嘉兴市第一中学2024届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份嘉兴市第一中学2024届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数为纯虚数,则实数a的值是( )
A.-1B.1C.0或-1D.0或1
3．已知向量,,,则( )
A.14B.-14C.50D.-50
4．已知函数为奇函数,则的值是( )
A.0B.-12C.12D.10
5．如图,在一个单位正方形中,首先将它等分成4个边长为的小正方形,保留一组不相邻的2个小正方形,记这2个小正方形的面积之和为;然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分,各自保留一组不相邻的2个小正方形,记这4个小正方形的面积之和为.以此类推,操作n次,若,则n的最小值是( )
A.9B.10C.11D.12
6．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若函数在上单调递增,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知点P是直线和的交点,点Q是圆上的动点,则的最大值是( )
A.B.C.D.
8．已知函数的定义域为R,且,,则的值是( )
A.9B.10C.11D.12
二、多项选择题
9．下列结论中,正确的是( )
A.数据0,1,2,3的极差与中位数之积为3
B.数据20,20,21,22,22,23,24的第80百分位数为23
C.若随机变量服从正态分布,,则
D.在回归分析中,用决定系数来比较两个模型拟合效果,越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好
10．下列函数中,以为最小正周期的函数是( )
A.B.
C.D.
11．设,为椭圆的两个焦点,为C上一点且在第一象限,为的内心,且内切圆半径为1,则( )
A.B.C.D.
12．如图,在中,,,,过中点M的直线l与线段交于点N.将沿直线l翻折至,且点在平面内的射影H在线段上,连接交l于点O,D是直线l上异于O的任意一点,则( )
A.
B.
C.点O的轨迹的长度为
D.直线与平面所成角的余弦值的最小值为
三、填空题
13．的展开式中的系数是_______________.（用数字作答）
14．已知圆锥的底面半径为1,侧面积为,则此圆锥的体积是______________.
15．已知F是抛物线的焦点,点,过点F的直线l与C交于A,B两点,M是线段的中点.若,则直线l的斜率___________________.
16．关于x的方程的两根为,,函数,若对于任意的,都有,则a的最小值是_______________.
四、解答题
17．记为数列的前n项和,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
18．如图,在直三棱柱中,,,,点M,N分别是,的中点,点P是线段上一点,且平面.
(1)求证：点P是线段的中点;
(2)求二面角的余弦值.
19．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,.
(1)若边上的高等于1,求;
(2)若为锐角三角形,求的面积的取值范围.
20．已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求a的取值范围.
21．近年来,购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一,为了引导青少年正确消费,国家市场监管总局提出,盲盒经营行为应规范指引,经营者不能变相诱导消费.盲盒最吸引人的地方,是因为盒子上没有标注,只有打开才会知道自己买到了什么,这种不确定性的背后就是概率.几何分布是概率论中非常重要的一个概率模型,可描述如下：在独立的伯努利（Bernulli）试验中,若所考虑事件首次出现,则试验停止,此时所进行的试验次数服从几何分布,事件发生的概率即为几何分布的参数,记作.几何分布有如下性质：分布列为,,期望.现有甲文具店推出四种款式不同、单价相同的文具盲盒,数量足够多,购买规则及概率规定如下：每次购买一个,且买到任意一种款式的文具盲盒是等可能的.
(1)现小嘉欲到甲文具店购买文具盲盒.
①求他第二次购买的文具盲盒的款式与第一次购买的不同的概率;
②设他首次买到两种不同款式的文具盲盒时所需要的购买次数为Y,求Y的期望;
(2)若甲文具店的文具盲盒的单价为12元,乙文具店出售与甲文具店款式相同的非盲盒文具且单价为18元.小兴为了买齐这四种款式的文具,他应选择去哪家文具店购买更省钱,并说明理由.
22．已知双曲线,为C的右顶点,若点A到C的一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若M,N是C上异于A的任意两点,且的垂心为H,试问：点H是否在定曲线上？若是,求出该定曲线的方程;若不是,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得：,,
所以.
