江西省抚州市2024届高三下学期毕业班教学质量监测数学试卷(含答案)

这是一份江西省抚州市2024届高三下学期毕业班教学质量监测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数，则( )
A.B.C.D.
3．已知命题p：，q：，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充要条件
4．已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为3的正方形，往容器内注水后水面高度为2，若再往容器中放入一个半径为1的实心铁球，则此时水面的高度为( )
A.B.C.D.
5．已知定义在R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，则( )
A.B.0C.1D.2
6．已知函数（）在点处的切线为直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数( )
A.B.1C.2D.
7．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是( )
A.1B.2C.5D.6
8．如图，已知双曲线（，）的右焦点为F，点P是双曲线C的渐近线上的一点，点M是双曲线C左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线C的离心率是( )
A.B.2C.D.3
二、多项选择题
9．若实数，则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
10．在正三棱柱中，已知，点M，N分别为和的中点，点P是棱上的一个动点，则下列说法中正确的有( )
A.存在点P，使得平面B.直线与为异面直线
C.存在点P，使得D.存在点P，使得直线与平面的夹角为45°
11．已知函数，其中，，若直线是函数图象的一条对称轴，函数在区间上的值域为，则( )
A.B.
C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减
三、填空题
12．若直线l：与圆C：交于A，B两点，则________.
13．如图是一个弓形（由弦与劣弧围成）展台的截面图，A是弧上一点，测得，，，则该展台的截面面积是________.
14．已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①38是数列的项；②对任意的正整数m,n，都存在正整数k，使得.则满足这样的数列的个数是种________.
四、解答题
15．已知函数（，，），函数和它的导函数的图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)已知，求的值.
16．已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
17．已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若当时，函数取得极大值，求实数a的取值范围.
18．某药厂生产的一种药品，声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效，病人服用该药一个疗程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性没有治愈；若该药对患有该疾病的病人无效，病人服用该药一个疗程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性没有自愈.
(1)若该药厂声称的有效率是真实的，利用该药治疗3个患有该疾病的病人，记一个疗程内康复的人数为X，求随机变量X的分布列和期望；
(2)一般地，当n比较大时，离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布，若，则X可以近似看成随机变量Y，，其中，，对整数，（），.现为了检验此药的有效率，任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验，如果一个疗程内至少有k人康复，则此药通过检验.现要求：若此药的实际有效率为，通过检验的概率不低于0.9772，求整数k的最大值.（参考数据：若，则，，）
19．已知椭圆（）的左焦点为F，上顶点为A，的两顶点P，Q是椭圆C上的动点.当P为椭圆C的左顶点，Q为椭圆C的下顶点时，，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若的平分线经过点F，求面积的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为可得，
由可得：或，解得：或
因为，或，所以.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为，所以，
所以
故选：D
3．答案：B
解析：因为p：，可得，解得，
又由，可得，所以p是q的必要不充分条件.
故选：B.
4．答案：C
解析：由已知可得圆柱的底面半径为，往容器内注水后水面高度为2，
此时放入一个半径为1的实心铁球，铁球的直径为2，所以铁球完全没入水中，
设此时水面的高度为h，则，解得.
故选：C
5．答案：A
解析：因为对任意的x都有，且，
所以，
所以.
故选：A
6．答案：C
解析：易知，，且，
所以直线，
它与两坐标轴的交点坐标分别为和，
可得，又，
解得.
故选：C
7．答案：D
解析：由题意知个位数应为除以的余数，
因为，除以7的余数为6.
故选：D.
8．答案：A
解析：因为四边形是一个平行四边形，且，可得，即，
由双曲线，可得，渐近线方程为，即，
可得，且，
因为直线，可得，
又因为，所以即，
代入双曲线C方程，可得，整理得，
所以，可得，即，
所以离心率.
故选：A.
9．答案：ABD
解析：因为在定义域R上单调递减且，所以，故A正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确；
当时，，故C不正确；
因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确.
