方程−2x−2+x+3=−12x+m有且只有一个正的解和一个负的解，则m的取值范围是______．
x
…
−2
−1
1
…
y
…
5
3
−1
…
x
-2
-1
0
1
2
3
y
3
2
1
0
-1
-2
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
−2
−3
−2
−1
0
n
2
3
…
x
…
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-2
-3
-4
b
-2
-1
…
x
……
﹣1
0
1
2
3
4
5
……
y
……
3
……