都安瑶族自治县高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份都安瑶族自治县高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设一组样本数据,,…,的方差为0.01,则数据,,…,的方差为( )
B.0.1C.1D.10
2．两个正数a、b的等差中项是,等比中项是,且,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
3．函数的图象大致为( )
A.B.C.D.
4．甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，已知甲和乙选择的景点不同，则甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑的概率为( )
A.B.C.D.
5．正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是( )
A.B.C.D.
6．设是由正数组成的等比数列,为其前n项和.已知,,则等于( )
A.B.C.D.
7．在直三棱柱中,各棱长均为2,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．下列说法中正确的是( )
①设随机变量X服从二项分布，则
②已知随机变量X服从正态分布且，则
③2023年7月28日第届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180种；
④，.
A.②③B.②③④C.①②④D.①②
二、多项选择题
9．已知直线,圆,则下列说法错误的是( )
A.若或,则直线l与圆C相切
B.若,则圆C关于直线l对称
C.若圆与圆C相交,且两个交点所在直线恰为l,则
D.若,圆C上有且仅有两个点到l的距离为1,则
10．已知等比数列的前n项和为,且,是与的等差中项,数列满足,数列的前n项和为,则下列命题正确的是( )
A.数列的通项公式
B.
C.数列的通项公式为
D.的取值范围是
11．已知函数,,则( )
A.当时,函数的极小值点为1
B.当时,函数的递减区间为
C.若在区间上单调递增,则
D.若方程有三个实数解,则
三、填空题
12．已知,则_______.
13．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该棱锥的体积为________.
14．已知抛物线与圆交于A,B两点,且,直线l过C的焦点F,且与C交于M,N两点,则的最小值为________.
四、解答题
15．已知数列的前项和为,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足,求数列的前n项和.
16．设函数.
（1）若曲线在点处与直线相切,求a,b的值;
（2）讨论函数的单调性.
17．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
（1）求甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
（2）甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
18．如图，直三棱柱的体积为1，，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
19．已知A,B是椭圆的左,右顶点,点与椭圆上的点的距离的最小值为1.
（1）求点M的坐标.
（2）过点M作直线l交椭圆E于C,D两点（与A,B不重合）,连接,交于点G.
（ⅰ）证明：点G在定直线上;
（ⅱ）是否存在点G使得,若存在,求出直线l的斜率;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：因为数据的方差是数据的方差的倍,
所以所求数据方差为
故选:C
2．答案：C
解析：因为两个正数a、b的等差中项是,等比中项是,且,
则,解得,所以,故.
故选：C.
3．答案：A
解析：易知,因为,令,得,或,
则时,,时,,
所以在和上单调递减,在上单调递增,故:A
4．答案：C
解析：则甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑的概率.
故选：C.
5．答案：C
解析：在正四棱锥中,O为的中心,
则底面ABC,CD为AB边上的中线,,
所以即为侧棱PC与底面ABC所成角的平面角,
设正四面体的棱长为2,则,,在中,,即正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是.故选:C.
6．答案：B
解析：
7．答案：A
解析：
8．答案：C
解析：对于①.随机变量X服从二项分布，，①正确；
对于②，随机变量X服从正态分有且，则，，②正确；
对于③，依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法，所以不同的分配方案共有，③错误；
对于④，，，④正确；所以说法正确的有①②④.
故选：C.
9．答案：AC
解析：即,圆心,对A,若直线l与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,则,解得或,故A错误;若圆C关于直线l对称,则直线通过圆心,则有,解得,故B正确;对C,圆C与圆E的方程作差得,即,则,解得,经检验此时圆,满足,则,故C错误;对D,若圆C上有且仅有两个点到l的距离为1,则圆心到直线l的距离,即,即,且,解得,故D正确;故选:AC.
10．答案：BD
解析：对A,由可得,等比数列的公比,.
由是与的等差中项,可得,
即,解得,,A不正确;
对B,,B正确;
对C,,C不正确;
对D,
,
数列是递增数列,得,,D正确.故选:BD.
11．答案：AB
解析：当时,,则,
令,则或,令,则,
所以函数的单调增区间为,减区间为,
所以函数的极小值点为1,故AB正确;
方程有三个实数解,即函数的图象有三个交点,
又,
当时,且,当时,,
如图,作出函数的大致图象,
由图可知,,故D错误
对于C,,
若在区间上单调递增,
则在区间上恒成立,即,即,
即在区间上恒成立,又因为,
所以,所以,故C错误.
故选:AB.
12．答案：1
解析：令,,故答案为:1
13．答案：1
解析：取AB中点E,连接PE,CE,如图,
是边长为2的等边三角形,,
,又PE,平面PEC,,
平面PEC,
又,故,即,
所以.
14．答案：
解析：由抛物线与圆交于A,B两点,且,
得到第一象限交点在抛物线上,所以,
解得,所以,则,
设直线,与联立得,
设,,所以,,
所以,由抛物线的定义,,
所以,
当且仅当,时等号成立.故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,则;
当时,,
经检验满足上式,所以;
（2）依题意,,
则,
所以,
两式相减可得,,
即,
整理可得,
16．答案：（1）,
（2）见解析
解析：（1）由题意知,,又,,
即,解得,;
（2）已知,令,知
当时,,此时函数在R单调递增
当时,令或,令,
所以函数在、上单调递增,在上单调递减,
当时,令或,令,
所以函数在、上单调递增,在上单调递减.
17．答案：（1）0.4
（2）期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
解析：（1）由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生.
设“甲按“A，B，C”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖金数记为X，
则X的所有可能取值为0,1000,3000,6000，
，
，
，
，
所以；
甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖金数记为Y，
则Y的所有可能取值为0,3000,5000,6000，
，
，
，
，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)直三棱柱的体积为：，
则，四边形为正方形，
法一：在直棱柱中，面，，
又平面，则，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，所以，
在正方形中，有，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以.
法二：直棱柱，平面，又，
以B为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，所以.
(2)由(1)得，
设，在中，过O作于H，连接，
因为，，平面，且，
所以平面，又平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，得，
又在中，，得，
，
所以二面角的余弦值为.
法二：
，，，，，
，，设平面的法向量：，
则，取，得，
，，设面的法向量，
则，取，得，
设二面角的大小为，则：
，
因为为锐角，所以二面角余弦值为.
19．答案：（1）;
（2）（ⅰ）证明见解析;（ⅱ）存在,
解析：（1）设是椭圆上一点,则,
因为,,
①若,,解得（舍去）,
②若,,解得（舍去）或,
所以M点的坐标位.
（2）（ⅰ）设直线,,,
由,得,所以,,
所以,①
由,得或,
易知直线的方程为,②
直线的方程为,③
联立②③,消去y,得,④
联立①④,消去,则,
解得,即点G在直线上;
（ⅱ）由图可知,,即,所以点G在以为直径的圆上,
设,则,所以,即.
故直线的方程为,
直线的方程与椭圆方程联立,得,解得,
所以,所以,故.
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000