故选：ABD
10．答案：BCD
解析：A：如图（1），因为与相交，所以与平面相交，故选项A错误；
B：如图（1），因为平面，平面，平面，所以直线与为异面直线，故选项B正确；
C：如图（2），当点P与点A重合时，
因为，面，面，所以，
又，且都在面内，
所以面，
又面，所以，故选项C正确；
D：当时，此时为等腰直角三角形，
因为面，所以为在面内的投影，
所以为所求线面角，
所以直线与平面所成的角为，故选项D正确.
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：对于A，由直线是函数图象的一条对称轴，得到.
又因为，得到，故A正确；
对于B，因为，在区间上的值域为，
所以或，且，
因此.
若，则，或.
因为，得，
此时，当时，，，不符合条件.
若，则，或.
因为，得或或.
当时，，当时，，，符合条件.
当时，，当时，，，不符合条件.
当时，，当时，，，不符合条件.
综上，当时，，符合条件，故B错误;
对于C,，当时，，
所以在区间上不是单调递增，故C错误；
对于D，当时，，
所以在区间上单调递减，故D正确.
故选：AD
12．答案：
解析：由圆，故圆心，半径为，直线，
故圆心到直线l的距离为，
.
故答案为：.
13．答案：.
解析：
如图：设展台所在的圆的圆心为O，半径为R，，
则，
即，，
所以展台的面积为
故答案为：.
14．答案：
解析：设x是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，由已知，设,，则由等差数列定义得.
因为，所以，即数列的每一项均是整数，所以数列的每一项均是自然数，且d是正整数.
由题意，设，则是数列中的项，所以是数列中的项.
设，则，即.
因为,，故d是的约数.所以.
当时，，得，故，共39种可能；
当时，，得，故，共20种可能；
当时，，得，故，共3种可能；
当时，，得，故，共2种可能；
当时，，得，故，共2种可能；
当时，，得，故，共1种可能；
当时，，得，故，共1种可能；
当时，，得，故，共1种可能.
综上，满足题意的数列共有（种）.
经检验，这些数列均符合题意.
故答案为：69.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1），
由图象可以得到：，，
因为图象过点，，
所以，所以，
所以.
（2）由，得，
，
.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）设,的中点分别为O,E，连接,,.
因为，所以.
因为，所以.
在梯形中，，
所以，，
，因此，
所以，又，平面，
，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以O为原点，,所在直线分别为y轴，z轴，作出x轴，建立空间直角坐标系，则,,,.
则,，，
设平面的法向量，
，即，
令，得到，，即.
设平面的法向量，则
，则，
令，得到，，即.
.
因为二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值是.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）当时，，
，
由得，
所以函数的单调递增区间是；
（2），，
依题意，存在实数m，n且，
使得当时，，当时，.
记，则（）.
记，.
①当时，，，在区间上单调递减，
存在实数m，n且，使得时，，
即，单调递减，
因此当时，，
当时，，函数在时取得极大值.
②当时，，因此，
即，在区间上单调递增，
当时，，不是函数的极大值点.
③当时，，，函数在区间上单调递增，
当时，，即，函数单调递增，
即当时，，因此，不是函数的极大值点.
综上，实数a的取值范围是.
18．答案：(1)分布列见解析，数学期望为2.4；
(2)72
解析：（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件A，则
，
因此，
，，
，
则X的分布列为：
X的数学期望.
（2）若该药品的有效率为，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为，
记康复的人数为随机变量，则，
设,，设，
所以，即，
所以整数k的最大值为72
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）
由条件得，解得，，
所以椭圆C的方程为；
(2)
由的平分线经过点F，得到,的斜率都存在，点A的坐标为，可设,，
点F的坐标为，所以，化简得到.
由已知得到直线的斜率存在，设的方程为，,，
联立方程组，得，①
，
,，
由，得到，
所以，
得，
根据韦达定理得
，化简得，
即或.
又当时，直线经过点A，不符合题意，
因此，，直线经过定点，
将代入方程①得，
由，解得.
面积.
设，，则，
当且仅当时取等号，因此面积的最大值为.
X
0
1
2
3
P