2．答案：A
解析：因为复数为纯虚数,所以,解得：.
3．答案：C
解析：因为向量,,,
所以,解得：,.
4．答案：D
解析：因为函数为奇函数,
所以,即,即或,
显然函数的定义域为R关于原点对称,
且当时,有,从而有,
当时,有,但,
所以,即,所以.
5．答案：C
解析：由题意可知操作1次时有个边长为的小正方形,即,
操作2次时有个边长为的小正方形,即,
操作3次时有个边长为的小正方形,即,
以此类推可知操作n次时有个边长为的小正方形,即,
由等比数列前n项和公式有,
从而问题转换成了求不等式的最小正整数解,
将不等式变形为,注意到,,且函数在R上单调递减,
所以n的最小值是11.
6．答案：B
解析：由题意知：,
当时,,
在上单调递增,,;
若,则,,此时,
又,,;
若,则,,此时,
与矛盾,不合题意;综上所述：实数m的取值范围为.
7．答案：B
解析：因为直线,即,
令,解得,可知直线过定点,
同理可知：直线过定点,
又因为,可知,
所以直线与直线的交点P的轨迹是以的中点,半径的圆,
因为圆C的圆心,半径,
所以的最大值是.
故选：B.
8．答案：D
解析：中令,则,
中令,,则,
又中令,则,所以,
中,令,则,
再令,,则.
9．答案：BCD
解析：A：数据极差、中位数分别为3、,则它们的积为,错;
B：由,则数据从小到大的第6位,23是第80百分位数,对;
C：由正态分布的对称性,,对;
D：由回归分析中决定系数实际意义知：越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好,对;
10．答案：AC
解析：对于A,,最小正周期为,故A正确;
对于B,令,,故B错误;
对于C,令,,故C正确;
对于D,令,,
故的最小正周期为,故D错误.
11．答案：ABD
解析：如下图所示,设切点为A,B,C,
对于A,由椭圆的方程知：,,,
由椭圆的定义可得：,
易知,所以,
所以,故A正确;
对于BCD,,
又因为,解得：,
又因为为C上一点且在第一象限,所以,解得：,故B正确;
从而,所以,
所以,而,所以,故C错误;
从而,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：BCD
解析：依题意,将沿直线l翻折至,连接,由翻折的性质可知,关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分,
故,又在平面内的射影H在线段上,
所以平面,平面,所以,
,平面,平面
所以平面.
平面,平面,平面,
,,
,且即为二面角的平面角
对于A选项,由题意可知,为与平面所成的线面角,故由线面角最小可知,故A错误;
对于B选项,即为二面角的平面角,故由二面角最大可知,故B正确;
对于C选项,恒成立,故O的轨迹为以为直径的圆弧夹在内的部分,易知其长度为,故C正确;
对于D选项,如下图所示
设,
在中,,,
在中,,,
所以,设直线与平面所成角为,
则
,
当且仅当时取等号,故D正确.
故选：BCD.
13．答案：35
解析：因为展开式的通项公式为,,
令,解得,可得,所以的系数是35.
14．答案：
解析：设圆锥的高为,母线长为l,半径,
因为圆锥的底面半径为1,侧面积为,
所以,所以,
所以,
所以圆锥的体积是.
故答案为：.
15．答案：2
解析：方法一：由题意,,设直线,其中,
联立消去x得,,
设,,则,,
又,则,即,
而,,
则,
即,
即,
所以,解得,所
以.
方法二：如下图,由题意,,点P在准线上,
设A,B,M在准线上的射影分别是,,N,
则,
所以轴,
设,,,
联立消去x得,
所以,所以,
故答案为：2.
16．答案：-7
解析：由题意,故对于,只需考虑即可,
令,,则,开口向上且对称轴,
所以在递减,又,,
所以存在唯一,在递增,递减,
故只需,即,
所以,即a的最小值是-7.
17．答案：(1);
(2)
解析：(1)因为,可得,
两式相减得,
整理得,可知数列是3为首项,2为公差的等差数列,
所以.
(2)由(1)可得：,
则
,
18．答案：(1)证明见解析;
(2)
解析：(1)方法一：过点P作,且,
,四点共面,
平面,平面平面,
,
又,四边形是平行四边形,
,,又N为中点,,
又,点P是线段的中点.
方法二：取的中点H,连接,,
,H分别为,中点,,
平面,平面,
平面,又平面,,平面,
平面平面,
又平面平面,平面平面,,
是中点,点P是线段的中点.
方法三：以A为原点,,,正方向为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
设,则,,
平面轴,平面的一个法向量,
又平面,,解得：,
点P是线段中点.
（2）方法一：以A为原点,正方向为x,y,z轴,可建立空间直角坐标系,
则,,,
,,,
则,,
,,设平面的法向量,
则,令,解得：,,;
设平面的法向量,则,
令,则,,;,
又二面角为锐二面角,二面角的余弦值为.
方法二：取中点,中点,连接,过点作,且,连接,
,为中点,,
平面,平面,,
,,平面,
平面,
又,平面,
平面,,又,平面,
平面,又平面,,
即为二面角的平面角;
在正方形中,作,且,
,,,
,
,,
又,,
,即二面角的余弦值为.
19．答案：(1);
(2)
解析：(1)由正弦定理,,
所以,则,又,所以,
因为,所以,解得,
又由余弦定理,,
解得,所以.
(2)由正弦定理有,且由(1)可知,
所以,
又因为锐角,所以,解得,
所以,所以,
所以,
20．答案：(1)答案见解析;
(2).
解析：(1)定义域为,且,
当：恒成立,在递增;
当：在上,递减,
在上,递增;
(2)若,则,符合题意;
若,则,不合题意,舍;
若,由(1)知,只需,
令,所以,
在上,递增,在上,递减,
当时,,即符合题意;
当时,注意到,故只需,即,
综上所述,a的取值范围是.
21．答案：(1)①;②;
(2)应该去乙店购买非盲盒文具,理由见解析
解析：(1)①由题意可知,当第一次购买的文具盲盒已经确定时,第二次只需买到其余的三种文具盲盒的任意一款即可,所以;
②设从第一次购买文具后直到购买到两种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为X,
则由题意可知,又,所以.
(2)由题意,在乙店买齐全部文具盲盒所花费的费用为元,
设从甲店买齐四种文具盲盒所需要的购买次数为Z,从第一次购买到种不同款式的文具开始,
到第一次购买到种不同款式的文具盲盒所需要的购买次数为随机变量,
则,其中,而,
所以,
所以在甲店买齐全部文具盲盒所需费用的期望为,
所以应该去乙店购买非盲盒文具.
22．答案：(1);
(2)垂心H在定曲线上
解析：(1)由题意,双曲线的渐近线方程为,
所以点到渐近线的距离为,从而解得,
即C的标准方程为;
(2)情形一：M,N中没有一点为,且直线的斜率存在,
设直线,,,
则AM和AN的斜率分别为：,
易得边的高线的斜率为 ,方程为：,即,
边AN的高线的斜率为：,方程为：,
联立,,消去,
可得
,
联立,C,,,
所以,,
又,,
所以,
从而,
又H点也在MN边的高线上,MN边高线的方程为：,
消去可得,
化简得,即点H在定曲线上;
若MN斜率不存在,则M,N关于x轴对称,即,,如图：
设 ,则,是等腰三角形,所以在x轴上,
即,,,,,
,联立：,解得：,
,,在定曲线上;
情形二：,中有一点即,设,
不妨,设,过N点作AM的垂线,
则H点在该垂线上,如图：
则, 解得,所以点H在曲线上;
综上,曲线C的方程为：,H点总在曲线上.